Aufgaben zum Abstand

1. Finde einen Punkt auf der Ebene $E_1$: z.B. den Punkt $P\left(1|0|2\right)$

Prüfe, ob $P\in E$ ist. Setze $P$ in $E$ ein: $2\cdot 1-3\cdot 0+1\cdot 2=4\Rightarrow 2+2=4✓$

2. Erstelle von $E_2$ die Hessesche Normalenform:

$E_{HNF2}={\displaystyle \frac{2x_1-3x_2+x_3-7}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{2x_1-3x_2+x_3-7}{\sqrt{4+9+1}}}={\displaystyle \frac{2x_1-3x_2+x_3-7}{\sqrt{14}}}=0$

3. Berechne den Abstand des Punktes $P$ von $E_2$:

$|d(P,E_2)|=\left|{\displaystyle \frac{2\cdot 1-3\cdot 0+2-7}{\sqrt{14}}}\right|=\left|{\displaystyle \frac{-3}{\sqrt{14}}}\right|={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{14}}}\approx \mathrm{0,8}$

Antwort: Die beiden Ebenen haben einen Abstand von $\approx \mathrm{0,8}\text{LE}$.