Aufgaben zum Abstand

Berechne den Abstand des Koordiantenursprungs von der Ebene.

$E : x_{1} + x_{2} - x_{3} - 1 = 0$

Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{3}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (x_{1} + x_{2} - x_{3} - 1) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (- 1) | = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577$
$E : 4 x_{1} + 5 x_{2} - 3 x_{3} - 8 = 0$

Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}) | = \sqrt{4^{2} + {(5)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$
$= \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{50}} \cdot (4 x_{1} + 5 x_{2} - 3 x_{3} - 8) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{50}} \cdot (- 8) | = \frac{8}{\sqrt{50}} \approx 1,131$
$E : x_{2} - x_{3} + 2 = 0$

Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 2$
$HNF (E) : - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (x_{2} - x_{3} + 2) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 | = \frac{2}{\sqrt{2}} \approx 1,414$
$E : x_{1} - x_{3} + 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 2$
$HNF (E) : - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (x_{1} - x_{3} + 2) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 | = \frac{2}{\sqrt{2}} \approx 1,414$
$E : 18 x_{1} - 13 x_{2} + 7 x_{3} - 22 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 18 \\ - 13 \\ 7 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 18 \\ - 13 \\ 7 \end{array}) | = \sqrt{18^{2} + {(- 13)}^{2} + 7^{2}}$
$= \sqrt{364 + 169 + 49} = \sqrt{542}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{542}} \cdot (18 x_{1} - 13 x_{2} + 7 x_{3} - 22) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{542}} \cdot (- 22) | = \frac{22}{\sqrt{542}} \approx 0,945$
$E : 2 x_{1} + 8 x_{2} - 5 x_{3} + 10 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ - 5 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ - 5 \end{array}) | = \sqrt{2^{2} + 8^{2} + {(- 5)}^{2}}$
$= \sqrt{4 + 64 + 25} = \sqrt{93}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 2$
$HNF (E) : - \frac{1}{\sqrt{93}} \cdot (2 x_{1} + 8 x_{2} - 5 x_{3} + 10) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | - \frac{1}{\sqrt{93}} \cdot 10 | = \frac{10}{\sqrt{93}} \approx 1,037$
$E : 12 x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3} - 31 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 12 \\ 2 \\ 5 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 12 \\ 2 \\ 5 \end{array}) | = \sqrt{12^{2} + 2^{2} + 5^{2}}$
$= \sqrt{144 + 4 + 25} = \sqrt{173}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{173}} \cdot (12 x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3} - 31) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{173}} \cdot (- 31) | = \frac{31}{\sqrt{173}} \approx 2,357$
$E : 100 x_{1} - 13 x_{2} + 43 x_{3} - 126 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 100 \\ - 13 \\ 43 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 100 \\ - 13 \\ 43 \end{array}) | = \sqrt{100^{2} + {(- 13)}^{2} + 43^{2}}$
$= \sqrt{10000 + 169 + 1849} = \sqrt{12018}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{12018}} \cdot (100 x_{1} - 13 x_{2} + 43 x_{3} - 126) = 0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{12018}} \cdot (- 126) | = \frac{126}{\sqrt{12018}} \approx 1,149$

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