Aufgaben zum Abstand

Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Projektionsverfahren.

$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$ , $P (3 | - 1 | 2)$

$E : (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) \circ \vec{x} + 27 = 0$ , $P (2 | - 4 | 1)$

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$d$	$=$	$\| \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})]}{\| (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \|} \|$
	$=$	$\| \frac{3 - 1 + (- 2) \cdot (- 1 - 2) + 3 \cdot 2}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2}}} \|$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$\| \frac{2 + 6 + 6}{\sqrt{1 + 4 + 9}} \|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\| \frac{14}{\sqrt{14}} \|$
	$=$	$\frac{14}{\sqrt{14}}$
	↓	Forme 14 um.
	$=$	$\frac{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14}}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\sqrt{14}$

$d$	$=$	$\| \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})]}{\| (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) \|} \|$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
	$=$	$\| \frac{(- 5) \cdot (- 3 - 1)}{\sqrt{2^{2} + {(- 5)}^{2} + 1^{2}}} \|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\| \frac{20}{\sqrt{4 + 25 + 1}} \|$
	$=$	$\| \frac{20}{\sqrt{30}} \|$
	$=$	$\frac{20}{\sqrt{30}}$

$d$	$=$	$\| \frac{(\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 9 \\ 0 \\ 0 \end{array})]}{\| (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) \|} \|$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
	$=$	$\| \frac{- 3 \cdot (2 - 9) + 2 \cdot (- 4) + (- 6) \cdot 1}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2} + {(- 6)}^{2}}} \|$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$\| \frac{21 - 8 - 6}{\sqrt{9 + 4 + 36}} \|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\| \frac{7}{\sqrt{49}} \|$
	$=$	$\frac{7}{7}$
	$=$	$1$