Aufgaben zum Abstand

Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden.

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ , $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier paralleler Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Aufpunkt der Gerade $h$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.
$\Rightarrow \vec{n_{H}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
Wähle $\vec{P} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf: $H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P}) = 0$ .
$H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P})$ $=$ $0$
$H : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array})]$ $=$ $0$
$H : x_{1} - 1 + (- 2) \cdot (x_{2} - 3) + x_{3} + 1$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$H : x_{1} - 1 - 2 x_{2} + 6 + x_{3} + 1$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$H : x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + 6$ $=$ $0$
Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ .
$(1 + λ) + (- 2) \cdot (1 - 2 λ) + (1 + λ) + 6$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$1 + λ - 2 + 4 λ + 1 + λ + 6$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$6 + 6 λ$ $=$ $0$
↓
Löse nach $λ$ auf.
$λ$ $=$ $- 1$
Setze $λ = - 1$ in die Gerade $g$ ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
$\vec{S} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $S$ .
$d (P; S)$ $=$ $\sqrt{{(0 - 1)}^{2} + {(3 - 3)}^{2} + {(0 - (- 1))}^{2}}$
$=$ $\sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$
$=$ $\sqrt{2}$

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$H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P})$	$=$	$0$
$H : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array})]$	$=$	$0$
$H : x_{1} - 1 + (- 2) \cdot (x_{2} - 3) + x_{3} + 1$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$H : x_{1} - 1 - 2 x_{2} + 6 + x_{3} + 1$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$H : x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + 6$	$=$	$0$

$(1 + λ) + (- 2) \cdot (1 - 2 λ) + (1 + λ) + 6$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$1 + λ - 2 + 4 λ + 1 + λ + 6$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$6 + 6 λ$	$=$	$0$
	↓	Löse nach $λ$ auf.
$λ$	$=$	$- 1$

$d (P; S)$	$=$	$\sqrt{{(0 - 1)}^{2} + {(3 - 3)}^{2} + {(0 - (- 1))}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$
	$=$	$\sqrt{2}$