Aufgaben zum Abstand

1. Der Punkt $F$ liegt auf der Geraden $g$ ($F\in g$) , d.h. für den Punkt $\text{}F$ gilt: $F\left(2|r|1\right)$

2. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}2\\ r\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ r-1\\ -1\end{array}\right)$

3. Der Vektor $\overrightarrow{PF}$ steht senkrecht auf dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ der Geraden $g$; d.h. das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren hat den Wert Null :

$\Rightarrow \overrightarrow{PF}\circ \overrightarrow{u}=0$.

$\left(\begin{array}{c}2\\ r-1\\ -1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0\Rightarrow r-1=0$, mit der Lösung $r=1$

4. Setze $r=1$ in den Vektor $\overrightarrow{PF}$ ein $\Rightarrow$ $\overrightarrow{PF}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1-1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

5. Der gesuchte Abstand $d(P,F)$ ist die Länge des Vektors $\overrightarrow{PF}$, d.h. der Betrag des Vektors.

$d(P,F)=|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{(2{)}^2+(0{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+0+1}=\sqrt{5}\approx \mathrm{2,24}$

6. Setzt du $r=1$ in $F\left(2|r|1\right)$ ein, erhältst du die Koordinaten des Lotfußpunktes: $F\left(2|1|1\right)$

Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Geraden $g$ den Abstand $\sqrt{5}\approx \mathrm{2,24}\text{LE}$. Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F\left(2|1|1\right)$.