Aufgaben zum Abstand

Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$ , $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 3 \end{array})$ , $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene $H$ in Parameterform auf, die die
Gerade $g$ enthält und die parallel zur Geraden $h$ verläuft.
D.h. der Aufpunkt $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
$H : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um .
$H : (\begin{array}{c} - 8 \\ - 1 \\ - 4 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] = 0$
$H : - 8 x_{1} - x_{2} - 4 x_{3} + 9 = 0$
Stelle eine Hilfsgerade $k$ auf, die durch den Aufpunkt $\vec{a}$ (Koordinatenursprung!) der Geraden $h$ verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene $H$ liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
$k : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ - 1 \\ - 4 \end{array})$
Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ .
$0$ $=$ $- 8 \cdot (- 8 σ) + (- 1) \cdot (- σ) + (- 4) \cdot (- 4 σ) + 9$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$0$ $=$ $64 σ + σ + 16 σ + 9$
↓
Fasse zusammen.
$0$ $=$ $9 + 81 σ$ $- 9$
↓
Löse nach $σ$ auf.
$- 9$ $=$ $81 σ$ $: 81$
$- \frac{1}{9}$ $=$ $σ$
Setze $σ = - \frac{1}{9}$ in die Hilfsgerade $k$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\vec{S} = - \frac{1}{9} \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ - 1 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{8}{9} \\ \frac{1}{9} \\ \frac{4}{9} \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $\vec{a}$ und $S$ .
$d (\vec{a}; S)$ $=$ $\sqrt{{(\frac{8}{9})}^{2} + {(\frac{1}{9})}^{2} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$
$=$ $\sqrt{\frac{64}{81} + \frac{1}{81} + \frac{16}{81}}$
$=$ $\sqrt{\frac{81}{81}}$
$=$ $1$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 4 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ , $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 13 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene $H$ in Parameterform auf, die die
Gerade $g$ enthält und die parallel zur Geraden $h$ verläuft.
D.h. der Aufpunkt $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
$H : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 4 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um.
$H : (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ - 4 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 4 \end{array})] = 0$
$H : - 3 x_{1} - 5 x_{2} - 4 x_{3} + 39 = 0$
Stelle eine Hilfsgerade $k$ auf, die durch den Aufpunkt $\vec{a}$ der Geraden $h$ verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene $H$ liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
$k : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 13 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ - 4 \end{array})$
Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ .
$0$ $=$ $- 3 \cdot (5 - 3 σ) - 5 \cdot (4 - 5 σ) + (- 4) \cdot (13 - 4 σ) + 39$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$0$ $=$ $- 15 + 9 σ - 20 + 25 σ - 52 + 16 σ + 39$
$0$ $=$ $- 48 + 50 σ$ $+ 48$
↓
Löse nach $σ$ auf.
$48$ $=$ $50 σ$ $: 50$
$\frac{24}{25}$ $=$ $σ$
Setze $σ = \frac{24}{25}$ in die Hilfsgerade $k$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\vec{S} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 13 \end{array}) + \frac{24}{25} \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{53}{25} \\ - \frac{4}{5} \\ \frac{229}{25} \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $\vec{a}$ und $S$ .
$d (\vec{a}; S)$ $=$ $\sqrt{{(\frac{53}{25} - 5)}^{2} + {(- \frac{4}{5} - 4)}^{2} + {(\frac{229}{25} - 13)}^{2}}$
$=$ $\sqrt{{(- \frac{72}{25})}^{2} + {(- \frac{24}{5})}^{2} + {(- \frac{96}{25})}^{2}}$
$=$ $\sqrt{\frac{5184}{625} + \frac{576}{25} + \frac{9216}{625}}$
$=$ $\sqrt{\frac{1152}{25}}$
$=$ $\frac{24 \sqrt{2}}{5}$

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$0$	$=$	$- 9 \cdot (14 - 9 σ) + (- 6) \cdot (4 - 6 σ) + (- 7) \cdot (3 - 7 σ) + 5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$- 126 + 81 σ - 24 + 36 σ - 21 + 49 σ + 5$
	↓	Fasse zusammen.
$0$	$=$	$- 166 + 166 σ$	$+ 166$
	↓	Löse nach $σ$ auf.
$166$	$=$	$166 σ$	$: 166$
$1$	$=$	$σ$

$d (\vec{a}; S)$	$=$	$\sqrt{{(5 - 14)}^{2} + {(- 2 - 4)}^{2} + {(- 4 - 3)}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(- 9)}^{2} + {(- 6)}^{2} + {(- 7)}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{81 + 36 + 49}$
	$=$	$\sqrt{166}$

$0$	$=$	$- 8 \cdot (- 8 σ) + (- 1) \cdot (- σ) + (- 4) \cdot (- 4 σ) + 9$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$64 σ + σ + 16 σ + 9$
	↓	Fasse zusammen.
$0$	$=$	$9 + 81 σ$	$- 9$
	↓	Löse nach $σ$ auf.
$- 9$	$=$	$81 σ$	$: 81$
$- \frac{1}{9}$	$=$	$σ$

$d (\vec{a}; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{8}{9})}^{2} + {(\frac{1}{9})}^{2} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{64}{81} + \frac{1}{81} + \frac{16}{81}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{81}{81}}$
	$=$	$1$

$0$	$=$	$- 3 \cdot (5 - 3 σ) - 5 \cdot (4 - 5 σ) + (- 4) \cdot (13 - 4 σ) + 39$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$- 15 + 9 σ - 20 + 25 σ - 52 + 16 σ + 39$
$0$	$=$	$- 48 + 50 σ$	$+ 48$
	↓	Löse nach $σ$ auf.
$48$	$=$	$50 σ$	$: 50$
$\frac{24}{25}$	$=$	$σ$

$d (\vec{a}; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{53}{25} - 5)}^{2} + {(- \frac{4}{5} - 4)}^{2} + {(\frac{229}{25} - 13)}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(- \frac{72}{25})}^{2} + {(- \frac{24}{5})}^{2} + {(- \frac{96}{25})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{5184}{625} + \frac{576}{25} + \frac{9216}{625}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{1152}{25}}$
	$=$	$\frac{24 \sqrt{2}}{5}$