Aufgaben zum Abstand

Abstandsberechnung:

1. Erstelle die Hessesche Normalenform aus der Koordinatenform:

$E_{HNF}={\displaystyle \frac{x_1+2_2-3x_3-6}{\sqrt{1^2+2^2+(-3{)}^2}}}={\displaystyle \frac{x_1+2_2-3x_3-6}{\sqrt{14}}}=0$

2. Setze den Aufpunkt der Geraden $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ (in der Abbildung ist das der Punkt $P$) in die Hessesche Normalenform ein:

$d(P,E)=\left|{\displaystyle \frac{1\cdot 1+2\cdot 4-3\cdot 3-6}{\sqrt{14}}}\right|=\left|{\displaystyle \frac{-6}{\sqrt{14}}}\right|={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{14}}}\approx \mathrm{1,6}$

Der Abstand $d(P,E)$ ist gleich dem Abstand $d(g,E)$ der Geraden $g$ von der Ebene $E$.

Antwort: Die Gerade $g$ ist parallel zur Ebene $E$ und hat von ihr einen Abstand von $\approx \mathrm{1,6}\text{LE}$.