Aufgaben zum Abstand

1. Erstelle von beiden Ebenen die Hessesche Normalenform:

$E_{HNF1}={\displaystyle \frac{2x_1-3x_2+x_3-4}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{2x_1-3x_2+x_3-4}{\sqrt{14}}}=0$

$E_{HNF2}={\displaystyle \frac{2x_1-3x_2+x_3-7}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{2x_1-3x_2+x_3-7}{\sqrt{14}}}=0$

2. Setze in beide Hesseschen Normalenformen den Koordinatenursprung $O\left(0|0|0\right)$ ein:

$d(O,E_1)=\left|{\displaystyle \frac{2\cdot 0-3\cdot 0+1\cdot 0-4}{\sqrt{14}}}\right|=\left|{\displaystyle \frac{-4}{\sqrt{14}}}\right|={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{14}}}$

$d(O,E_2)=\left|{\displaystyle \frac{2\cdot 0-3\cdot 0+1\cdot 0-7}{\sqrt{14}}}\right|=\left|{\displaystyle \frac{-7}{\sqrt{14}}}\right|={\displaystyle \frac{7}{\sqrt{14}}}$

Bei beiden Berechnungen sind die Werte in den Betragsstrichen negativ, d.h. beide Ebenen liegen oberhalb des Koordinatenursprungs.

$\Rightarrow d(E_1,E_2)=|d(O,E_1)-d(O,E_2)|=|\frac{4}{\sqrt{14}}-\frac{7}{\sqrt{14}}|=\frac{3}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{0,8}$

Antwort: Die beiden Ebenen haben einen Abstand von $\approx \mathrm{0,8}\text{LE}$.