Aufgaben zum Abstand

Der Normalenvektor der Ebene $E$ lautet: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -3\end{array}\right)$. Mit dem Aufpunkt $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ der Geraden $g$ erhältst du die Gleichung der Lotgeraden $h$.

$h:\overrightarrow{OX}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -3\end{array}\right)$

Berechne den Lotfußpunkt $F$, indem du die Lotgerade $h$ mit der Ebene $E$ schneidest. Setze $h$ in $E$ ein:

$h\cap E:1\cdot (1+r)+2\cdot (4+2r)-3\cdot (3-3r)=6$

Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$1+r+8+4r-9+9r=6\Rightarrow$ $14r=6\Rightarrow r={\displaystyle \frac{6}{14}}={\displaystyle \frac{3}{7}}$

Setze $r={\displaystyle \frac{3}{7}}$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Lotfußpunkt $F$ zu berechnen:

$\overrightarrow{O{X}_F}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{3}{7}}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\frac{3}{7}\\ \frac{6}{7}\\ -\frac{9}{7}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{10}{7}\\ \frac{34}{7}\\ \frac{12}{7}\end{array}\right)$

Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F\left(\frac{10}{7}|\frac{34}{7}|\frac{12}{7}\right)$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}\frac{10}{7}\\ \frac{34}{7}\\ \frac{12}{7}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{7}\\ \frac{6}{7}\\ -\frac{9}{7}\end{array}\right)$.

Der Abstand $d(g,E)$ zwischen der Geraden g und der Ebene $E$ ist der Betrag des Lotvektors $\overrightarrow{PF}$:

$d(g,E)=\left|\overrightarrow{PF}\right|=\sqrt{(\frac{3}{7}{)}^2+(\frac{6}{7}{)}^2+(-\frac{9}{7}{)}^2}=\sqrt{\frac{9}{49}+\frac{36}{49}+\frac{81}{49}}=\sqrt{\frac{126}{49}}=\sqrt{\frac{18}{7}}\approx \mathrm{1,6}$

Antwort: Die Gerade hat von der Ebene den Abstand $\approx \mathrm{1,6}\text{ LE}$ und die Koordinaten des Lotfußpunktes lauten $F\left(\frac{10}{7}|\frac{34}{7}|\frac{12}{7}\right)$.