Aufgaben zum Abstand

Berechne zunächst den Normalenvektor

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$

Der mit Faktor $(-3)$ verkürzte Vektor lautet: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$.

Sein Betrag ist: $|\overrightarrow{n}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$

Berechne den Normaleneinheitsvektor $\overrightarrow{n_0}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}\end{array}\right)$

Erstelle die Vektorgleichung $(\mathrm{I})\overrightarrow{OP}+d\cdot \overrightarrow{n_0}=\overrightarrow{OQ}$

$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)+d\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Sortiere die Vektorgleichung um:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -6\end{array}\right)=+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)+d\cdot \left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}\\ -\frac{2}{3}\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Du erhältst 3 Gleichungen:

$\begin{array}{cccccccl}(\mathrm{I}):0& =& 4r& -& \frac{1}{3}d& +& 2s& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}):-3& =& -r& -& \frac{2}{3}d& +& s& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):-6& =& -r& -& \frac{2}{3}d& -& 2s& \end{array}$

Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren.

Rechne zum Beispiel: $(\mathrm{I}\mathrm{I})-(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$

$\begin{array}{cccccccl}(\mathrm{I}):0& =& 4r& -& \frac{1}{3}d& +& 2s& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}):-3& =& -r& -& \frac{2}{3}d& +& s& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):-6& =& -r& -& \frac{2}{3}d& -& 2s& \end{array}$

$\overline{3=0r+0d+3s}\Rightarrow s=1$

Setze $s=1$ in Gleichung $(\mathrm{I})$ und $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ ein:

$\begin{array}{cccccccl}({\mathrm{I}}^{\prime }):0& =& 4r& -& \frac{1}{3}d& +& 2& \\ (\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):-3& =& -r& -& \frac{2}{3}d& +& 1& \end{array}$

Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um eine der Variablen zu eliminieren.

Rechne zum Beispiel: $4\cdot (\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })+({\mathrm{I}}^{\prime })$

$\begin{array}{cccccccl}({\mathrm{I}}^{\prime }):0& =& 4r& -& \frac{1}{3}d& +& 2& \\ 4\cdot (\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):-12& =& -4r& -& \frac{8}{3}d& +& 4& \end{array}$

$\overline{-12=0r-\frac{9}{3}d+6}\Rightarrow -18=-3d\Rightarrow d=6$

$d=6$ ist der gesuchte Abstand der beiden Geraden.

$d$ eingesetzt in $(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })\Rightarrow -3=-r-{\displaystyle \frac{12}{3}}+1\Rightarrow -4=-r-4\Rightarrow r=0$

Setze $r=0$ in $g$ ein, um den Lotfußpunkt $P$ zu berechnen: $\overrightarrow{O{X}_P}=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 1\end{array}\right)+0\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

Setze $s=1$ in $h$ ein, um den Lotfußpunkt $Q$ zu berechnen: $\overrightarrow{O{X}_Q}=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 7\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 5\end{array}\right)$.

Antwort: Die beiden Geraden haben den Abstand $d=6\text{LE}$.

Die beiden Fußpunkte haben die Koordinaten $P\left(5|0|1\right)$ und $Q\left(7|4|5\right)$.