Aufgaben zum Abstand

Hier findest du Übungsaufgaben zum Abstand in der Geometrie. Lerne, den Abstand zwischen Punkten und/oder weiteren Objekten zu berechnen.

1
Berechne den Abstand der folgenden Punkte.
$A (5 | - 2) B (3 | 6)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
Für den Abstand zweier Punkte in der Ebene setzt man die Punkte in die folgende Formel ein:
$d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
$d = \sqrt{{(3 - 5)}^{2} + {(6 - (- 2))}^{2}}$
$= \sqrt{{(- 2)}^{2} + 8^{2}}$
$d = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}$

$A (2 | - 2 | 1)$ , $B (4 | - 4 | 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}$ ein.
$d = \sqrt{{(4 - 2)}^{2} + {(- 4 - (- 2))}^{2} + {(2 - 1)}^{2}}$
$= \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}$
$= \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

$A (- 1 | - 2 | 2)$ ,    $B (- 2 | - 4 | 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
$d = \sqrt{{(- 2 - (- 1))}^{2} + {(- 4 - (- 2))}^{2} + {(4 - 2)}^{2}}$
$= \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2}}$
$= \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$A (6 | 0 | 1)$ ,    $B (1 | 0 | 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
$d = \sqrt{{(1 - 6)}^{2} + {(0 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$
$= \sqrt{{(- 5)}^{2} + 0^{2} + 0^{2}}$
$= \sqrt{25} = 5$

$A (8 | 9 | 10)$ ,    $B (2 | 6 | 8)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
$d = \sqrt{{(2 - 8)}^{2} + {(6 - 9)}^{2} + {(8 - 10)}^{2}}$
$= \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 3)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$
$= \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$

$A (0 | 0 | 6)$ ,    $B (0 | 0 | 0)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
$d = \sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2} + {(6 - 0)}^{2}}$
$= \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 6^{2}}$
$= \sqrt{36} = 6$

$A (37 | 21 | 5)$ ,    $B (13 | 14 | 5)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
$d = \sqrt{{(13 - 37)}^{2} + {(14 - 21)}^{2} + {(5 - 5)}^{2}}$
$= \sqrt{{(- 24)}^{2} + {(- 7)}^{2} + 0^{2}}$
$= \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$

$A (1 | 2 | 1)$ ,    $B (2 | 3 | - 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
$d = \sqrt{{(2 - 1)}^{2} + {(3 - 2)}^{2} + {(- 2 - 1)}^{2}}$
$= \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 3)}^{2}}$
$= \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$

$A (4 | - 3 | 1)$ ,    $B (- 2 | - 2 | - 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
$d = \sqrt{{(- 2 - 4)}^{2} + {(- 2 - (- 3))}^{2} + {(- 2 - 1)}^{2}}$
$= \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(1)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$
$= \sqrt{36 + 1 + 9} = \sqrt{46}$

$A (7 | 3 | 4)$ ,    $B (0 | - 4 | - 7)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
$d = \sqrt{{(0 - 7)}^{2} + {(- 4 - 3)}^{2} + {(- 7 - 4)}^{2}}$
$= \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{2} + {(- 11)}^{2}}$
$= \sqrt{49 + 49 + 121} = \sqrt{219}$

$A (13 | 17 | 6)$ ,    $B (35 | 20 | 14)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
$d = \sqrt{{(35 - 13)}^{2} + {(20 - 17)}^{2} + {(14 - 6)}^{2}}$
$= \sqrt{22^{2} + 3^{2} + 8^{2}}$
$= \sqrt{484 + 9 + 64} = \sqrt{557}$

$A (3 | - 2 | - 1 | 4)$ ,    $B (- 1 | - 6 | 3 | 0)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Für den Abstand zweier Punkte in höheren Dimensionen geht man analog vor.
$d = \sqrt{{(- 1 - 3)}^{2} + {(- 6 - (- 2))}^{2} + {(3 - (- 1))}^{2} + {(0 - 4)}^{2}}$
$= \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 4^{2} + {(- 4)}^{2}}$
$= \sqrt{16 + 16 + 16 + 16} = \sqrt{64} = 8$

Berechne den Abstand der Gerade zur Ebene.

$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$

$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ ,
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \\ 7 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichung
Lösung mit Hessescher Normalenform
Wandle die Ebene in Normalenform um:
Berechne den Normalenvektor:
${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array})$
$\Rightarrow E : (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})] = 0$
Erstelle von der Ebene $E$ die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit $\frac{1}{| \vec{n} |}$ multipliziert wird.
$| \vec{n} | = \sqrt{(- 5)^{2} + (- 4)^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{50}$
Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft ( $\vec{u} \circ \vec{n} = 0$ ) kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes $A$ von der Ebene bestimmt werden.
$\vec{O A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$
Setze $\vec{O A}$ in $E_{H N F}$ ein:
$\begin{aligned} d (A; E) = & | \frac{1}{\sqrt{50}} \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})] | \\ = & | \frac{1}{\sqrt{50}} (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] | \\ = & | \frac{1}{\sqrt{50}} (5 - 4 + 0) | \\ = & | \frac{1}{\sqrt{50}} | \\ = & \frac{1}{\sqrt{50}} \end{aligned}$
Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$ .
Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ ,
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \\ 7 \end{array}) = \vec{a} + σ \cdot \vec{v}$
Wandle die Ebene in Koordinatenform um:
Berechne den Normalenvektor, um die Ebene zunächst in Normalenform umwandeln zu können.
${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array})$
$\Rightarrow E : (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})] = 0$
Wandle die Ebene in Koordinatenform um.
$E : - 5 x_{1} - 4 x_{2} - 3 x_{3} + 5 = 0$
Stelle nun eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den Aufpunkt $\vec{a}$ der Geraden $g$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade $h$ .
$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + τ \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array})$
Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ .
$0$ $=$ $- 5 \cdot (1 - 5 τ) + (- 4) \cdot (2 - 4 τ) + (- 3) \cdot (- 3 - 3 τ) + 5$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$0$ $=$ $- 5 + 25 τ - 8 + 16 τ + 9 + 9 τ + 5$
↓
Fasse zusammen.
$0$ $=$ $1 + 50 τ$ $- 1$
↓
Löse nach $τ$ auf.
$- 1$ $=$ $50 τ$ $: 50$
$τ$ $=$ $- \frac{1}{50}$
Setze $τ = - \frac{1}{50}$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\vec{S} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + (- \frac{1}{50}) \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{11}{10} \\ \frac{52}{25} \\ - \frac{147}{50} \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $A$ und $S$ .
$d (A; S)$ $=$ $\sqrt{{(\frac{11}{10} - 1)}^{2} + {(\frac{52}{25} - 2)}^{2} + {(- \frac{147}{50} - (- 3))}^{2}}$
$=$ $\sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} + {(\frac{2}{25})}^{2} + {(\frac{3}{50})}^{2}}$
$=$ $\sqrt{\frac{1}{100} + \frac{4}{625} + \frac{9}{2500}}$
$=$ $\sqrt{\frac{1}{50}}$
$=$ $\frac{\sqrt{2}}{10}$
Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\frac{\sqrt{2}}{10}$ .

Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$ , $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 3 \end{array})$ , $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene $H$ in Parameterform auf, die die
Gerade $g$ enthält und die parallel zur Geraden $h$ verläuft.
D.h. der Aufpunkt $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
$H : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um .
$H : (\begin{array}{c} - 8 \\ - 1 \\ - 4 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] = 0$
$H : - 8 x_{1} - x_{2} - 4 x_{3} + 9 = 0$
Stelle eine Hilfsgerade $k$ auf, die durch den Aufpunkt $\vec{a}$ (Koordinatenursprung!) der Geraden $h$ verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene $H$ liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
$k : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ - 1 \\ - 4 \end{array})$
Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ .
$0$ $=$ $- 8 \cdot (- 8 σ) + (- 1) \cdot (- σ) + (- 4) \cdot (- 4 σ) + 9$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$0$ $=$ $64 σ + σ + 16 σ + 9$
↓
Fasse zusammen.
$0$ $=$ $9 + 81 σ$ $- 9$
↓
Löse nach $σ$ auf.
$- 9$ $=$ $81 σ$ $: 81$
$- \frac{1}{9}$ $=$ $σ$
Setze $σ = - \frac{1}{9}$ in die Hilfsgerade $k$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\vec{S} = - \frac{1}{9} \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ - 1 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{8}{9} \\ \frac{1}{9} \\ \frac{4}{9} \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $\vec{a}$ und $S$ .
$d (\vec{a}; S)$ $=$ $\sqrt{{(\frac{8}{9})}^{2} + {(\frac{1}{9})}^{2} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$
$=$ $\sqrt{\frac{64}{81} + \frac{1}{81} + \frac{16}{81}}$
$=$ $\sqrt{\frac{81}{81}}$
$=$ $1$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 4 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ , $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 13 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene $H$ in Parameterform auf, die die
Gerade $g$ enthält und die parallel zur Geraden $h$ verläuft.
D.h. der Aufpunkt $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
$H : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 4 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um.
$H : (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ - 4 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 4 \end{array})] = 0$
$H : - 3 x_{1} - 5 x_{2} - 4 x_{3} + 39 = 0$
Stelle eine Hilfsgerade $k$ auf, die durch den Aufpunkt $\vec{a}$ der Geraden $h$ verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene $H$ liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
$k : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 13 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ - 4 \end{array})$
Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ .
$0$ $=$ $- 3 \cdot (5 - 3 σ) - 5 \cdot (4 - 5 σ) + (- 4) \cdot (13 - 4 σ) + 39$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$0$ $=$ $- 15 + 9 σ - 20 + 25 σ - 52 + 16 σ + 39$
$0$ $=$ $- 48 + 50 σ$ $+ 48$
↓
Löse nach $σ$ auf.
$48$ $=$ $50 σ$ $: 50$
$\frac{24}{25}$ $=$ $σ$
Setze $σ = \frac{24}{25}$ in die Hilfsgerade $k$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\vec{S} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 13 \end{array}) + \frac{24}{25} \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{53}{25} \\ - \frac{4}{5} \\ \frac{229}{25} \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $\vec{a}$ und $S$ .
$d (\vec{a}; S)$ $=$ $\sqrt{{(\frac{53}{25} - 5)}^{2} + {(- \frac{4}{5} - 4)}^{2} + {(\frac{229}{25} - 13)}^{2}}$
$=$ $\sqrt{{(- \frac{72}{25})}^{2} + {(- \frac{24}{5})}^{2} + {(- \frac{96}{25})}^{2}}$
$=$ $\sqrt{\frac{5184}{625} + \frac{576}{25} + \frac{9216}{625}}$
$=$ $\sqrt{\frac{1152}{25}}$
$=$ $\frac{24 \sqrt{2}}{5}$

4
Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ , $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier paralleler Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Aufpunkt der Gerade $h$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.
$\Rightarrow \vec{n_{H}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
Wähle $\vec{P} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf: $H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P}) = 0$ .
$H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P})$ $=$ $0$
$H : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array})]$ $=$ $0$
$H : x_{1} - 1 + (- 2) \cdot (x_{2} - 3) + x_{3} + 1$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$H : x_{1} - 1 - 2 x_{2} + 6 + x_{3} + 1$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$H : x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + 6$ $=$ $0$
Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ .
$(1 + λ) + (- 2) \cdot (1 - 2 λ) + (1 + λ) + 6$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$1 + λ - 2 + 4 λ + 1 + λ + 6$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$6 + 6 λ$ $=$ $0$
↓
Löse nach $λ$ auf.
$λ$ $=$ $- 1$
Setze $λ = - 1$ in die Gerade $g$ ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
$\vec{S} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $S$ .
$d (P; S)$ $=$ $\sqrt{{(0 - 1)}^{2} + {(3 - 3)}^{2} + {(0 - (- 1))}^{2}}$
$=$ $\sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$
$=$ $\sqrt{2}$

Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Projektionsverfahren.

$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$ , $P (3 | - 1 | 2)$

$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ , $P (1 | - 3 | 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet: $d = | \frac{\vec{n} \circ [\vec{p} - \vec{a}]}{| \vec{n} |} |,$ wobei $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene, $\vec{a}$ der Aufpunkt der
Ebene und $\vec{p}$ der Ortsvektor des Punktes ist.
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene $E$ .
$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array})$
Setze die Werte in die Formeln ein.
$d$ $=$ $| \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})]}{| (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) |} |$
↓
Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
$=$ $| \frac{(- 5) \cdot (- 3 - 1)}{\sqrt{2^{2} + {(- 5)}^{2} + 1^{2}}} |$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $| \frac{20}{\sqrt{4 + 25 + 1}} |$
$=$ $| \frac{20}{\sqrt{30}} |$
$=$ $\frac{20}{\sqrt{30}}$

$E : (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) \circ \vec{x} + 27 = 0$ , $P (2 | - 4 | 1)$

6
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren.
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$ ,    $P (3 | - 1 | 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
Stelle zunächst eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den
Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.
Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden $h$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$ .
$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array})$
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$
Berechne das Skalarprodukt.
$3 + λ - 1 + (- 2) \cdot (- 1 - 2 λ - 2) + 3 \cdot (2 + 3 λ) = 0$
$3 + λ - 1 + 2 + 4 λ + 4 + 6 + 9 λ = 0$
$14 λ + 14 = 0$
Löse nach $λ$ auf.
$λ = - 1$
Setze $λ = - 1$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.
$\vec{L} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$ .
$d (P; L) = \sqrt{{(2 - 3)}^{2} + {(1 - (- 1))}^{2} + {(- 1 - 2)}^{2}}$
$= \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + {(- 3)}^{2}}$
$= \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

$E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ ,    $P (1 | - 3 | 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
Stelle zunächst eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den
Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.
Berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, um einen, zur Ebene $E$ , orthogonalen Vektor zu erhalten.
$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array})$
Stelle nun die Gleichung der Hilfsgeraden auf.
$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array})$
Um den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene zu bestimmen, wandle die Ebene von Parameterform in Normalenform um.
$E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})] = 0$
Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung in Normalenform ein.
Berechne das Skalarprodukt.
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})] = 0$
$2 \cdot (1 + 2 σ - 1) + (- 5) \cdot (- 3 - 5 σ - 1) + 1 + σ - 1 = 0$
$2 + 4 σ - 2 + 15 + 25 σ + 5 + 1 + σ - 1 = 0$
$30 σ + 20 = 0$
$σ = - \frac{2}{3}$
Setze $σ = - \frac{2}{3}$ in die Hilfserade $h$ ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.
$\vec{L} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) + (- \frac{2}{3}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$ .
$d (P; L) = \sqrt{{(- \frac{1}{3} - 1)}^{2} + {(\frac{1}{3} - (- 3))}^{2} + {(\frac{1}{3} - 1)}^{2}}$
$= \sqrt{{(- \frac{4}{3})}^{2} + {(\frac{10}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$
$= \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{100}{9} + \frac{4}{9}}$
$= \sqrt{\frac{120}{9}} = 2 \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{20}{\sqrt{30}}$

$E : (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) \circ \vec{x} + 27 = 0$ ,    $P (2 | - 4 | 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
Stelle zunächst eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.
Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden $h$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$ .
$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array})$
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in (leicht veränderter) Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array})] + 27 = 0$
Berechne das Skalarprodukt.
$- 3 \cdot (2 - 3 λ) + 2 \cdot (- 4 + 2 λ) + (- 6) \cdot (1 - 6 λ) + 27 = 0$
$- 6 + 9 λ - 8 + 4 λ - 6 + 36 λ + 27 = 0$
$49 λ + 7 = 0$
$λ = - \frac{1}{7}$
Setze $λ = - \frac{1}{7}$ in die Hilfserade $h$ ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.
$\vec{L} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) + (- \frac{1}{7}) \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{17}{7} \\ - \frac{30}{7} \\ \frac{13}{7} \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$ .
$d (P; L) = \sqrt{{(\frac{17}{7} - 2)}^{2} + {(- \frac{30}{7} - (- 4))}^{2} + {(\frac{13}{7} - 1)}^{2}}$
$= \sqrt{{(\frac{3}{7})}^{2} + {(- \frac{2}{7})}^{2} + {(\frac{6}{7})}^{2}}$
$= \sqrt{\frac{9}{49} + \frac{4}{49} + \frac{36}{49}} = 1$
7
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene.
$P (4 | 3 | 1)$ ,    $E : 3 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} - 5 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) | = \sqrt{3^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (3 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} - 5) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (3 \cdot 4 + 3 - 2 \cdot 1 - 5) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot 8 |$
$=$ $\frac{8}{\sqrt{14}}$
$\approx$ $2,138$

$P (- 1 | 1 | 0)$ ,    $E : x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 3 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ . Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 3) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (- 1 + 2 - 3) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (- 2) |$
$=$ $\frac{2}{\sqrt{6}}$
$\approx$ $0,816$

$P (1 | 8 | 5)$ ,    $E : 2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} - 7 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{3} \cdot (2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} - 7) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $HNF (E) : \frac{1}{3} \cdot (2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} - 7) = 0$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{3} \cdot (2 - 8 + 2 \cdot 5 - 7) |$
$=$ $| \frac{1}{3} \cdot (- 3) |$
$=$ $\frac{3}{3}$
$=$ $1$

$P (0 | 8 | 1 5)$ ,    $E : 4 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) | = \sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (4 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - 2) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- 3 \cdot 8 + 15 - 2) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- 11) |$
$=$ $\frac{11}{\sqrt{26}}$
$\approx$ $2,157$

$P (2 | - 1 | 3)$ ,    $E : 5 x_{1} + x_{2} + x_{3} - 1 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 1 \end{array}) | = \sqrt{5^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot (5 x_{1} + x_{2} + x_{3} - 1) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot (5 \cdot 2 - 1 + 3 - 1) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot 11 |$
$=$ $\frac{11}{\sqrt{27}}$
$\approx$ $2,117$

$P (7 | 8 | 9)$ ,    $E : x_{1} + x_{2} + 3 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand des Koordinatenursprungs von einer Ebene berechnen
Bestimme zuerst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 3$
$HNF (E) : - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (x_{1} + x_{2} + 3) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (7 + 8 + 3) |$
$=$ $| - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 18 |$
$=$ $\frac{18}{\sqrt{2}}$
$=$ $9 \sqrt{2}$
$\approx$ $12,728$

$P (5 | - 4 | 6)$ ,    $E : x_{3} + 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Der Normalenvektor ist bereits normiert.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2}} = 1$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 2$
$HNF (E) : - 1 \cdot (x_{3} + 2) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | - 1 \cdot (6 + 2) | = 8$

$P (1 | 3 | 3)$ ,    $E : 10 x_{1} - 7 x_{2} + 2 x_{3} - 5 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 10 \\ - 7 \\ 2 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 10 \\ - 7 \\ 2 \end{array}) | = \sqrt{10^{2} + {(- 7)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{100 + 49 + 4} = \sqrt{153}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot (10 x_{1} + - 7 x_{2} + 2 x_{3} - 5) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot (10 - 7 \cdot 3 + 2 \cdot 3 - 5) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot 10 |$
$=$ $\frac{10}{\sqrt{153}}$
$\approx$ $0,808$

$P (2 | 0 | 7)$ ,    $E : 8 x_{1} + 3 x_{2} - 5 x_{3} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \\ - 5 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \\ - 5 \end{array}) | = \sqrt{8^{2} + 3^{2} + {(- 5)}^{2}} = \sqrt{64 + 9 + 25} = \sqrt{98}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot (8 x_{1} + 3 x_{2} - 5 x_{3}) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot (8 \cdot 2 - 5 \cdot 7) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot - 19 |$
$=$ $\frac{19}{\sqrt{98}}$
$\approx$ $1,919$

$P (100 | 200 | 50)$ ,    $E : 9 x_{1} - 4 x_{2} - 7 x_{3} - 11 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 9 \\ - 4 \\ - 7 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$\begin{array}{l} | \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 9 \\ - 4 \\ - 7 \end{array}) | = \sqrt{9^{2} + {(- 4)}^{2} + {(- 7)}^{2}} \\ = \sqrt{81 + 16 + 49} = \sqrt{146} \end{array}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (9 x_{1} - 4 x_{2} - 7 x_{3} - 11) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (9 \cdot 100 - 4 \cdot 200 - 7 \cdot 50 - 11) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (- 261) |$
$=$ $\frac{261}{\sqrt{146}}$
$\approx$ $21,601$
8
Berechne den Abstand des Koordiantenursprungs von der Ebene.
$E : x_{1} + x_{2} - x_{3} - 1 = 0$

Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{3}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (x_{1} + x_{2} - x_{3} - 1) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (- 1) | = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577$

$E : 4 x_{1} + 5 x_{2} - 3 x_{3} - 8 = 0$

Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}) | = \sqrt{4^{2} + {(5)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$
$= \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{50}} \cdot (4 x_{1} + 5 x_{2} - 3 x_{3} - 8) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{50}} \cdot (- 8) | = \frac{8}{\sqrt{50}} \approx 1,131$

$E : x_{2} - x_{3} + 2 = 0$

Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 2$
$HNF (E) : - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (x_{2} - x_{3} + 2) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 | = \frac{2}{\sqrt{2}} \approx 1,414$

$E : x_{1} - x_{3} + 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 2$
$HNF (E) : - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (x_{1} - x_{3} + 2) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 | = \frac{2}{\sqrt{2}} \approx 1,414$

$E : 18 x_{1} - 13 x_{2} + 7 x_{3} - 22 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 18 \\ - 13 \\ 7 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 18 \\ - 13 \\ 7 \end{array}) | = \sqrt{18^{2} + {(- 13)}^{2} + 7^{2}}$
$= \sqrt{364 + 169 + 49} = \sqrt{542}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{542}} \cdot (18 x_{1} - 13 x_{2} + 7 x_{3} - 22) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{542}} \cdot (- 22) | = \frac{22}{\sqrt{542}} \approx 0,945$

$E : 2 x_{1} + 8 x_{2} - 5 x_{3} + 10 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ - 5 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ - 5 \end{array}) | = \sqrt{2^{2} + 8^{2} + {(- 5)}^{2}}$
$= \sqrt{4 + 64 + 25} = \sqrt{93}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 2$
$HNF (E) : - \frac{1}{\sqrt{93}} \cdot (2 x_{1} + 8 x_{2} - 5 x_{3} + 10) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | - \frac{1}{\sqrt{93}} \cdot 10 | = \frac{10}{\sqrt{93}} \approx 1,037$

$E : 12 x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3} - 31 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 12 \\ 2 \\ 5 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 12 \\ 2 \\ 5 \end{array}) | = \sqrt{12^{2} + 2^{2} + 5^{2}}$
$= \sqrt{144 + 4 + 25} = \sqrt{173}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{173}} \cdot (12 x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3} - 31) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{173}} \cdot (- 31) | = \frac{31}{\sqrt{173}} \approx 2,357$

$E : 100 x_{1} - 13 x_{2} + 43 x_{3} - 126 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 100 \\ - 13 \\ 43 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 100 \\ - 13 \\ 43 \end{array}) | = \sqrt{100^{2} + {(- 13)}^{2} + 43^{2}}$
$= \sqrt{10000 + 169 + 1849} = \sqrt{12018}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{12018}} \cdot (100 x_{1} - 13 x_{2} + 43 x_{3} - 126) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{12018}} \cdot (- 126) | = \frac{126}{\sqrt{12018}} \approx 1,149$

Berechne den Abstand des Punktes von der Geraden.

$P (1 | - 3 | - 3)$ , $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$

$P (5 | 0 | 0)$ , $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.
$\Rightarrow \vec{n_{H}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
Wähle $P$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
$H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P}) = 0$ .
$H : (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array})] = 0$
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
$2 \cdot (x_{1} - 5) + 1 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3}$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$2 x_{1} - 10 + x_{2} + x_{3}$ $=$ $0$
Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ , setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $λ$ :
$2 \cdot (1 + 2 λ) + (1 + λ) + (1 + λ) - 10$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$2 + 4 λ + 1 + λ + 1 + λ - 10$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$6 λ - 6$ $=$ $0$ $+ 6$
$6 λ$ $=$ $6$ $: 6$
$λ$ $=$ $1$
Setze $λ = 1$ in die Gerade $g$ ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.
$\vec{L} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$ .
$d (P; L) = \sqrt{{(3 - 5)}^{2} + 2^{2} + 2^{2}}$
$= \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}$
$= \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$
$P (- 2 | 3 | 10)$ , $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.
$\Rightarrow \vec{n_{H}} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 2 \end{array})$
Wähle $P$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
$H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P}) = 0$ .
$H : (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 10 \end{array})] = 0$
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
$(- 4) \cdot (x_{1} + 2) + 3 \cdot (x_{2} - 3) + 2 \cdot (x_{3} - 10)$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$- 4 x_{1} - 8 + 3 x_{2} - 9 + 2 x_{3} - 20$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$- 4 x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{3} - 37$ $=$ $0$
Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ , setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $λ$ :
$- 4 \cdot (1 - 4 λ) + 3 \cdot (2 + 3 λ) + 2 \cdot (3 + 2 λ) - 37$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$- 4 + 16 λ + 6 + 9 λ + 6 + 4 λ - 37$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$29 λ - 29$ $=$ $0$ $+ 29$
$29 λ$ $=$ $29$ $: 29$
$λ$ $=$ $1$
Setze $λ = 1$ in die Gerade $g$ ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.
$\vec{L} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 5 \\ 5 \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$ .
$d (P; L) = \sqrt{(- 3 - (- 2))^{2} + (5 - 3)^{2} + (5 - 10)^{2}}$
$= \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + {(- 5)}^{2}}$
$= \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$
$P (5 | - 1 | - 2,5)$ , $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.
$\Rightarrow \vec{n_{H}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
Wähle $P$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
$H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P}) = 0$ .
$H : (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ - 2,5 \end{array})] = 0$
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
$3 \cdot (x_{2} + 1) - 2 \cdot (x_{3} + 2,5)$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$3 x_{2} + 3 - 2 x_{3} - 5$ $=$ $0$
Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ , setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $λ$ :
$3 \cdot (- 6 + 3 λ) - 2 \cdot (3 + - 2 λ) - 2$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$- 18 + 9 λ - 6 + 4 λ - 2$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$- 26 + 13 λ$ $=$ $0$ $+ 26$
$13 λ$ $=$ $26$ $: 13$
$λ$ $=$ $2$
Setze $λ = 2$ in die Gerade $g$ ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.
$\vec{L} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$ .
$d (P; L) = \sqrt{{(3 - 5)}^{2} + {(0 - (- 1))}^{2} + {(- 1 - (- 2,5))}^{2}}$
$= \sqrt{2^{2} + 1^{2} + {1,5}^{2}}$
$= \sqrt{4 + 1 + 2,25} = \sqrt{7,25}$

Berechne den Abstand der beiden Ebenen.

$E : (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 6 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})] = 0$ , $F : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$

$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ , $F : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + τ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$

$E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$ , $E : (\begin{array}{c} - 4 \\ 6 \\ - 10 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$

11
Gegeben sind der Punkt $P (4 | 6 | - 2)$ und die Gerade
$g : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ .
Berechne den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ . Gib außerdem den Lotfußpunkt an.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine zu $g$ orthogonale Hilfsebene, die den Punkt $P$ enthält.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand Punkt Gerade
1. Erstelle die Normalenform der Hilfsebene $H : \vec{n} \circ (\vec{O X} - \vec{O A}) = 0$ .
Dabei ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ der Richtungsvektor der Geraden $g$ und für $\vec{O A}$ setzt du den Ortsvektor, der zum Punkt $P$ gehört ein: $\vec{O P} = (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ - 2 \end{array})$
$H : (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{O X} - (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ - 2 \end{array})] = 0$
2. Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Ebene $H$ :
$g \cap H : (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ - 2 \end{array})] = 0$
Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.
$(\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 0 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})] = 0$
Berechne zunächst das Skalarprodukt :
$(- 1) \cdot (- r) + 1 \cdot (- 6 + r) + 1 \cdot (3 + r) = 0$
Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
$r - 6 + r + 3 + r = 0 \Rightarrow 3 \cdot r = 3$ mit der Lösung $r = 1$ .
Berechne den Lotfußpunkt $F$ : Setze dazu $r = 1$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$\vec{O X_{F}} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ .
Der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten: $F (3 | 1 | 2)$ .
3. Berechne den Lotvektor: $\vec{P F} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 5 \\ 4 \end{array})$ .
Berechne den gesuchten Abstand $d (P, F)$ als Länge des Lotvektors $| \vec{P F} |$ :
$d (P, F) = | \vec{P F} | = \sqrt{(- 1)^{2} + (- 5)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{1 + 25 + 16} = \sqrt{42} \approx 6,48$
Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Geraden $g$ den Abstand $\sqrt{42} \approx 6,48 LE$ und der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F (3 | 1 | 2)$ .
12
Gegeben sind der Punkt $P (0 | 1 | 2)$ und die Gerade
$g : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ .
Berechne den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ . Gib auch den Lotfußpunkt an.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe, dass der Verbindungsvektor (Lotvektor) eines Punktes $F$ auf der Geraden $g$ zum Punkt $P$ senkrecht auf dem Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden $g$ steht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand Punkt Gerade
1. Der Punkt $F$ liegt auf der Geraden $g$ ( $F \in g$ ) , d.h. für den Punkt $ F$ gilt: $F (2 | r | 1)$
2. Berechne den Vektor $\vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} 2 \\ r \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ r - 1 \\ - 1 \end{array})$
3. Der Vektor $\vec{P F}$ steht senkrecht auf dem Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden $g$ ; d.h. das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren hat den Wert Null :
$\Rightarrow \vec{P F} \circ \vec{u} = 0$ .
$(\begin{array}{c} 2 \\ r - 1 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = 0 \Rightarrow r - 1 = 0$ , mit der Lösung $r = 1$
4. Setze $r = 1$ in den Vektor $\vec{P F}$ ein $\Rightarrow$ $\vec{P F} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 - 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
5. Der gesuchte Abstand $d (P, F)$ ist die Länge des Vektors $\vec{P F}$ , d.h. der Betrag des Vektors.
$d (P, F) = | \vec{P F} | = \sqrt{(2)^{2} + (0)^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \approx 2,24$
6. Setzt du $r = 1$ in $F (2 | r | 1)$ ein, erhältst du die Koordinaten des Lotfußpunktes: $F (2 | 1 | 1)$
Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Geraden $g$ den Abstand $\sqrt{5} \approx 2,24 LE$ . Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F (2 | 1 | 1)$ .
Methode kürzester Abstand
Unter allen Verbindungsstrecken $[P A]$ bis $[P G]$ ist die kürzeste $[P F]$ (in der Abbildung rot eingezeichnet) von diesen Verbindungsstrecken diejenige, die orthogonal (senkrecht) zu der Geraden $g$ ist. Die Länge dieser kürzesten Verbindungsstrecke entspricht dem Abstand des Punktes $P$ zur Geraden g. Der Lotfußpunkt $F$ ist ein Punkt der Geraden $g$ . Der Lotvektor $\vec{P F}$ steht senkrecht auf dem Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden $g$ . Die Gleichung $\vec{P F} \circ \vec{u} = 0$ liefert einen Wert für den Parameter $r$ . Damit können der Punkt $F$ und der Vektor $\vec{P F}$ berechnet werden. Der Betrag des Vektors $\vec{P F}$ (seine Länge) ergibt den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ .
13
Gegeben sind der Punkt $P (- 1 | 4 | 3)$ und die Ebene
$E : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
Berechne den Abstand des Punktes P von der Ebene $E$ .
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Hessesche Normalenform.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes zur Ebene
Die gegebene Parameterform der Ebene $E$ wird zunächst in die Normalenform umgewandelt. Dazu berechnest du den Normalenvektor $\vec{n}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 2 \end{array})$ mit Faktor 2 verkürzt gilt: $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
Anschließend setzt du diesen Normalenvektor $\vec{n}$ und den Aufpunkt aus der Parameterform für $\vec{O A}$ in die Normalenform $\vec{n} \circ (\vec{O X} - \vec{O A}) = 0$ ein.
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{O X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})] = 0$
Aus dieser Normalenform entsteht die Hessesche Normalenform indem du die Ebenengleichung durch den Betrag des Normalenvektors $| \vec{n} |$ teilt.
$| \vec{n} | = \sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$ .
$E_{H N F} : \frac{1}{\sqrt{6}} (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{O X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})] = 0$
Um den Abstand $d (P; E)$ des Punktes $P$ von der Ebene $E$ zu berechnen, setzt du den Vektor $\vec{O P}$ für $\vec{O X}$ in die Hessesche Normalenform ein:
$\begin{array}{l} d (P; E) = | \frac{1}{\sqrt{6}} (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})] | \\ = | \frac{1}{\sqrt{6}} (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array})] | \\ = | \frac{1}{\sqrt{6}} (- 2 - 4 + 0) | \\ = | \frac{- 6}{\sqrt{6}} | \\ = \sqrt{6} \end{array}$
Antwort: Der Punkt $P$ hat somit den Abstand $\sqrt{6} \approx 2,45 L E$ von der Ebene $E$ .
Nachteil dieser Methode: Es wird nur der Abstand berechnet. Der Lotfußpunkt kann nicht angegeben werden.
14
Gegeben sind der Punkt $P (5 | - 5 | 6)$ und die Ebene
$E : 2 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = 8$ .
Gesucht ist der Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E$ .
Gib auch den Lotfußpunkt an.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe das Lotfußpunktverfahren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lotfußpunkt
1. Erstelle die Gleichung der Lotgeraden $h$ .
Der Normalenvektor der Ebene $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ ist der Richtungsvektor und der Punkt $P$ ist der Aufpunkt der Geraden $h$ . (Der Vektor $\vec{O P}$ heißt auch Stützvektor der Geraden.)
Lotgerade $h : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 5 \\ 6 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
2. Berechne den Schnittpunkt $F$ zwischen der Geraden $h$ und der Ebene $E$ :
$h \cap H$
$8$ $=$ $2 \cdot (5 + 2 r) - 2 \cdot (- 5 - 2 r) + 1 \cdot (6 + r)$
↓
Klammern auflösen
$8$ $=$ $10 + 4 r + 10 + 4 r + 6 + r$
↓
Terme zusammenfassen
$8$ $=$ $9 r + 26$ $- 26$
$- 18$ $=$ $9 r$ $: 9$
$r$ $=$ $- 2$
Setze $r = - 2$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Lotfußpunkt zu berechnen:
$\vec{O X_{F}} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 5 \\ 6 \end{array}) + (- 2) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 - 4 \\ - 5 + 4 \\ 6 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 4 \end{array})$
Der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten: $F (1 | - 1 | 4)$ .
3. Berechne den Vektor $\vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ - 5 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
4. Berechne den gesuchten Abstand $d (P, F)$ als Länge des Lotvektors $| \vec{P F} |$ :
$d (P, F) = | \vec{P F} | = \sqrt{(- 4)^{2} + 4^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$
Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Ebene $E$ den Abstand $6 LE$ und der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten $F (1 | - 1 | 4)$ .
Erstelle die Gleichung einer Geraden $h$ , die senkrecht zur Ebene $E$ steht und durch den Punkt $P$ verläuft. Dabei ist der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene gleich dem Richtungsvektor der Geraden $h$ und der Punkt $P$ liefert den Aufpunkt (Stützvektor) der Geraden $h$ . Der Schnittpunkt von $g$ und $E$ ergibt den Lotfußpunkt $F$ .
15
Gegeben sind die beiden parallelen Geraden
$g : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ und $h : \vec{O X} = s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$
Berechne ihren Abstand.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand Punkt Gerade
Einen Punkt auf der Geraden $h$ erhältst du z.B. für $s = 1$ . Du berechnest dann den Abstand dieses Punktes von der Geraden $g$ .
$\vec{O X} = 1 \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$
1. Erstelle die Normalenform der Hilfsebene $H : \vec{n} \circ (\vec{O X} - \vec{O A}) = 0$ .
Dabei ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ der Richtungsvektor der Geraden $g$ und für $\vec{O A}$ setzt du den oben berechneten Ortsvektor $(\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$ ein.
$H : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \circ [\vec{O X} - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})] = 0$
2. Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Ebene $H$ :
$g \cap H : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})] = 0$
Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.
$(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 4 \\ 7 \\ 11 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})] = 0$
Berechne zunächst das Skalarprodukt :
$1 \cdot (4 + r) + 1 \cdot (7 + r) + 3 \cdot (11 + 3 r) = 0$
Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
$4 + r + 7 + r + 33 + 9 r = 0 \Rightarrow 11 \cdot r = - 44$ mit der Lösung $r = - 4$ .
Lotfußpunkt $F$ : Setze $r = - 4$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$\vec{O X_{F}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 5 \end{array}) + (- 4) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 7 \end{array})$ .
Der Lotfußpunkt $F$ auf der Geraden $g$ hat die Koordinaten: $F (- 2 | 1 | - 7)$ .
3. Berechne den Lotvektor: $\vec{P F} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$ .
Berechne den gesuchten Abstand $d (P, F)$ als Länge des Lotvektors $| \vec{P F} |$ :
$d (P, F) = | \vec{P F} | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{0 + 9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3,16$
Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Geraden $g$ den Abstand $\sqrt{10} \approx 3,16 LE$ .
Der Fall paralleler Geraden lässt sich auf die Abstandberechnung eines Punktes von einer Geraden zurückführen. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ .
16
Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden
$g : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})$ und
$h : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
Berechne ihren Abstand und die Lotfußpunkte auf den beiden Geraden.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine Hilfsebene $H$ in Parameterform, die die Gerade $h$ enthält. Als zweiten Richtungsvektor von $H$ verwendest du den Normalenvektor, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Geraden steht. Wandle die Ebene in die Normalenform um.
Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $k$ , die senkrecht zu $g$ ist und in $H$ liegt.
Schneide $k$ mit $g$ und mit $h$ .

1. Berechne zunächst den Normalenvektor: $\vec{n_{1}} = \vec{u} \times \vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$ oder $\vec{n_{1}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
$H : \vec{O X} = \vec{O B} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{n_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
Die Parametergleichung von $H$ wird in die Normalenform umgewandelt:
$\vec{n_{2}} = \vec{v} \times \vec{n_{1}} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 7 \\ 2 \\ 10 \end{array})$
Für den Vektor $\vec{O A}$ in der Normalenform setzt du den Aufpunkt $\vec{O B}$ der Geraden $h$ ein.
$\Rightarrow H : {\vec{n}}_{2} \circ (\vec{O X} - \vec{O B}) = (\begin{array}{c} - 7 \\ 2 \\ 10 \end{array}) \circ (\vec{O X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array})) = 0$
2. Berechne den Schnittpunkt $F_{g}$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$ .
$g \cap H : (\begin{array}{c} - 7 \\ 2 \\ 10 \end{array}) \circ ((\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array})) = 0$
Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.
$(\begin{array}{c} - 7 \\ 2 \\ 10 \end{array}) \circ ((\begin{array}{c} - 1 \\ - 5 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})) = 0$
Berechne zunächst das Skalarprodukt :
$(- 7) \cdot (- 1 + r) + 2 \cdot (- 5 - r) + 10 \cdot 3 = 0$
Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
$7 - 7 r - 10 - 2 r + 30 = 0 \Rightarrow 27 - 9 \cdot r = 0$ mit der Lösung $r = 3$ .
Lotfußpunkt $F_{g}$ : Setze $r = 3$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$\vec{O X_{F}} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + 3 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$ .
Der Lotfußpunkt $F_{g}$ hat die Koordinaten: $F_{g} (3 | - 4 | 1)$ .
3. Bestimme die Lotgerade $k$ , die senkrecht zu $g$ ist und in $H$ liegt.
$k_{L o t} : \vec{O X} = \vec{O F_{h}} + r \cdot {\vec{n}}_{1} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
4. Berechne den Schnittpunkt $F_{h}$ der Geraden $h$ mit der Lotgeraden $k$ .
$h \cap k : (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
Forme die Gleichung um $\Rightarrow$ $(\begin{array}{c} - 2 \\ 8 \\ - 3 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
Du erhältst 3 Gleichungen:
$\begin{array}{cccccccl} (I) : - 2 & = & - 2 r & + & 2 s \\ (I I) : 8 & = & 3 r & + & 2 s \\ (I I I) : - 3 & = & - 2 r & + & s \end{array}$

Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um eine der Variablen zu eliminieren.
Rechne zum Beispiel: $(I) - (I I I)$
$\begin{array}{cccccccl} (I) : - 2 & = & - 2 r & + & 2 s \\ (I I) : 8 & = & 3 r & + & 2 s \\ (I I I) : - 3 & = & - 2 r & + & s \end{array}$
$1 = 0 r + 1 s \Rightarrow s = 1$
Aus $(I I I) \Rightarrow - 3 = - 2 r + 1 \Rightarrow r = 2$
5. Berechne den Vektor $\vec{O F_{h}}$ und dann den Vektor $\vec{F_{g} F_{h}}$ .
$\vec{O F_{h}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
Der Lotfußpunkt $F_{h}$ hat die Koordinaten: $F_{h} (5 | - 2 | 2)$ .
$\vec{F_{g} F_{h}} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
6. Berechne den Abstand der beiden Geraden als Betrag des Vektors $d (g, h) = | \vec{F_{g} F_{h}} |$ .

$d (g, h) = | \vec{F_{g} F_{h}} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$
Antwort: Die beiden Geraden haben den Abstand $3 LE$ . Zusätzlich hast du die beiden Lotfußpunkte auf den beiden Geraden berechnet: $F_{g} (3 | - 4 | 1)$ und $F_{h} (5 | - 2 | 2)$ .
17
Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden
$g : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})$ und
$h : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
Berechne ihren Abstand.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine Hilfebene $H$ in Normalenform, die den Aufpunkt der Geraden $h$ enthält. Der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $H$ steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Geraden. Verwende zur Abstandberechnung die Hessesche Normalenform.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
1. Berechne zunächst den Normalenvektor:
$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$ oder $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
In die Normalenform $H : \vec{n} \circ (\vec{O X} - \vec{O A}) = 0$ wird der berechnete Normalenvektor und der Aufpunkt der Geraden $h$ eingesetzt $(h \in H)$ .
$\Rightarrow$ $H : (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \circ (\vec{O X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array})) = 0$
2. Schreibe die Normalenform der Ebene $H$ als Koordinatenform:
$2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - (2 + 8 - 2) = 0$ $\Rightarrow 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - 8 = 0$
3. Berechne den Betrag des Normalenvektor $| \vec{n} |$ und wandle die Koordinatenform der Ebene in die Hessesche Normalenform um. Der Normalenvektor der Ebene $H$ ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ .
$| \vec{n} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9} = 3$
$H_{H N F} : \frac{2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - 8}{3} = 0$
4. Setze die Koordinaten des Aufpunktes der Geraden g in die Hessesche Normalenform ein:
$d (g, k) = | \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1) + 1 \cdot 1 - 8}{3} | = | \frac{- 9}{3} | = | - 3 | = 3$
Antwort: Die beiden Geraden haben den Abstand $3 LE$ .
Nachteil: Die Lotfußpunkte können nicht berechnet werden.
18
Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden
$g : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ und
$h : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ 7 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
Berechne ihren Abstand und die beiden Lotfußpunkte auf den Geraden.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe, dass der kürzeste Verbindungsvektor $\vec{d}$ zwischen den beiden Geraden senkrecht auf ihnen steht. Erstelle eine Vektorgleichung vom Punkt $P \in g$ über den Verbindungsvektor $\vec{d} = d \cdot \vec{n_{0}}$ zum Punkt $Q \in h$ . Die Lösung der Vektorgleichung liefert den Abstand $d$ und die beiden Lotfußpunkte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Berechne zunächst den Normalenvektor
$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 6 \\ - 6 \end{array})$
Der mit Faktor $(- 3)$ verkürzte Vektor lautet: $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ .
Sein Betrag ist: $| \vec{n} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$
Berechne den Normaleneinheitsvektor $\vec{n_{0}} = \frac{\vec{n}}{| \vec{n} |} = \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array})$
Erstelle die Vektorgleichung $(I) \vec{O P} + d \cdot \vec{n_{0}} = \vec{O Q}$
$(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + d \cdot (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ 7 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
Sortiere die Vektorgleichung um:
$(\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 6 \end{array}) = + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) + d \cdot (\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ - \frac{2}{3} \\ - \frac{2}{3} \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
Du erhältst 3 Gleichungen:
$\begin{array}{cccccccl} (I) : 0 & = & 4 r & - & \frac{1}{3} d & + & 2 s \\ (I I) : - 3 & = & - r & - & \frac{2}{3} d & + & s \\ (I I I) : - 6 & = & - r & - & \frac{2}{3} d & - & 2 s \end{array}$

Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren.
Rechne zum Beispiel: $(I I) - (I I I)$
$\begin{array}{cccccccl} (I) : 0 & = & 4 r & - & \frac{1}{3} d & + & 2 s \\ (I I) : - 3 & = & - r & - & \frac{2}{3} d & + & s \\ (I I I) : - 6 & = & - r & - & \frac{2}{3} d & - & 2 s \end{array}$
$3 = 0 r + 0 d + 3 s \Rightarrow s = 1$
Setze $s = 1$ in Gleichung $(I)$ und $(I I)$ ein:
$\begin{array}{cccccccl} (I^{'}) : 0 & = & 4 r & - & \frac{1}{3} d & + & 2 \\ (I I^{'}) : - 3 & = & - r & - & \frac{2}{3} d & + & 1 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um eine der Variablen zu eliminieren.
Rechne zum Beispiel: $4 \cdot (I I^{'}) + (I^{'})$
$\begin{array}{cccccccl} (I^{'}) : 0 & = & 4 r & - & \frac{1}{3} d & + & 2 \\ 4 \cdot (I I^{'}) : - 12 & = & - 4 r & - & \frac{8}{3} d & + & 4 \end{array}$
$- 12 = 0 r - \frac{9}{3} d + 6 \Rightarrow - 18 = - 3 d \Rightarrow d = 6$
$d = 6$ ist der gesuchte Abstand der beiden Geraden.
$d$ eingesetzt in $(I I^{'}) \Rightarrow - 3 = - r - \frac{12}{3} + 1 \Rightarrow - 4 = - r - 4 \Rightarrow r = 0$
Setze $r = 0$ in $g$ ein, um den Lotfußpunkt $P$ zu berechnen: $\vec{O X_{P}} = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + 0 \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
Setze $s = 1$ in $h$ ein, um den Lotfußpunkt $Q$ zu berechnen: $\vec{O X_{Q}} = (\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ 7 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 4 \\ 5 \end{array})$ .
Antwort: Die beiden Geraden haben den Abstand $d = 6 LE$ .
Die beiden Fußpunkte haben die Koordinaten $P (5 | 0 | 1)$ und $Q (7 | 4 | 5)$ .
19
Gegeben sind eine Gerade $g : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ und eine Ebene
$E : x_{1} + 2 x_{2} - 3 x_{3} = 6$ .
Berechne ihren Abstand und den Lotfußpunkt.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine Lotgerade.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand Punkt zur Ebene
Der Normalenvektor der Ebene $E$ lautet: $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$ . Mit dem Aufpunkt $(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array})$ der Geraden $g$ erhältst du die Gleichung der Lotgeraden $h$ .
$h : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$
Berechne den Lotfußpunkt $F$ , indem du die Lotgerade $h$ mit der Ebene $E$ schneidest. Setze $h$ in $E$ ein:

$h \cap E : 1 \cdot (1 + r) + 2 \cdot (4 + 2 r) - 3 \cdot (3 - 3 r) = 6$
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
$1 + r + 8 + 4 r - 9 + 9 r = 6 \Rightarrow$ $14 r = 6 \Rightarrow r = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$
Setze $r = \frac{3}{7}$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Lotfußpunkt $F$ zu berechnen:
$\vec{O X_{F}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + \frac{3}{7} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} \frac{3}{7} \\ \frac{6}{7} \\ - \frac{9}{7} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{10}{7} \\ \frac{34}{7} \\ \frac{12}{7} \end{array})$
Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F (\frac{10}{7} | \frac{34}{7} | \frac{12}{7})$ .
Berechne den Vektor $\vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} \frac{10}{7} \\ \frac{34}{7} \\ \frac{12}{7} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{3}{7} \\ \frac{6}{7} \\ - \frac{9}{7} \end{array})$ .
Der Abstand $d (g, E)$ zwischen der Geraden g und der Ebene $E$ ist der Betrag des Lotvektors $\vec{P F}$ :
$d (g, E) = | \vec{P F} | = \sqrt{(\frac{3}{7})^{2} + (\frac{6}{7})^{2} + (- \frac{9}{7})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{49} + \frac{36}{49} + \frac{81}{49}} = \sqrt{\frac{126}{49}} = \sqrt{\frac{18}{7}} \approx 1,6$
Antwort: Die Gerade hat von der Ebene den Abstand $\approx 1,6 LE$ und die Koordinaten des Lotfußpunktes lauten $F (\frac{10}{7} | \frac{34}{7} | \frac{12}{7})$ .
Erstelle aus dem Normalenvektor der Ebene $E$ und dem Aufpunkt (Stützvektor) der Geraden $g$ eine Lotgerade $h$ . Der Schnittpunkt von $h$ mit $E$ liefert den Lotfußpunkt.
20
Gegeben sind die Gerade $g : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ und die Ebene
$E : x_{1} + 2 x_{2} - 3 x_{3} = 6$
Die Gerade $g$ ist parallel zur Ebene $E$ .
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Hessesche Normalenform.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
Abstandsberechnung:
1. Erstelle die Hessesche Normalenform aus der Koordinatenform:
$E_{H N F} = \frac{x_{1} + 2_{2} - 3 x_{3} - 6}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + (- 3)^{2}}} = \frac{x_{1} + 2_{2} - 3 x_{3} - 6}{\sqrt{14}} = 0$
2. Setze den Aufpunkt der Geraden $(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array})$ (in der Abbildung ist das der Punkt $P$ ) in die Hessesche Normalenform ein:
$d (P, E) = | \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 - 3 \cdot 3 - 6}{\sqrt{14}} | = | \frac{- 6}{\sqrt{14}} | = \frac{6}{\sqrt{14}} \approx 1,6$
Der Abstand $d (P, E)$ ist gleich dem Abstand $d (g, E)$ der Geraden $g$ von der Ebene $E$ .
Antwort: Die Gerade $g$ ist parallel zur Ebene $E$ und hat von ihr einen Abstand von $\approx 1,6 LE$ .
Wähle einen Punkt auf der Geraden und bestimme den Abstand dieses Punktes von der Ebene.
21
Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen in der Koordinatenform:
$E_{1} : 2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = 4$ und $E_{2} : 2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = 7$
Berechne ihren Abstand mit Hilfe der Berechnung des Abstandes eines Punktes der Ebene $E_{1}$ zur Ebene $E_{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
1. Finde einen Punkt auf der Ebene $E_{1}$ : z.B. den Punkt $P (1 | 0 | 2)$
Prüfe, ob $P \in E$ ist. Setze $P$ in $E$ ein: $2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 4 \Rightarrow 2 + 2 = 4 ✓$
2. Erstelle von $E_{2}$ die Hessesche Normalenform:
$E_{H N F 2} = \frac{2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - 7}{\sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + 1^{2}}} = \frac{2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - 7}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - 7}{\sqrt{14}} = 0$
3. Berechne den Abstand des Punktes $P$ von $E_{2}$ :
$| d (P, E_{2}) | = | \frac{2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + 2 - 7}{\sqrt{14}} | = | \frac{- 3}{\sqrt{14}} | = \frac{3}{\sqrt{14}} \approx 0,8$
Antwort: Die beiden Ebenen haben einen Abstand von $\approx 0,8 LE$ .
22
Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen in der Koordinatenform:
$E_{1} : 2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = 4$ und $E_{2} : 2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = 7$ . Berechne ihren Abstand.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Abstände beider Ebenen vom Koordinatenursprung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand Punkt Ebene
1. Erstelle von beiden Ebenen die Hessesche Normalenform:
$E_{H N F 1} = \frac{2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - 4}{\sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + 1^{2}}} = \frac{2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - 4}{\sqrt{14}} = 0$
$E_{H N F 2} = \frac{2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - 7}{\sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + 1^{2}}} = \frac{2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - 7}{\sqrt{14}} = 0$
2. Setze in beide Hesseschen Normalenformen den Koordinatenursprung $O (0 | 0 | 0)$ ein:
$d (O, E_{1}) = | \frac{2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 4}{\sqrt{14}} | = | \frac{- 4}{\sqrt{14}} | = \frac{4}{\sqrt{14}}$
$d (O, E_{2}) = | \frac{2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 7}{\sqrt{14}} | = | \frac{- 7}{\sqrt{14}} | = \frac{7}{\sqrt{14}}$
Bei beiden Berechnungen sind die Werte in den Betragsstrichen negativ, d.h. beide Ebenen liegen oberhalb des Koordinatenursprungs.
$\Rightarrow d (E_{1}, E_{2}) = | d (O, E_{1}) - d (O, E_{2}) | = | \frac{4}{\sqrt{14}} - \frac{7}{\sqrt{14}} | = \frac{3}{\sqrt{14}} \approx 0,8$
Antwort: Die beiden Ebenen haben einen Abstand von $\approx 0,8 LE$ .

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$0$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})]$
	↓	Vereinfache.
$0$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array})]$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$0$	$=$	$3 + μ + (- 1) \cdot (2 - μ) + (- 3) \cdot (- 3 μ)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$3 + μ - 2 + μ + 9 μ$
	↓	Fasse zusammen.
$0$	$=$	$1 + 11 μ$	$- 1$
	↓	Löse nach $μ$ auf.
$- 1$	$=$	$11 μ$	$: 11$
$μ$	$=$	$- \frac{1}{11}$

$d (A; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{32}{11} - 3)}^{2} + {(\frac{12}{11} - 1)}^{2} + {(- \frac{8}{11} - (- 1))}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(- \frac{1}{11})}^{2} + {(\frac{1}{11})}^{2} + {(\frac{3}{11})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{1}{121} + \frac{1}{121} + \frac{9}{121}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{11}{121}}$
	$=$	$\frac{1}{\sqrt{11}}$

$0$	$=$	$- 5 \cdot (1 - 5 τ) + (- 4) \cdot (2 - 4 τ) + (- 3) \cdot (- 3 - 3 τ) + 5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$- 5 + 25 τ - 8 + 16 τ + 9 + 9 τ + 5$
	↓	Fasse zusammen.
$0$	$=$	$1 + 50 τ$	$- 1$
	↓	Löse nach $τ$ auf.
$- 1$	$=$	$50 τ$	$: 50$
$τ$	$=$	$- \frac{1}{50}$

$d (A; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{11}{10} - 1)}^{2} + {(\frac{52}{25} - 2)}^{2} + {(- \frac{147}{50} - (- 3))}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} + {(\frac{2}{25})}^{2} + {(\frac{3}{50})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{1}{100} + \frac{4}{625} + \frac{9}{2500}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{1}{50}}$
	$=$	$\frac{\sqrt{2}}{10}$

$0$	$=$	$- 9 \cdot (14 - 9 σ) + (- 6) \cdot (4 - 6 σ) + (- 7) \cdot (3 - 7 σ) + 5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$- 126 + 81 σ - 24 + 36 σ - 21 + 49 σ + 5$
	↓	Fasse zusammen.
$0$	$=$	$- 166 + 166 σ$	$+ 166$
	↓	Löse nach $σ$ auf.
$166$	$=$	$166 σ$	$: 166$
$1$	$=$	$σ$

$d (\vec{a}; S)$	$=$	$\sqrt{{(5 - 14)}^{2} + {(- 2 - 4)}^{2} + {(- 4 - 3)}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(- 9)}^{2} + {(- 6)}^{2} + {(- 7)}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{81 + 36 + 49}$
	$=$	$\sqrt{166}$

$0$	$=$	$- 8 \cdot (- 8 σ) + (- 1) \cdot (- σ) + (- 4) \cdot (- 4 σ) + 9$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$64 σ + σ + 16 σ + 9$
	↓	Fasse zusammen.
$0$	$=$	$9 + 81 σ$	$- 9$
	↓	Löse nach $σ$ auf.
$- 9$	$=$	$81 σ$	$: 81$
$- \frac{1}{9}$	$=$	$σ$

$d (\vec{a}; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{8}{9})}^{2} + {(\frac{1}{9})}^{2} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{64}{81} + \frac{1}{81} + \frac{16}{81}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{81}{81}}$
	$=$	$1$

$0$	$=$	$- 3 \cdot (5 - 3 σ) - 5 \cdot (4 - 5 σ) + (- 4) \cdot (13 - 4 σ) + 39$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$- 15 + 9 σ - 20 + 25 σ - 52 + 16 σ + 39$
$0$	$=$	$- 48 + 50 σ$	$+ 48$
	↓	Löse nach $σ$ auf.
$48$	$=$	$50 σ$	$: 50$
$\frac{24}{25}$	$=$	$σ$

$d (\vec{a}; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{53}{25} - 5)}^{2} + {(- \frac{4}{5} - 4)}^{2} + {(\frac{229}{25} - 13)}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(- \frac{72}{25})}^{2} + {(- \frac{24}{5})}^{2} + {(- \frac{96}{25})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{5184}{625} + \frac{576}{25} + \frac{9216}{625}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{1152}{25}}$
	$=$	$\frac{24 \sqrt{2}}{5}$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (3 \cdot 4 + 3 - 2 \cdot 1 - 5) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot 8 \|$
	$=$	$\frac{8}{\sqrt{14}}$
	$\approx$	$2,138$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (- 1 + 2 - 3) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (- 2) \|$
	$=$	$\frac{2}{\sqrt{6}}$
	$\approx$	$0,816$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- 3 \cdot 8 + 15 - 2) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- 11) \|$
	$=$	$\frac{11}{\sqrt{26}}$
	$\approx$	$2,157$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot (5 \cdot 2 - 1 + 3 - 1) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot 11 \|$
	$=$	$\frac{11}{\sqrt{27}}$
	$\approx$	$2,117$

$H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P})$	$=$	$0$
$H : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array})]$	$=$	$0$
$H : x_{1} - 1 + (- 2) \cdot (x_{2} - 3) + x_{3} + 1$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$H : x_{1} - 1 - 2 x_{2} + 6 + x_{3} + 1$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$H : x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + 6$	$=$	$0$

$(1 + λ) + (- 2) \cdot (1 - 2 λ) + (1 + λ) + 6$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$1 + λ - 2 + 4 λ + 1 + λ + 6$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$6 + 6 λ$	$=$	$0$
	↓	Löse nach $λ$ auf.
$λ$	$=$	$- 1$

$d (P; S)$	$=$	$\sqrt{{(0 - 1)}^{2} + {(3 - 3)}^{2} + {(0 - (- 1))}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$
	$=$	$\sqrt{2}$

$d$	$=$	$\| \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})]}{\| (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \|} \|$
	$=$	$\| \frac{3 - 1 + (- 2) \cdot (- 1 - 2) + 3 \cdot 2}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2}}} \|$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$\| \frac{2 + 6 + 6}{\sqrt{1 + 4 + 9}} \|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\| \frac{14}{\sqrt{14}} \|$
	$=$	$\frac{14}{\sqrt{14}}$
	↓	Forme 14 um.
	$=$	$\frac{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14}}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\sqrt{14}$

$d$	$=$	$\| \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})]}{\| (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) \|} \|$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
	$=$	$\| \frac{(- 5) \cdot (- 3 - 1)}{\sqrt{2^{2} + {(- 5)}^{2} + 1^{2}}} \|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\| \frac{20}{\sqrt{4 + 25 + 1}} \|$
	$=$	$\| \frac{20}{\sqrt{30}} \|$
	$=$	$\frac{20}{\sqrt{30}}$

$d$	$=$	$\| \frac{(\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 9 \\ 0 \\ 0 \end{array})]}{\| (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) \|} \|$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
	$=$	$\| \frac{- 3 \cdot (2 - 9) + 2 \cdot (- 4) + (- 6) \cdot 1}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2} + {(- 6)}^{2}}} \|$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$\| \frac{21 - 8 - 6}{\sqrt{9 + 4 + 36}} \|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\| \frac{7}{\sqrt{49}} \|$
	$=$	$\frac{7}{7}$
	$=$	$1$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{3} \cdot (2 - 8 + 2 \cdot 5 - 7) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{3} \cdot (- 3) \|$
	$=$	$\frac{3}{3}$
	$=$	$1$

$d (0; E)$	$=$	$\| - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (7 + 8 + 3) \|$
	$=$	$\| - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 18 \|$
	$=$	$\frac{18}{\sqrt{2}}$
	$=$	$9 \sqrt{2}$
	$\approx$	$12,728$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot (10 - 7 \cdot 3 + 2 \cdot 3 - 5) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot 10 \|$
	$=$	$\frac{10}{\sqrt{153}}$
	$\approx$	$0,808$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot (8 \cdot 2 - 5 \cdot 7) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot - 19 \|$
	$=$	$\frac{19}{\sqrt{98}}$
	$\approx$	$1,919$

Aufgaben zum Abstand

Lösung mit Hessescher Normalenform

Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden

Lösung mit Hessescher Normalenform

Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden

Alternative Lösung

Abstandsberechnung:

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (9 \cdot 100 - 4 \cdot 200 - 7 \cdot 50 - 11) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (- 261) \|$
	$=$	$\frac{261}{\sqrt{146}}$
	$\approx$	$21,601$

$(- 1) \cdot (x_{1} - 1) + 3 \cdot (x_{2} + 3) + 1 \cdot (x_{3} + 3)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$- x_{1} + 1 + 3 x_{2} + 9 + x_{3} + 3$	$=$	$0$

$- (2 - λ) + 3 \cdot (1 + 3 λ) + (- 3 + λ) + 13$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$- 2 + λ + 3 + 9 λ - 3 + λ + 13$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$11 λ + 11$	$=$	$0$	$- 11$
$11 λ$	$=$	$- 11$	$: 11$
$λ$	$=$	$- 1$

$\vec{P - (\vec{A} + λ \cdot \vec{n})} \circ \vec{n}$	$=$	$0$
	↓	Setze ein.
$[\begin{array}{c} (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) \end{array} - λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})] \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt
$(1 - 2 + λ) \cdot (- 1) + (- 3 - 1 - 3 λ) \cdot 3 + (- 3 + 3 - λ) \cdot 1$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache
$1 - λ - 12 - 9 λ - λ$	$=$	$0$
$11 λ + 11$	$=$	$0$	$- 11$
$11 λ$	$=$	$- 11$	$: 11$
$λ$	$=$	$- 1$

$2 \cdot (x_{1} - 5) + 1 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3}$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2 x_{1} - 10 + x_{2} + x_{3}$	$=$	$0$

$2 \cdot (1 + 2 λ) + (1 + λ) + (1 + λ) - 10$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2 + 4 λ + 1 + λ + 1 + λ - 10$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$6 λ - 6$	$=$	$0$	$+ 6$
$6 λ$	$=$	$6$	$: 6$
$λ$	$=$	$1$

$(- 4) \cdot (x_{1} + 2) + 3 \cdot (x_{2} - 3) + 2 \cdot (x_{3} - 10)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$- 4 x_{1} - 8 + 3 x_{2} - 9 + 2 x_{3} - 20$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$- 4 x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{3} - 37$	$=$	$0$

$- 4 \cdot (1 - 4 λ) + 3 \cdot (2 + 3 λ) + 2 \cdot (3 + 2 λ) - 37$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$- 4 + 16 λ + 6 + 9 λ + 6 + 4 λ - 37$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$29 λ - 29$	$=$	$0$	$+ 29$
$29 λ$	$=$	$29$	$: 29$
$λ$	$=$	$1$

$3 \cdot (x_{2} + 1) - 2 \cdot (x_{3} + 2,5)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$3 x_{2} + 3 - 2 x_{3} - 5$	$=$	$0$

$3 \cdot (- 6 + 3 λ) - 2 \cdot (3 + - 2 λ) - 2$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$- 18 + 9 λ - 6 + 4 λ - 2$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$- 26 + 13 λ$	$=$	$0$	$+ 26$
$13 λ$	$=$	$26$	$: 13$
$λ$	$=$	$2$