Aufgaben zum Abstand

1. Berechne zunächst den Normalenvektor:

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$oder $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

In die Normalenform $H:\overrightarrow{n}\circ (\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA})=0$ wird der berechnete Normalenvektor und der Aufpunkt der Geraden $h$ eingesetzt $(h\in H)$.

$\Rightarrow$$H:\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)\circ (\overrightarrow{OX}-\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -2\end{array}\right))=0$

2. Schreibe die Normalenform der Ebene $H$ als Koordinatenform:

$2x_1+2x_2+x_3-(2+8-2)=0$ $\Rightarrow 2x_1+2x_2+x_3-8=0$

3. Berechne den Betrag des Normalenvektor $|\overrightarrow{n}|$ und wandle die Koordinatenform der Ebene in die Hessesche Normalenform um. Der Normalenvektor der Ebene $H$ ist $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$.

$|\overrightarrow{n}|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3$

$H_{HNF}:{\displaystyle \frac{2x_1+2x_2+x_3-8}{3}}=0$

4. Setze die Koordinaten des Aufpunktes der Geraden g in die Hessesche Normalenform ein:

$d(g,k)=\left|{\displaystyle \frac{2\cdot 0+2\cdot (-1)+1\cdot 1-8}{3}}\right|=\left|{\displaystyle \frac{-9}{3}}\right|=|-3|=3$

Antwort: Die beiden Geraden haben den Abstand $3\text{LE}$.

Nachteil: Die Lotfußpunkte können nicht berechnet werden.