Mathe Geometrie Analytische Geometrie Abstände und Winkel Abstände Aufgaben zum Abstand

Aufgaben zum Abstand

Gegeben sind der Punkt $P (4 | 6 | - 2)$ und die Gerade

$g : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ .

Berechne den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ . Gib außerdem den Lotfußpunkt an.

Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine zu $g$ orthogonale Hilfsebene, die den Punkt $P$ enthält.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand Punkt Gerade

1. Erstelle die Normalenform der Hilfsebene $H : \vec{n} \circ (\vec{O X} - \vec{O A}) = 0$ .

Dabei ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ der Richtungsvektor der Geraden $g$ und für $\vec{O A}$ setzt du den Ortsvektor, der zum Punkt $P$ gehört ein: $\vec{O P} = (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ - 2 \end{array})$

$H : (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{O X} - (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ - 2 \end{array})] = 0$

2. Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Ebene $H$ :

$g \cap H : (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ - 2 \end{array})] = 0$

Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.

$(\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 0 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})] = 0$

Berechne zunächst das Skalarprodukt :

$(- 1) \cdot (- r) + 1 \cdot (- 6 + r) + 1 \cdot (3 + r) = 0$

Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:

$r - 6 + r + 3 + r = 0 \Rightarrow 3 \cdot r = 3$ mit der Lösung $r = 1$ .

Berechne den Lotfußpunkt $F$ : Setze dazu $r = 1$ in die Geradengleichung $g$ ein:

$\vec{O X_{F}} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ .

Der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten: $F (3 | 1 | 2)$ .

3. Berechne den Lotvektor: $\vec{P F} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 5 \\ 4 \end{array})$ .

Berechne den gesuchten Abstand $d (P, F)$ als Länge des Lotvektors $| \vec{P F} |$ :

$d (P, F) = | \vec{P F} | = \sqrt{(- 1)^{2} + (- 5)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{1 + 25 + 16} = \sqrt{42} \approx 6,48$

Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Geraden $g$ den Abstand $\sqrt{42} \approx 6,48 LE$ und der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F (3 | 1 | 2)$ .

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