Aufgaben zum Abstand

Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.

$\Rightarrow \overrightarrow{n_H}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

Wähle  $P$  als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:  $H:\overrightarrow{n_H}\circ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{P})=0$.

$H:\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -3\end{array}\right)]=0$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:

Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$, setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $\lambda$:

Setze $\mathrm{\lambda }=-1$ in die Gerade $g$  ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{L}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)+(-1)\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -4\end{array}\right)$

Berechne den Abstand der Punkte  $P$  und  $L$.

$d(P;L)=\sqrt{{(3-1)}^2+{(-2-(-3))}^2+{(-4-(-3))}^2}$

$=\sqrt{2^2+1^2+{(-1)}^2}$

$=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$

Alternative Lösung

Berechne den Lotfußpunkt L mit dem Skalarprodukt. Da der Lotvektor und der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zueinander stehen müssen, muss deren Skalarprodukt 0 ergeben.

$\overrightarrow{LP}$ ist der Lotvektor mit L als Lotfußpunkt, $\overrightarrow{n}$ ist der Richtungsvektor von $g$. $L$ wird nun durch die Geradengleichung von $g$ ersetzt, da $\text{}L$ ein Punkt auf $g$ sein soll. $A$ ist der Aufpunkt von $\text{}g$.

Da jetzt $\lambda$ bekannt ist, kannst du wie oben fortfahren. Berechne zuerst den Lotfußpunkt, indem du $\lambda =-1$ in die Geradengleichung einsetzt. Dann berechne die Länge von $\overrightarrow{LP}$.

Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.

$\Rightarrow \overrightarrow{n_H}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Wähle $P$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:

$H:\overrightarrow{n_H}\circ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{P})=0$.

$H:\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)]=0$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:

Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$, setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $\lambda$:

Setze  $\mathrm{\lambda }=1$  in die Gerade  $g$  ein, um den Lotfußpunkt  $L$  zu bestimmen.

$\overrightarrow{L}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$.

$d(P;L)=\sqrt{{(3-5)}^2+2^2+2^2}$

$=\sqrt{2^2+2^2+2^2}$

$=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.

$\Rightarrow \overrightarrow{n_H}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Wähle $P$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:

$H:\overrightarrow{n_H}\circ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{P})=0$.

$H:\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 10\end{array}\right)]=0$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:

Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$, setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $\lambda$:

Setze  $\mathrm{\lambda }=1$  in die Gerade  $g$  ein, um den Lotfußpunkt  $L$  zu bestimmen.

$\overrightarrow{L}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 5\end{array}\right)$

Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$.

$d(P;L)=\sqrt{(-3-(-2){)}^2+(5-3{)}^2+(5-10{)}^2}$

$=\sqrt{{(-1)}^2+2^2+{(-5)}^2}$

$=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}$

Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.

$\Rightarrow \overrightarrow{n_H}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Wähle $P$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:

$H:\overrightarrow{n_H}\circ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{P})=0$.

$H:\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -\mathrm{2,5}\end{array}\right)]=0$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:

Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$, setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $\lambda$:

Setze  $\mathrm{\lambda }=2$  in die Gerade  $g$  ein, um den Lotfußpunkt  $L$  zu bestimmen.

$\overrightarrow{L}=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 3\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Berechne den Abstand der Punkte $P$  und  $L$.

$d(P;L)=\sqrt{{(3-5)}^2+{(0-(-1))}^2+{(-1-(-\mathrm{2,5}))}^2}$

$=\sqrt{2^2+1^2+{\mathrm{1,5}}^2}$

$=\sqrt{4+1+\mathrm{2,25}}=\sqrt{\mathrm{7,25}}$