Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Hier findest du Rechen-, Sach-, und Ableseaufgaben rund um das Thema Bestimmung von Nullstellen.

Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab

$f (x) = 2 x - 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier wird die Nullstelle erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion $f$ die x-Achse genau im Punkt (4|0) schneidet.
$\Rightarrow$ Nullstelle bei $x = 4$ .
Graphische Veranschaulichung:
Lösung durch Berechnung:
$f (x)$ $=$ $2 x - 8$
↓
Setze $f (x) = 0$
$2 x - 8$ $=$ $0$ $+ 8$
$2 x$ $=$ $8$ $: 2$
$x$ $=$ $4$
Die Nullstelle der Funktion liegt bei $x = 4$ .

$g (x) = - x^{2} - 7 x - 10$

$h (x) = \frac{1}{10} (x + 6) (x - 2) (x - 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion $f$ die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei $x = - 6$ und $x = 2$ und $x = 4$ .
Graphische Veranschaulichunng
Lösung durch Berechnung:
$h (x) = \frac{1}{10} (x + 6) (x - 2) (x - 4)$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $h (x) = 0$ .
$\frac{1}{10} (x + 6) (x - 2) (x - 4) = 0$
Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann $0$ , wenn mindestens ein Faktor $0$ ist.
Für $x = - 6$ , $x = 2$ und $x = 4$ gilt:
$\frac{1}{10} (x + 6) (x - 2) (x - 4) = 0$
Die Nullstellen der Funktion liegen bei $x = - 6$ , $x = 2$ und $x = 4$ .
$f (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.
⇒ Nullstelle bei x=−1.
Graphische Veranschaulichung
Lösung durch Berechnung
$f (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $f (x) = 0$ .
$3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$
Kürze durch 3.
$x^{2} + 2 x + 1 = 0$
Ermittle die Lösung durch die Mitternachtsformel:
$x_{1,2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{(2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$
$x_{1,2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{- 2 \pm 0}{2} = - 1$
$\Rightarrow x_{1} = - 1$
Die Nullstelle liegt also bei $x_{1} = - 1$ .

2
Bestimme die Nullstelle(n) folgender Funktionen.
$f (x) = 4 x + 20$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
$f (x)$ $=$ $4 x + 20$
↓
Setze f(x)=0
$4 x + 20$ $=$ $0$ $- 20$
$4 x$ $=$ $- 20$ $: 4$
$x$ $=$ $- 5$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x = - 5$ .

$f (x) = 14 x - 21$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
$f (x)$ $=$ $14 x - 21$
↓
Setze f(x)=0
$14 x - 21$ $=$ $0$ $+ 21$
$14 x$ $=$ $21$ $: 14$
$x$ $=$ $1,5$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x = 1,5$ .

$f (x) = x^{2} + 6 x - 14$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
$f (x)$ $=$ $x^{2} + 6 x - 14 = 0$
↓
mit der pq-Formel lösen.
$x_{1,2}$ $=$ $- (\frac{p}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
Im obigen Fall ist p=6 und q=-14.
Einsetzen in die Formel:
$x_{1,2}$ $=$ $- 3 \pm \sqrt{9 - (- 14)}$
$x_{1}$ $=$ $- 3 + \sqrt{23} \lor x_{2} = - 3 - \sqrt{23}$
Die Nullstellen liegen also bei $x_{1} \approx 1,8$ und $x_{1} \approx - 7,8$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Lösung mit der Mitternachtsformel:
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 5 x + 6 = 0$
↓
Bestimme die Koeffizienten a, b und c.
$a$ $=$ $1$
$b$ $=$ $- 5$
$c$ $=$ $6$
↓
Setze nun die 3 Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$
$=$ $\frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$
$=$ $\frac{5 \pm 1}{2}$
$x_{1}$ $=$ $3$
$x_{2}$ $=$ $2$
Die Funktion f hat also die Nullstellen $x_{1} = 3$ und $x_{2} = 2$ .
Lösung mit dem Satz von Vieta:
$x^{2} - 5 x + 6$ $=$ $0$
↓
Da die Gleichung die Form $x^{2} + p x + q = 0$ hat, können wir den Satz von Vieta anwenden.
$x_{1} + x_{2}$ $=$ $- p = - (- 5) = 5$
$x_{1} \cdot x_{2}$ $=$ $q = 6$
Versuche durch Raten Lösungen für $x_{1}$ und $x_{2}$ zu finden. Mögliche Kandidaten sind die Teiler von 6. Also 1,2,3 und 6.
$x_{1}$
$x_{2}$
$x_{1} + x_{2}$
$x_{1} \cdot x_{2}$
$1$
$6$
$1 + 6 = 7$
$1 \cdot 6 = 6$
$2$
$3$
$2 + 3 = 5$
$2 \cdot 3 = 6$
Die Lösungen sind also $x_{1} = 2$ und $x_{2} = 3$ .
Es ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei der Mitternachtsformel.

$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{1} + x_{2}$	$x_{1} \cdot x_{2}$
$1$	$6$	$1 + 6 = 7$	$1 \cdot 6 = 6$
$2$	$3$	$2 + 3 = 5$	$2 \cdot 3 = 6$

Berechne die Nullstellen und entscheide welche Besonderheit vorliegt.

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2}$

$f (x) = 2 x^{5} + 64$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $2 x^{5} + 64$
↓
Die Funktion gleich 0 setzen
$0$ $=$ $2 x^{5} + 64$ $- 64$
$- 64$ $=$ $2 x^{5}$ $: 2$
$- 32$ $=$ $x^{5}$
↓
Fünfte Wurzel ziehen.
$x$ $=$ $- 2$
Die Funktion $f (x)$ hat eine Nullstelle bei $x = - 2$ .
Besonderheit
Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen

$f (x) = 3 x^{4} - 7 x^{2} + 2$

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} - \frac{7}{2} x^{2} + 6$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $\frac{1}{2} x^{4} - 8$
↓
Die Funktion gleich 0 setzen
$0$ $=$ $\frac{1}{2} x^{4} - 8$ $+ 8$
$8$ $=$ $\frac{1}{2} x^{4}$ $\cdot 2$
$16$ $=$ $x^{4}$
↓
Vierte Wurzel ziehen.
$x_{1,2}$ $=$ $\pm 2$
Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 2$ .
Besonderheit
Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen.

$f (x) = x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{4} x$

$f (x) = - \frac{1}{4} x^{3} - 16$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $- \frac{1}{4} x^{3} - 16$
↓
Funktion gleich 0 setzen
$0$ $=$ $- \frac{1}{4} x^{3} - 16$ $+ 16$
$16$ $=$ $- \frac{1}{4} x^{3}$ $: (- \frac{1}{4}) o d e r \cdot (- 4)$
↓
Brüche multiplizieren und dividieren
$- 64$ $=$ $x^{3}$ $\sqrt[3]{}$
↓
Dritte Wurzel ziehen
$x$ $=$ $- 4$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x = - 4$ .
Besonderheit
Spezialfall: Alle Zwischenglieder fehlen.

$f (x) = 2 x^{5} - 5 x^{4} - 3 x^{3}$

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$

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Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.
$f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f (x)$ ein.
$f (1) = 1^{3} - 1^{2} - 4 \cdot 1 + 4 = 0$
Die Funktion $f (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = 1$ eine Nullstelle. Da $f (1) = 0$ , wissen wir, dass $f (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x - 1)$ besitzt.
Führe nun die Polynomdivision $f (x) : (x - 1)$ durch.
$\begin{matrix} (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) : (x - 1) = x^{2} - 4 \\ - (x^{3} - x^{2}) \\ 0 - 4 x + 4 \\ - (- 4 x + 4) \\ 0 \end{matrix}$
Die Funktion $f (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.
$x^{2} - 4$ $=$ $0$ $+ 4$
$x^{2}$ $=$ $4$
↓
Wurzel ziehen.
$x_{2,3}$ $=$ $\pm \sqrt{4}$
$=$ $\pm 2$
Die Funktion $f (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 2$ .

$g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $g (x)$ ein.
$g (1) = 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 16 \cdot 1 + 12 = 0$
Die Funktion $g (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = 1$ eine Nullstelle. Da $g (1) = 0$ , wissen wir, dass $g (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x - 1)$ besitzt.
Führe nun die Polynomdivision $g (x) : (x - 1)$ durch.
$\begin{matrix} - (x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12) : (x - 1) = x^{2} + 4 x - 12 \\ - (x^{3} - x^{2}) \\ 4 x^{2} - 16 x \\ - (4 x^{2} - 4 x) \\ - 12 x + 12 \\ - (- 12 x + 12) \\ 0 \end{matrix}$
Die Funktion $g (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $g$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.
$x^{2} + 4 x - 12$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$
↓
Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$
$=$ $\frac{- 4 \pm 8}{2}$
$x_{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_{3} = \frac{- 12}{2} = - 6$
Fall 1: $+$
Fall 2: $-$
Die Funktion $g (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 6$ .

$h (x) = 3 x^{4} + 12 x^{3} - 33 x^{2} - 90 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$h (x)$ $=$ $3 x^{4} + 12 x^{3} - 33 x^{2} - 90 x$
↓
$3 x$ ausklammern.
$h (x)$ $=$ $3 x \cdot (x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30)$
$\Rightarrow x_{1} = 0$
Die Funktion $h (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 0$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $h$ bestimmen, indem du die Klammer gleich $0$ setzt.
$x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30 = 0$
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $- 2$ für $x$ ein.
$(- 2)^{3} + 4 \cdot (- 2)^{2} - 11 \cdot (- 2) - 30 = - 8 + 16 + 22 - 30 = 0$
Die Funktion $h (x)$ hat an der Stelle $x_{2} = - 2$ eine Nullstelle. Da $h (- 2) = 0$ , wissen wir, dass $h (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 2)$ besitzt.
Führe nun die Polynomdivision $(x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30) : (x + 2)$ durch.
$\begin{array}{l} (x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30) : (x + 2) = x^{2} + 2 x - 15 \\ - (x^{3} + 2 x^{2}) \\ 2 x^{2} - 11 x \\ - (2 x^{2} + 4 x) \\ - 15 x - 30 \\ - (- 15 x - 30) \\ 0 \end{array}$
Setze das erhaltene Polynom gleich $0$ .
$x^{2} + 2 x - 15$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{3,4}$ $=$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$
↓
Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{3,4}$ $=$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$
$x_{3,4}$ $=$ $\frac{- 2 \pm 8}{2}$
Fall 1: $+$
$x_{3} = \frac{6}{2} = 3$
Fall 2: $-$
$x_{4} = \frac{- 10}{2} = - 5$
Die Funktion $h (x)$ hat vier Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 2$ , $x_{3} = 3$ und $x_{4} = - 5$ .

$i (x) = x^{3} - 7 x - 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$i (x)$ $=$ $x^{3} - 7 x - 6$
↓
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $i (x)$ ein.
$i (1)$ $=$ $1^{3} - 7 \cdot 1 - 6$
$i (1)$ $=$ $- 12$
$i (1) \neq 0$
Setze z.B. $- 1$ in $i (x)$ ein.
$i (- 1) = (- 1)^{3} - 7 \cdot (- 1) - 6 = 0$
Die Funktion $i (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = - 1$ eine Nullstelle. Da $i (- 1) = 0$ , wissen wir, dass $i (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ besitzt.
Führe nun die Polynomdivision $i (x) : (x + 1)$ durch.
$\begin{matrix} - (x^{3} + 0 x^{2} - 7 x - 6) : (x + 1) = x^{2} - x - 6 \\ - (x^{3} + x^{2}) \\ - x^{2} - 7 x \\ - (- x^{2} - x) \\ - 6 x - 6 \\ - (- 6 x - 6) \\ 0 \end{matrix}$
Die Funktion $i (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = - 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $i$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.
$x^{2} - x - 6$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$
↓
Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{1 \pm 5}{2}$
$x_{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_{3} = \frac{- 4}{2} = - 2$
Fall 1: $+$
Fall 2: $-$
Die Funktion $i (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 3$ und $x_{3} = - 2$ .
5
Bestimme die Nullstellen der Funktion $f$ zum maximalen Definitionsbereich $𝔻_{f}$
$f : x \mapsto (e^{x} + 1) \cdot (x^{4} - 4 x^{2})$
(frei nach der Beispielabiturprüfung - Teil A 2014)

$(e^{x} + 1) \cdot (x^{4} - 4 x^{2}) = 0$
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.
$(e^{x} + 1) = 0 \lor (x^{4} - 4 x^{2}) = 0$
Da $e^{x}$ nie negativ ist, hat $(e^{x} + 1) = 0$ keine Lösung.
$(x^{4} - 4 x^{2})$ $=$ $0$
↓
$x^{2}$ ausklammern
$x^{2} (x^{2} - 4)$ $=$ $0$
Dieses Produkt ist auch null, wenn einer der Faktoren null ist.
$x = 0 \lor (x^{2} - 4) = 0$
$x^{2} - 4$ $=$ $0$ $+ 4$
$x^{2}$ $=$ $4$ $\sqrt{}$
$x$ $=$ $\pm 2$
Die Nullstellen sind also bei $x = 0, x = - 2, x = 2$ .
6
Bestimme mithilfe der Substitutionsmethode die Nullstellen von f.
$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Substitutionsverfahren
$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8$
Setze die Gleichung gleich $0$ .
$0 = x^{4} - 2 x^{2} - 8$
Nun zur Substitution:
$0 = (x^{2})^{2} - 2 x^{2} - 8$
Substituiere: $z = x^{2}$ .
$0 = z^{2} - 2 z - 8$
Löse die so gewonnene Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.
$z_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$
Jetzt wird noch vereinfacht.
$z_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}$
$z_{1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$
$z_{2} = \frac{2 - 6}{2} = - 2$
Zum Schluss muss natürlich die Resubstitution angewandt:
Um auf die Nullstellen von $f (x)$ zu kommen, musst du nun noch resubstituieren:
$z = x^{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{z}$
Aus $z_{1} = 4$ folgt:
$x_{1,2} = \pm \sqrt{4} \Rightarrow x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 2$
Aus $z = - 2$ bekommt man keine Lösungen für $f (x) = 0$ , da man aus um auf $x$ zu kommen die Wurzel aus $- 2$ ziehen müsste. Aber man kann keine Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen!
Die Funktion hat also die beiden Nullstellen $x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 2$ .

$f (x) = \frac{1}{2} x^{6} + x^{3} - 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Substitutionsverfahren
$f (x) = \frac{1}{2} x^{6} + x^{3} - 4$
Setzte die Gleichung gleich $0$ .
$0 = \frac{1}{2} x^{6} + x^{3} - 4$
Nun zur Substitution:
$0 = \frac{1}{2} (x^{3})^{2} + x^{3} - 4$
Substituiere: $u = x^{3}$ .
$0 = \frac{1}{2} u^{2} + u - 4$
Wende nun die Mitternachtsformel an um die Nullstellen der substituierten Gleichung zu berechnen.
$u_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (- 4)}}{2 \cdot \frac{1}{2}}$
Jetzt wird noch vereinfacht.
$u_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{1}$
$u_{1,2} = - 1 \pm \sqrt{9}$
$u_{1,2} = - 1 \pm 3$
Berechne $u_{1}$ und $u_{2}$ .
$u_{1} = 2$ und $u_{2} = - 4$
Resubstitution
Um auf die Nullstellen von $f (x)$ zu kommen, musst du nun noch resubstituieren:
$u = x^{3} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{u}$
$u_{1} = 2 \Leftrightarrow x_{1} = \sqrt[3]{2} \approx 1,26$
$u_{2} = - 4 \Leftrightarrow x_{2} = \sqrt[3]{- 4} \approx - 1,59$
Die Funktion hat also die beiden Nullstellen $x_{1} = \sqrt[3]{2}$ und $x_{2} = \sqrt[3]{- 4}$ .
7
Bestimme die Nullstelle(n) der folgenden Funktion und gib die Linearfaktordarstellung von $f$ an:
$f : x \mapsto \frac{1}{6} x^{4} - \frac{1}{6} x^{3} - x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellen bestimmen und Linearfaktordarstellung angeben.
$f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - \frac{1}{6} x^{3} - x^{2}$
Zur Berechnung der Nullstellen setzt du als Erstes $f (x) = 0$ .
$\frac{1}{6} x^{4} - \frac{1}{6} x^{3} - x^{2} = 0$
Aus dieser Gleichung klammerst du am Besten $x^{2}$ aus.
$x^{2} \cdot (\frac{1}{6} x^{2} - \frac{1}{6} x - 1) = 0$
Damit ist nämlich ein Produkt entstanden, das gleich $0$ ist. Daher kannst du nun jeden der Faktoren einzeln gleich $0$ setzen.
$\Rightarrow x^{2} = 0$ oder $\frac{1}{6} x^{2} - \frac{1}{6} x - 1 = 0$
$x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$ . Das ergibt die Nullstelle: $x_{1} = 0$
$\frac{1}{6} x^{2} - \frac{1}{6} x - 1 = 0 \Rightarrow ?$ Die Nullstellen des Terms in der Klammer musst du noch bestimmen.
$\frac{1}{6} x^{2} - \frac{1}{6} x - 1 = 0$
Das ist eine quadratische Gleichung, und darauf kannst du die Lösungsformel anwenden.
Das kannst du entweder jetzt direkt gleich tun;
oder du multiplizierst vorher, wenn du geschickt vorgehen möchtest, die Gleichung erst mit $6$ .
Dann fallen nämlich alle Brüche weg!
$\frac{1}{6} x^{2} - \frac{1}{6} x - 1 = 0$ | $\cdot 6$
$x^{2} - x - 6 = 0$
Berechne hiervon die Diskriminante.
$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 25$
Die Diskriminante ist größer als $0$ , also kannst du weiterrechnen und die beiden Lösungen bestimmen.
$x_{2 / 3} = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1}$
Die Lösungen heißen hier $x_{2 / 3}$ statt $x_{1 / 2}$ , da die Bezeichnung $x_{1}$ ja schon für die Nullstelle $x_{1} = 0$ vergeben wurde.
$x_{2 / 3} = \frac{1 \pm 5}{2}$
Rechne beide Werte aus.
$x_{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_{3} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$
Jetzt hast du alle Nullstellen von $f$ erhalten und kannst auch ihre Vielfachheiten angeben.
Nullstellen von $f$ :
$x_{1} = 0$
doppelte Nullstelle, d.h. Vielfachheit 2
$x_{2} = 3$
einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1
$x_{3} = - 2$
einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1
Linearfaktordarstellung angeben
$f (x) = ?$
Um die Linearfaktordarstellung angeben zu können, brauchst du
alle Nullstellen der Funktion, und
deren Vielfachheiten;
und den Faktor, der in der Funktion vor der höchsten $x$ -Potenz steht.
Als Linearfaktordarstellung von $f$ ergibt sich:
$f (x) = \frac{1}{6} \cdot (x - 0)^{2} \cdot (x - 3) \cdot (x - (- 2))$
oder kürzer $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} (x - 3) (x + 2)$
8
Es ist Erntezeit und Nico möchte Äpfel pflücken. Da er zu klein ist, um an die Äpfel zu kommen, stellt er eine Leiter unter den Apfelbaum. Von der Leiter aus will er die Äpfel in einen Korb werfen, der auf dem Boden ein Stück von der Leiter entfernt steht.
Nico wirft aus einer Höhe von $2 m$ . Nico kennt die Newton'schen Gesetze der Gravitation und weiß somit, dass die Flughöhe $h$ des Apfels in Abhängigkeit von der Entfernung $x$ zur Leiter beschrieben werden kann durch $h = - \frac{1}{2 m} x^{2} + 2$ .
Skizziere die Flugbahn des Apfels mithilfe einer Parabel in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
$h (x) = - \frac{1}{2 m} x^{2} + 2$

Berechne, mit wieviel Meter Abstand zur Leiter Nico den Korb positionieren muss, damit er genau in den Korb trifft.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Wenn Nico auf der Leiter steht, wirft er aus einer Höhe von $2 m$ . Du möchtest wissen, wie viele Meter von der Leiter entfernt der Apfel auf den Boden fällt.
Die $x - Achse$ stellt den Boden dar. Der $y - Achsenabschnitt$ beschreibt die Höhe, aus der Nico den Apfel wirft.
Um herauszufinden, mit welchem Abstand zur Leiter der Apfel auf dem Boden landet, musst du die Nullstellen der Funktion $h = - \frac{1}{2 m} x^{2} + 2$ berechnen.
$\begin{array}{cll} h & = 0 \\ - \frac{1}{2} x^{2} + 2 & = 0 & | - 2 \\ - \frac{1}{2} x^{2} & = - 2 & | \cdot (- 1) \\ \frac{1}{2} x^{2} & = 2 & | \cdot 2 \\ x^{2} & = 4 & | \sqrt{} \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{4} \\ | x | & = 2 \end{array}$
Du erhältst zwei Lösungen: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ .
Der Apfel fällt $2 m$ neben Nico auf den Boden. Er muss den Korb mit $2 m$ Abstand zur Leiter positionieren, damit er genau in den Korb trifft.

In Teilaufgabe b) erhältst du zwei Lösungen. Wieso ergibt nur eine Sinn?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
In Teilaufgabe b) erhältst du zwei Lösungen: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ .
In der Aufgabentellung solltest du einen Abstand berechnen. In diesem Fall macht die Lösung $x_{2} = - 2$ keinen Sinn, da es keine Abstand von $- 2 m$ gibt.

Bestimme die Nullstellen der Funktionen, indem du faktorisierst.

$f (x) = 3 x^{4} - 9 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3} - x$

$f (x) = 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$

$f (x) = x^{2} - 81$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
Es gibt (mindestens) drei Möglichkeiten:
Wurzelziehen
$\begin{aligned} f (x) = 0 & ⟺ x^{2} - 81 = 0 \\ ⟺ x^{2} = 81 \\ ⟺ x = 9 \lor x = - 9 \end{aligned}$
Dritte binomische Formel
$\begin{aligned} f (x) = 0 & ⟺ x^{2} - 81 = 0 \\ ⟺ (x + 9) \cdot (x - 9) = 0 \end{aligned}$
Nach dem Satz vom Nullprodukt folgt
$x + 9 = 0 \lor x - 9 = 0 ⟺ x = - 9 \lor x = 9$ .
Mitternachtsformel
Um diese Gleichung lösen zu können, brauchst du Wissen über die Mitternachtsformel.
Bestimme die Nullstellen:
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 81$
↓
Setze die Gleichung in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 0 \pm \sqrt{0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 81)}}{2 \cdot 1}$
↓
Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 0 \pm \sqrt{324}}{2}$
Fall 1:+
$x_{1} = \frac{+ 18}{2} = 9$
Fall 2:-
$x_{2} = \frac{- 18}{2} = - 9$
Ergebnis:
Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_{1} = 9$ und $x_{2} = - 9$ .

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$

$f (x) = 9 x^{2} + 24 x + 16$

$f (x) = 9 x^{4} - 81 x^{2}$

10
Lies die Nullstelle der folgenden Parabeln ab und berechne mit diesen den Scheitelpunkt.
$f (x) = x^{2} - 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Bei dieser Aufgabe solltest du dich mit Nullstellen und dem Scheitelpunkt von Parabeln auskennen.
Nullstellen ablesen
Schaue nach an welcher Stelle der Graph die x-Achse schneidet.
Die Nullstellen sind (0|0) und (2|0).
Scheitelpunkt berechnen
Da die Parabel Achsensymmetrisch ist liegt der x-Wert des Scheitelpunkts genau zwischen den x-Werten der Nullstellen. Der x-Wert des Scheitelpunktes ist also 1.
Berechne den y-Wert.
$f (1) = 1^{2} - 2 \cdot 1 = - 1$
Der Scheitelpunkt liegt bei (1|-1)

$g (x) = x^{2} - 4 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Bei dieser Aufgabe solltest du dich mit Nullstellen und dem Scheitelpunkt von Parabeln auskennen.
Nullstellen ablesen
Schaue nach an welcher Stelle der Graph die x-Achse schneidet.
Die Nullstellen sind (0|0) und (4|0).
Scheitelpunkt berechnen
Da die Parabel Achsensymmetrisch ist liegt der x-Wert des Scheitelpunkts genau zwischen den x-Werten der Nullstellen. Der x-Wert des Scheitelpunktes ist also 2.
Berechne den y-Wert.
$f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 = - 4$
Der Scheitelpunkt liegt bei (2|-4)

$f (x) = - (x + 1)^{2} + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Bei dieser Aufgabe solltest du dich mit Nullstellen und dem Scheitelpunkt von Parabeln auskennen.
Nullstellen ablesen
Schaue nach an welcher Stelle der Graph die x-Achse schneidet.
Die Nullstellen sind A(-3|0) und B(1|0).
Scheitelpunkt berechnen
Da die Parabel Achsensymmetrisch ist, liegt der x-Wert des Scheitelpunkts genau zwischen den x-Werten der Nullstellen. Der x-Wert des Scheitelpunktes ist also -1.
Berechne den y-Wert.
$f (- 1) = - (- 1 + 1)^{2} + 4 = - 0^{2} + 4 = 4$
Der Scheitelpunkt liegt bei $(- 1 | 4)$ .

$f (x) = (2 x)^{2} - 16$

Bei dieser Aufgabe solltest du dich mit Nullstellen und dem Scheitelpunkt von Parabeln auskennen.
Nullstellen ablesen
Schaue nach an welcher Stelle der Graph die x-Achse schneidet.
Die Nullstellen sind A(-2|0) und B(2|0).
Scheitelpunkt berechnen
Da die Parabel Achsensymmetrisch ist liegt der x-Wert des Scheitelpunkts genau zwischen den x-Werten der Nullstellen. Der x-Wert des Scheitelpunktes ist also 0.
Berechne den y-Wert.
$f (0) = (2 \cdot 0)^{2} - 16$
Der Scheitelpunkt liegt bei (0|-16)
11
Bestimme die Nullstellen:
$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $x^{4} - 3 x^{2} + 2$
↓
f(x) gleich 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
$x^{4} - 3 x^{2} + 2$ $=$ $0$
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.
$u$ $=$ $x^{2}$
$f (u)$ $=$ $u^{2} - 3 u + 2 = 0$
↓
Mitternachtsformel anwenden
$u_{1,2}$ $=$ $\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$
↓
Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
$=$ $\frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$
↓
Wurzel ziehen.
$=$ $\frac{3 \pm 1}{2}$
$u_{1} : \frac{4}{2} = 2$
Fall: +
$u_{2} : \frac{2}{2} = 1$
Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
$x_{1,2}^{2}$ $=$ $2$
↓
Wurzel ziehen
$x_{1,2}$ $=$ $\pm \sqrt{2}$
$x_{3,4}^{2}$ $=$ $1$
↓
Wurzel ziehen
$x_{3,4}$ $=$ $\pm 1$
Die Nullstellen der Funktion lauten $x_{1} = \sqrt{2}, x_{2} = - \sqrt{2}, x_{3} = 1, x_{4} = - 1$

$f (x) = x^{4} - \frac{17}{4} x^{2} + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.
$u$ $=$ $x^{2}$
$f (u)$ $=$ $u^{2} - \frac{17}{4} u + 1$
↓
Mitternachtsformal anwenden
$u_{1 / 2}$ $=$ $\frac{\frac{17}{4} \pm \sqrt{(- \frac{17}{4})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2}$
↓
Unter der Wurzel ausmultiplizieren
$=$ $\frac{\frac{17}{4} \pm \sqrt{14,0625}}{2}$
↓
Wurzel ziehen
$=$ $\frac{\frac{17}{4} \pm \frac{15}{4}}{2}$
$u_{1}$ $=$ $4$
↓
Fall: +
$u_{2}$ $=$ $\frac{1}{4}$
↓
Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
$x_{1,2}^{2}$ $=$ $4$
↓
Wurzel ziehen
$x_{1,2}$ $=$ $\pm 2$
$x_{3,4}^{2}$ $=$ $\frac{1}{4}$
↓
Wurzel ziehen
$x_{3,4}$ $=$ $\pm \frac{1}{2}$
Die Nullstellen der Funktion liegen bei $x_{1} = 2, x_{2} = - 2, x_{3} = \frac{1}{2}, x_{4} = - \frac{1}{2}$ .

$f (x) = (x^{2} - \frac{3}{2})^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $(x^{2} - \frac{3}{2})^{2}$
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.
$u$ $=$ $x^{2}$
$f (u)$ $=$ $(u - \frac{3}{2})^{2} = (u - \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})$
↓
Die Nullstellen können abgelesen werden
$u$ $=$ $\frac{3}{2}$
↓
Doppelte Nullstelle
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
$x_{1,2}^{2}$ $=$ $\frac{3}{2}$
↓
Wuzel ziehen
$x_{1}$ $=$ $\sqrt{\frac{3}{2}}$
$x_{2}$ $=$ $- \sqrt{\frac{3}{2}}$
↓
Zwei doppelte Nullstellen
Die Funktion hat zwei doppelte Nullstellen und zwar bei $x_{1} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ und $x_{2} = - \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

$f (x) = \frac{1}{2} x^{6} - 2 x^{3} - 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $\frac{1}{2} x^{6} - 2 x^{3} - 2$
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.
$u$ $=$ $x^{3}$
$f (u)$ $=$ $\frac{1}{2} u^{2} - 2 u - 2$
↓
Mitternachtsformel anwenden
$u_{1,2}$ $=$ $\frac{2 \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (- 2)}}{2 \cdot \frac{1}{2}}$
$=$ $\frac{2 \pm \sqrt{8}}{1} = 2 \pm \sqrt{8}$
$u_{1}$ $=$ $2 + \sqrt{8} \approx 4,83$
↓
Fall: +
$u_{2}$ $=$ $2 - \sqrt{8} \approx - 0,83$
↓
Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
$x_{1}^{3}$ $\approx$ $4,83$
↓
dritte Wurzel ziehen
$x_{1}$ $\approx$ $\sqrt[3]{4,83} \approx 1,69$
$x_{2}^{3}$ $\approx$ $- 0,83$
↓
dritte Wurzel ziehen
$x_{2}$ $\approx$ $\sqrt[3]{- 0,83} \approx - 0,94$
Die Funktion hat 2 Nullstellen bei $x_{1} \approx \sqrt[3]{4,83} \approx 1,69$ und bei $x_{2} \approx \sqrt[3]{- 0,83} \approx - 0,94$ .
12
Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.
$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$
↓
Setze die Funktion gleich 0.
$0$ $=$ $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$
↓
Klammere $x$ aus.
$0$ $=$ $x (x^{2} + 3 x - 4)$
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
$x_{1} = 0$
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
$(x^{2} + 3 x - 4) = 0$
Wende nun die Mitternachtsformel an, um das Ergebnis zu erhalten:
$x_{2,3} = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$
↓
Fasse unter der Wurzel zusammen.
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$
↓
Ziehe die Wurzel
$=$ $\frac{- 3 \pm 5}{2}$
Du erhältst also die beiden Nullstellen:
$x_{2} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1$
und:
$x_{3} = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4$
Die Funktion hat also insgesamt 3 Nullstellen und zwar bei $x_{1} = 0, x_{2} = 1$ und $x_{3} = - 4$ .

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}$
↓
Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus und setze $f (x)$ = 0
$0$ $=$ $x^{2} \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
$x_{1} = 0$
Das ist eine doppelte Nullstelle, da $x^{2}$ in der Faktordarstellung vorkommt.
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
$(x^{2} + 2 x + 1) = 0$
Wenn du die 1. binomische Formel anwendest, erhältst du:
${(x + 1)}^{2} = 0$
$x_{2} = - 1$ ist also auch eine doppelte Nullstelle.
Die Funktion hat also 2 doppelte Nullstellen und zwar bei $x_{1} = 0$ und $x_{2} = - 1$ .

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$f (x) = (x^{2} - 25) \cdot (\frac{1}{2} x + 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x) = (x^{2} - 25) \cdot (\frac{1}{2} x + 4)$
Setze die Funktion gleich 0:
$0 = (x^{2} - 25) \cdot (\frac{1}{2} x + 4)$
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, setze nun die erste Klammer gleich 0:
$0$ $=$ $(x^{2} - 25)$
↓
Benutze die 3. Binomische Formel
$0$ $=$ $(x - 5) \cdot (x + 5)$
$\Rightarrow x_{1,2} = \pm 5$
Setze als nächstes die zweite Klammer $0$ .
$0$ $=$ $\frac{1}{2} x + 4$ $- 4$
$- 4$ $=$ $\frac{1}{2} x$ $\cdot 2$
$- 8$ $=$ $x$
$\Rightarrow x_{3} = - 8$
Die Funktion hat also 3 Nullstellen und zwar bei $x_{1} = 5, x_{2} = - 5$ und $x_{3} = - 8$ .

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$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 6 x + 9$
↓
Setze die Funktion gleich 0.
$0$ $=$ $x^{2} - 6 x + 9$
↓
Wende die 2. Binomische Formel an.
$0$ $=$ ${(x - 3)}^{2}$
$0$ $=$ $(x - 3) \cdot (x - 3)$
Die Funktion hat also eine doppelte Nullstelle bei $x = 3$ .

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$f (x) = x^{6} - x^{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $x^{6} - x^{4}$
↓
Setze die Funktion gleich 0.
$0$ $=$ $x^{6} - x^{4}$
↓
Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus.
$0$ $=$ $x^{4} \cdot (x^{2} - 1)$
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
$x_{1} = 0$
Das ist eine vierfache Nullstelle, da $x^{4}$ in der Faktordarstellung vorkommt.
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
$0$ $=$ $(x^{2} - 1)$
↓
Verwende die 3. Binomische Formel.
$0$ $=$ $(x - 1) \cdot (x + 1)$
$\Rightarrow x_{2,3} = \pm 1$
Die Funktion hat also eine vierfache Nullstelle bei $x_{1} = 0$ und jeweils eine einfache Nullstelle bei $x_{2} = 1$ und $x_{3} = - 1$ .

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$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$
Diese Funktion ist ein Polynom 4. Grades, bei dem du $x$ nicht mehr ausklammern kannst, das macht es schwer die Nullstellen zu bestimmen. Hier verwendest du am besten eine Substitution:
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.
$u = x^{2}$
$f (x)$ $=$ $u^{2} - 6 u + 5$
↓
Setze die Funktion gleich 0.
$0$ $=$ $u^{2} - 6 u + 5$
Hier kannst du jetzt die Mitternachtsformel anwenden:
$u_{1,2}$ $=$ $\frac{6 \pm \sqrt{(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$
↓
Fasse unter der Wurzel zusammen.
$=$ $\frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$
$=$ $\frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$
$=$ $\frac{6 \pm 4}{2}$
Du erhältst also die beiden Nullstellen:
$u_{1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$ und:
$u_{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
$x_{1,2}^{2}$ $=$ $u_{1}$
$x_{1,2}^{2}$ $=$ $5$ $\sqrt{}$
$x_{1,2}$ $=$ $\pm \sqrt{5}$
Und noch für $u_{2}$ :
$x_{3,4}^{2}$ $=$ $u_{2}$
$x_{3,4}^{2}$ $=$ $1$ $\sqrt{}$
$x_{3,4}$ $=$ $\pm 1$
Die Funktion hat also 4 Nullstellen und zwar bei $x_{1} = \sqrt{5}, x_{2} = - \sqrt{5}, x_{3} = 1$ und $x_{4} = - 1$ .

$f (x) = (2 x - 4) (4 x^{2} - \frac{1}{3} x + 2) - 4 x + 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x) = (2 x - 4) (4 x^{2} - \frac{1}{3} x + 2) - 4 x + 8$
Ersetze den "schlimmen Teil"
Den Term $(4 x^{2} - \frac{1}{3} x + 2)$ bezeichnen wir als "schlimmen Teil". Ersetzen wir ihn also auch in der Vorschrift von $f$ :
$f (x) = (2 x - 4) \cdot$ schlimmer Teil $- 4 x + 8$
Was haben die Terme $(2 x - 4)$ und $- 4 x + 8$ gemeinsam?
$- 4 x + 8 = (- 2) \cdot (2 x - 4)$
Setze dies in die Vorschrift von $f$ ein
$f (x) = (2 x - 4) \cdot$ schlimmer Teil $- 2 \cdot (2 x - 4)$
Klammere $(2 x - 4)$ aus
$f (x) = (2 x - 4) \cdot$ $($ schlimmer Teil $- 2)$
Setze den "schlimmen Teil" ein
$f (x) = (2 x - 4) \cdot ((4 x^{2} - \frac{1}{3} x + 2) - 2)$
Löse innere Klammer auf
$f (x) = (2 x - 4) \cdot (4 x^{2} - \frac{1}{3} x + 2 - 2)$
$- 2$ und $+ 2$ heben sich gegenseitig auf
$f (x) = (2 x - 4) \cdot (4 x^{2} - \frac{1}{3} x)$
$f$ ist das Produkt von zwei Polynomfunktionen. Berechne die Nullstellen der Faktoren.
Nullstellen des linken Faktors
Setze $(2 x - 4)$ gleich Null
$2 x - 4 = 0$
Bringe die $4$ auf die andere Seite
$2 x - 4 = 0 | + 4$
Teile durch $2$
$2 x = 4 | : 2$
Erhalte die Nullstelle
$x_{1} = 2$
Nullstellen des rechten Faktors
Setze $(4 x^{2} - \frac{1}{3} x)$ gleich null. Da hier kein konstantes Glied auftaucht, können wir die kleinste Potenz von $x$ ausklammern. Wir haben dann: $x \cdot (4 x - \frac{1}{3})$
Dort lesen wir die Nullstelle $x_{2} = 0$ ab. Es fehlen uns nur noch die Nullstellen von $(4 x - \frac{1}{3})$ . Diese berechnen wir, indem wir $4 x - \frac{1}{3}$ gleich null setzen und diese Gleichung nach $x$ auflösen.
$4 x - \frac{1}{3} = 0$
Bringe die $\frac{1}{3}$ auf die andere Seite
$4 x - \frac{1}{3} = 0 | + \frac{1}{3}$
Teile durch 4
$4 x = \frac{1}{3} | : 4$
Erhalte die Nullstelle
$x_{3} = \frac{1}{12}$
Und die Nullstellen von $f$ lauten…
Das war etwas mühsam. Doch jetzt haben wir alle Nullstellen von $f$ . Sie lauten $x_{1} = 2, x_{2} = 0$ und $x_{3} = \frac{1}{12}$ .
Tipp: Welcher Teil bereitet dir Probleme? Kannst du ihn "ignorieren"?
Wenn du völlig auf dem Schlauch stehst, gehe nochmal zurück auf die Seite 2. Ausklammern von Faktoren(2|2).

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f (x)$ ein.
$f (1) = 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 6 = - 8$
$f (1) \neq 0$
Setze als nächstes z.B. $- 1$ in $f (x)$ ein.
$f (- 1) = (- 1)^{3} + 2 \cdot (- 1)^{2} - 5 \cdot (- 1) - 6 = 0$
Die Funktion $f (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = - 1$ eine Nullstelle. Da $f (- 1) = 0$ , wissen wir, dass $f (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ besitzt.
Führe nun die Polynomdivision $f (x) : (x + 1)$ durch.
$\begin{matrix} (x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6) : (x + 1) = x^{2} + x - 6 \\ - (x^{3} + x^{2}) \\ x^{2} - 5 x \\ - (x^{2} + x) \\ - 6 x - 6 \\ - (- 6 x - 6) \\ 0 \end{matrix}$
Die Funktion $f (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = - 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.
$x^{2} + x - 6 = 0$
Wende hier die Mitternachtsformel an.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$
↓
Fasse unter der Wurzel zusammen
$=$ $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1}$
$=$ $\frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}$
Du erhältst die beiden Nullstellen:
$x_{2} = \frac{4}{2} = 2$ und:
$x_{3} = \frac{- 6}{2} = - 3$
Die Funktion $f (x)$ hat also drei Nullstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 3$ .

Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen.

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} \cdot (x + 1)}$

$l (x) = \sqrt[3]{2 x^{2} - 8}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$l (x) = \sqrt[3]{2 x^{2} - 8} = 0$
Setze den Radikanden $2 x^{2} - 8$ gleich Null und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 8 & = & 0 & | + 8 \\ 2 x^{2} & = & 8 & | : 2 \\ x^{2} & = & 4 & | \sqrt{} \\ x_{1,2} & = & \pm 2 \end{array}$
Die Funktion $l (x)$ hat zwei Nullstellen bei $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ .
$n (x) = \sqrt[6]{4 x^{3} - 20 x^{2} + 8 x + 32}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$n (x)$ $=$ $\sqrt[6]{4 x^{3} - 20 x^{2} + 8 x + 32}$
↓
Setze den Radikanden $4 x^{3} - 20 x^{2} + 8 x + 32$ gleich Null.
$4 x^{3} - 20 x^{2} + 8 x + 32$ $=$ $0$ $: 4$
$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8$ $=$ $0$
↓
Finde eine Nullstelle durch Einsetzen einfacher Werte.
Finde die Nullstelle $x_{1} = - 1$ .
Führe mit dem zur Nullstelle $x_{1}$ gehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ die Polynomdivision durch.
$(x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8) : (x + 1) = x^{2} - 6 x + 8$ $- (x^{3} + x^{2})$ $- 6 x^{2} + 2 x$ $- (- 6 x^{2} - 6 x)$ $8 x + 8$ $- (8 x + 8)$ $0$
Setze das erhaltene Polynom gleich Null.
$x^{2} - 6 x + 8$ $=$ $0$
↓
Finde die beiden anderen Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{6 \pm \sqrt{4}}{2}$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{6 \pm 2}{2}$
$x_{2} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_{3} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Die Funktion $n (x)$ hat drei Nulstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 4$ , $x_{3} = 2$ .
$g (x) = \sin (2 x + 0,5 π)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$g (x) = \sin (2 x + 0,5 π) = 0$
Man weiß, dass $\sin (k \cdot π) = 0$ mit $k \in ℤ$ . Setze das Argument der Sinusfunktion also gleich $k \cdot π$ und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcl} 2 x + 0,5 π & = & k \cdot π & | - 0,5 π \\ 2 x & = & k \cdot π - 0,5 π & | \cdot \frac{1}{2} \\ x & = & \frac{1}{2} \cdot (k \cdot π - 0,5 π) & | π ausklammern \\ x & = & \frac{1}{2} π \cdot (k - 0,5) \end{array}$
Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.
$N = {\frac{1}{2} π \cdot (k - 0,5) | k \in ℤ}$

$h (x) = \cos (\frac{x}{π})$

$m (x) = \sqrt{\tan (x)}$

$i (x) = \ln (x^{3} + 9)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$i (x) = \ln (x^{3} + 9) = 0$
Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist. Setze also das Argument $x^{3} + 9$ gleich Eins und löse die Gleichung.
$\begin{array}{rcl} x^{3} + 9 & = & 1 & | - 9 \\ x^{3} & = & - 8 & | \sqrt[3]{} \\ x_{1} & = & - 2 \end{array}$
Die Funktion $i (x)$ hat eine Nullstelle bei $x_{1} = - 2$ .

$k (x) = \log_{2} (x^{2} + 3 x - 3)$

14
Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a} (x) = a x^{2} + 6 x - 3$ mit $a \neq 0$ .
Ermittle die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit des Parameters $a$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f_{a} (x)$ $=$ $a x^{2} + 6 x - 3$
↓
Setze die Funktion gleich 0.
$a x^{2} + 6 x - 3$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot a \cdot (- 3)}}{2 \cdot a}$
↓
Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 a}}{2 a}$
Dieser Term kann auch noch weiter gekürzt werden. Für die Bearbeitung dieser Aufgabe ist das jedoch nicht notwendig. Im Folgenden wird der Term noch weiter vereinfacht:
Unter der Wurzel kannst du die $4$ ausklammern.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 6 \pm \sqrt{4 \cdot (9 + 3 a)}}{2 a}$
↓
4 aus der Wurzel kürzen.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{9 + 3 a}}{2 a}$
↓
2 ausklammern.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{2 \cdot (- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a})}{2 a}$
↓
Bruch kürzen.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a}}{a}$

Bestimme $a$ so, dass es genau eine Nullstelle gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
Aus Aufgabe $a)$ weißt du, dass die Nullstellen bei $x_{1,2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a}}{a}$ liegen.
Die Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn die Diskriminante gleich Null wird.
$D$ $=$ $9 + 3 a$
↓
Setze die Diskriminante gleich Null.
$0$ $=$ $9 + 3 a$ $- 9$
$- 9$ $=$ $3 a$ $: 3$
$a$ $=$ $- 3$
DIe Funktion $f_{a} (x)$ hat für $a = - 3$ genau eine Nullstelle.

Bestimme $a$ so, dass $x = - 1$ eine Nullstelle ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
Aus Aufgabe $a)$ weißt du, dass die Nullstellen bei $x_{1,2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a}}{a}$ liegen.
Setze den Term gleich $- 1$ und löse die Gleichung.
$\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a}}{a}$ $=$ $- 1$ $\cdot a$
$- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a}$ $=$ $- a$ $+ 3$
$\pm \sqrt{9 + 3 a}$ $=$ $- a + 3$ ${()}^{2}$
$9 + 3 a$ $=$ $a^{2} - 6 a + 9$ $- (9 + 3 a)$
$0$ $=$ $a^{2} - 9 a$ $: a (möglich, da a \neq 0)$
$0$ $=$ $a - 9$ $+ 9$
$9$ $=$ $a$
Die Funktion $f_{a} (x)$ hat für $a = 9$ eine Nullstelle bei $x = - 1$ .
15
Gegeben ist die Funktionenschar $f_{b} (x) = x^{4} + b x^{2} + 6$ mit $b \neq 0$ .
Bestimme die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit von $b$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f_{b} (x)$ $=$ $x^{4} + b x^{2} + 6$
↓
Setze die Funktion gleich $0$ .
$0$ $=$ $x^{4} - b x^{2} + 6$
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt. Hier wird $x^{2}$ durch $u$ ersetzt.
$u^{2} + b u + 6$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$
↓
Unter der Wurzel zusammenfassen.
$=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 24}}{2}$
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
$(x_{1,2,3,4})^{2} = u_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 24}}{2}$
Wurzel ziehen.
$x_{1,2,3,4} = \pm \sqrt{\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 24}}{2}}$

Bestimme $b$ so, dass $x = \sqrt{2}$ eine Nullstelle ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
Aus Aufgabe $a)$ weißt du, dass die Nullstellen bei $x_{1,2,3,4} = \pm \sqrt{\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 24}}{2}}$ liegen.
Setze den Term gleich $\sqrt{2}$ und löse die Gleichung.
$\begin{array}{rcl} \pm \sqrt{\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 24}}{2}} & = & \sqrt{2} & | ()^{2} \\ \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 24}}{2} & = & 2 & | \cdot 2 \\ - b \pm \sqrt{b^{2} - 24} & = & 4 & | + b \\ \pm \sqrt{b^{2} - 24} & = & b + 4 & | ()^{2} \\ b^{2} - 24 & = & b^{2} + 8 b + 16 & | - (b^{2} + 16) \\ - 40 & = & 8 b & | : 8 \\ - 5 & = & b \end{array}$
Die Funktion $f_{b} (x)$ hat für $b = - 5$ eine Nullstelle bei $x = \sqrt{2}$ .
16
Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) = k x^{2} + k x - 7,5$ mit $k \neq 0$ .
Bestimme $k$ so, dass es nur eine Nullstelle gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f_{k} (x) = k x^{2} + k x - 7,5$
Die Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn die Diskriminante gleich Null wird.
$D$ $=$ $k^{2} - 4 \cdot k \cdot (- 7,5)$
↓
Setze die Diskriminante gleich Null.
$=$ $k^{2} + 30 k$
$k^{2} + 30 k$ $=$ $0$ $k$
↓
Da $k \neq 0$ kannst du durch $k$ teilen
$k + 30$ $=$ $0$ $- 30$
$k$ $=$ $- 30$
DIe Funktion $f_{k} (x)$ hat für $k = - 30$ genau eine Nullstelle.

Bestimme $k$ so, dass $x = - 2,5$ eine Nullstelle ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f_{k} (x)$ $=$ $k x^{2} + k x - 7,5$
↓
Setze die Funktion gleich $0$ .
$k x^{2} + k x - 7,5$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- k \pm \sqrt{k^{2} 4 \cdot k \cdot (- 7,5)}}{2 \cdot k}$
↓
Unter der Wurzel zusammenfassen.
$=$ $\frac{- k \pm \sqrt{k^{2} + 30 k}}{2 k}$
Setze den Term gleich $- 2,5$ und löse die Gleichung.
$\begin{array}{rcl} \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} + 30 k}}{2 k} & = & - 2,5 & | \cdot 2 k \\ - k \pm \sqrt{k^{2} + 30 k} & = & - 5 k & | + k \\ \pm \sqrt{k^{2} + 30 k} & = & - 4 k & | ()^{2} \\ k^{2} + 30 k & = & 16 k^{2} & | - (k^{2} + 30 k) \\ 0 & = & 15 k^{2} - 30 k & | : k (möglich, da k \neq 0) \\ 0 & = & 15 k - 30 & | + 30 \\ 30 & = & 15 k & | : 15 \\ 2 & = & k \end{array}$
Die Funktion $f_{k} (x)$ für $k = 2$ eine Nullstelle bei $x = - 2,5$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$9 y - 81$	$=$	$0$	$+ 81$
$9 y$	$=$	$81$	$: 9$

$f (x)$	$=$	$2 x - 8$
	↓	Setze $f (x) = 0$
$2 x - 8$	$=$	$0$	$+ 8$
$2 x$	$=$	$8$	$: 2$
$x$	$=$	$4$

$g (x)$	$=$	$- x^{2} - 7 x - 10$
	↓	Setze $g (x) = 0$
$- x^{2} - 7 x - 10$	$=$	$0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- (- 7) \pm \sqrt{(- 7)^{2} - 4 (- 1) (- 10)}}{2 (- 1)}$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$
	↓	Berechne die Wurzel
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{7 \pm 3}{- 2}$
	↓	1 Fall: $+$
$x_{1}$	$=$	$\frac{10}{- 2}$
	$=$	$- 5$
	↓	2 Fall: $-$
$x_{2}$	$=$	$\frac{7 - 3}{- 2}$
	$=$	$- 2$

$f (x)$	$=$	$4 x + 20$
	↓	Setze f(x)=0
$4 x + 20$	$=$	$0$	$- 20$
$4 x$	$=$	$- 20$	$: 4$
$x$	$=$	$- 5$

$f (x)$	$=$	$14 x - 21$
	↓	Setze f(x)=0
$14 x - 21$	$=$	$0$	$+ 21$
$14 x$	$=$	$21$	$: 14$
$x$	$=$	$1,5$

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 6 x - 14 = 0$
	↓	mit der pq-Formel lösen.
$x_{1,2}$	$=$	$- (\frac{p}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

$x_{1,2}$	$=$	$- 3 \pm \sqrt{9 - (- 14)}$
$x_{1}$	$=$	$- 3 + \sqrt{23} \lor x_{2} = - 3 - \sqrt{23}$

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
	↓	Bestimme die Koeffizienten a, b und c.
$a$	$=$	$1$
$b$	$=$	$- 5$
$c$	$=$	$6$
	↓	Setze nun die 3 Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$
	$=$	$\frac{5 \pm 1}{2}$
$x_{1}$	$=$	$3$
$x_{2}$	$=$	$2$

$x^{2} - 5 x + 6$	$=$	$0$
	↓	Da die Gleichung die Form $x^{2} + p x + q = 0$ hat, können wir den Satz von Vieta anwenden.
$x_{1} + x_{2}$	$=$	$- p = - (- 5) = 5$
$x_{1} \cdot x_{2}$	$=$	$q = 6$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2}$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2}$
	↓	Der niedrigste Exponent ist 2, also kann $x^{2}$ ausgeklammert werden.
$0$	$=$	$x^{2} \cdot (- \frac{1}{2} x - 2)$
	↓	Die erste (doppelte) Nullstelle liegt bei 0.
$\Rightarrow x_{1,2}$	$=$	$0$
	↓	Um weitere Nullstellen zu bestimmen, betrachte den Term in der Klammer.
$0$	$=$	$- \frac{1}{2} x - 2$	$+ \frac{1}{2} x$
$\frac{1}{2} x$	$=$	$- 2$	$\cdot 2$
$\Rightarrow x_{3}$	$=$	$- 4$

$f (x)$	$=$	$2 x^{5} + 64$
	↓	Die Funktion gleich 0 setzen
$0$	$=$	$2 x^{5} + 64$	$- 64$
$- 64$	$=$	$2 x^{5}$	$: 2$
$- 32$	$=$	$x^{5}$
	↓	Fünfte Wurzel ziehen.
$x$	$=$	$- 2$

$x_{1,2}^{2}$	$=$	$2$
	↓	Wurzel ziehen
$x_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{2}$
$x_{3,4}^{2}$	$=$	$\frac{1}{3}$
	↓	Wurzel ziehen
$x_{3,4}$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

$i (x)$	$=$	$x^{3} - 7 x - 6$
	↓	Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $i (x)$ ein.
$i (1)$	$=$	$1^{3} - 7 \cdot 1 - 6$
$i (1)$	$=$	$- 12$

$f (x)$	$=$	$3 x^{4} - 9 x^{3}$
	↓	Klammere $x^{3}$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$f (x)$	$=$	$x^{3} \cdot (3 x - 9)$
	↓	Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
$0$	$=$	$x^{3} \cdot (3 x - 9)$
	↓	Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist! Setze jeden Faktor gleich null!
$x^{3}$	$=$	$0$
	↓	Ziehe die 3. Wurzel.
$x$	$=$	$0$

$f (x)$	$=$	$2 x^{3} - x$
	↓	Klammere $x$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$f (x)$	$=$	$x \cdot (2 x^{2} - 1)$
	↓	Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
$0$	$=$	$x \cdot (2 x^{2} - 1)$
	↓	Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

$f (x)$	$=$	$3 x^{4} - 7 x^{2} + 2$
	↓	Substitution
$u$	$=$	$x^{2}$
$f (u)$	$=$	$3 u^{2} - 7 u + 2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{(- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6}$
	↓	Unter der Wurzel die Differenz bilden
	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{25}}{6}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{7 \pm 5}{6}$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{4} - \frac{7}{2} x^{2} + 6$
	↓	Substitution
$u$	$=$	$x^{2}$
$f (u)$	$=$	$- \frac{1}{2} u^{2} - \frac{7}{2} u + 6$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{\frac{7}{2} \pm \sqrt{(- \frac{7}{2})^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot 6}}{2 \cdot (- \frac{1}{2})}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{\frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4} + 12}}{- 1}$
	↓	Unter der Wurzel die Summe bilden.
	$=$	$\frac{3,5 \pm \sqrt{24,25}}{- 1}$
$u_{1}$	$=$	$\frac{3,5 + \sqrt{24,25}}{- 1} \approx - 8,424$
	↓	Fall: +; keine Resubstitution möglich, da negativ
$u_{2}$	$=$	$\frac{3,5 - \sqrt{24,25}}{- 1} \approx 1,424$
	↓	Fall: -; Resubstitution
$x_{1,2}^{2}$	$=$	$\frac{3,5 - \sqrt{24,25}}{- 1} \approx 1,424$
	↓	Wurzel ziehen.
$x_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{1,424}$

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{4} - 8$
	↓	Die Funktion gleich 0 setzen
$0$	$=$	$\frac{1}{2} x^{4} - 8$	$+ 8$
$8$	$=$	$\frac{1}{2} x^{4}$	$\cdot 2$
$16$	$=$	$x^{4}$
	↓	Vierte Wurzel ziehen.
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 2$

$f (x)$	$=$	$x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$
	↓	$x^{2}$ ausklammern.
	$=$	$x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)$
$x_{1,2}$	$=$	$0$
	↓	Doppelte Nullstelle; Setze die Klammer gleich 0
$0$	$=$	$(x^{2} + 10 x + 25)$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$x_{3,4}$	$=$	$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$
	$=$	$\frac{- 10 \pm 0}{2}$
$x_{3,4}$	$=$	$\frac{- 10}{2}$
	$=$	$- 5$
	↓	Doppelte Nullstelle

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{4} x$
	↓	x ausklammern
	$=$	$x \cdot (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4})$
$x_{1}$	$=$	$0$
$0$	$=$	$(\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4})$
	↓	Klammer gleich 0 setzen
$0$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4}$	$+ \frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2}$	$\cdot 2 o d e r : \frac{1}{2}$
	↓	Brüche multiplizieren und dividieren
$x^{2}$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt[2]{}$
	↓	Quadratwurzel ziehen
$x_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{1}{2}} \approx \pm 0,71$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{4} x^{3} - 16$
	↓	Funktion gleich 0 setzen
$0$	$=$	$- \frac{1}{4} x^{3} - 16$	$+ 16$
$16$	$=$	$- \frac{1}{4} x^{3}$	$: (- \frac{1}{4}) o d e r \cdot (- 4)$
	↓	Brüche multiplizieren und dividieren
$- 64$	$=$	$x^{3}$	$\sqrt[3]{}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen
$x$	$=$	$- 4$

$f (x)$	$=$	$2 x^{5} - 5 x^{4} - 3 x^{3}$
	↓	$x^{3}$ ausklammern
	$=$	$x^{3} \cdot (2 x^{2} - 5 x - 3)$
$x_{1}$	$=$	$0$
	↓	Dreifache Nullstelle; Klammer gleich 0 setzen
$(2 x^{2} - 5 x - 3)$	$=$	$0$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{5 + 7}{4} = 3$
$x_{3}$	$=$	$\frac{5 - 7}{4} = - \frac{1}{2}$

$f (x)$	$=$	$x^{4} - 5 x^{2} + 4$
	↓	Substitution
$u$	$=$	$x^{2}$
$f (u)$	$=$	$u^{2} - 5 u + 4$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$
	↓	Wurzel ziehen
$u_{1}$	$=$	$\frac{5 + 3}{2} = 4$
$u_{2}$	$=$	$\frac{5 - 3}{2} = 1$
	↓	Resubstitution
$x_{1,2}^{2}$	$=$	$4$
	↓	Wurzel ziehen
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 2$
$x_{3,4}^{2}$	$=$	$1$
	↓	Wurzel ziehen
$x_{3,4}$	$=$	$\pm 1$

$x^{2} - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$x^{2}$	$=$	$4$
	↓	Wurzel ziehen.
$x_{2,3}$	$=$	$\pm \sqrt{4}$
	$=$	$\pm 2$

$x^{2} + 4 x - 12$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$
	$=$	$\frac{- 4 \pm 8}{2}$

Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Graphische Veranschaulichung:

Lösung durch Berechnung:

Graphische Veranschaulichung:

Lösung durch Berechnung:

Graphische Veranschaulichunng

Lösung durch Berechnung:

Graphische Veranschaulichung

Lösung durch Berechnung

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Nullstellenbestimmung

Resubstitution

Besonderheit

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Nullstellenbestimmung

Anwenden der 1. binomischen Formel für x3,4

Besonderheit

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Nun zur Substitution:

Zum Schluss muss natürlich die Resubstitution angewandt:

Nun zur Substitution:

Resubstitution

Linearfaktordarstellung angeben

Ausklammern

Ausklammern

Ausklammern & Mitternachtsformel

Wurzelziehen

Dritte binomische Formel

Mitternachtsformel

Mitternachtsformel

Mitternachtsformel

Subsitution & pq-Formel

Nullstellen ablesen

Scheitelpunkt berechnen

Nullstellen ablesen

Scheitelpunkt berechnen

Nullstellen ablesen

Scheitelpunkt berechnen

Nullstellen ablesen

Scheitelpunkt berechnen

Substitution

Resubstitution

Substitution

Resubstitution

Substitution

Resubstitution

Substitution

Resubstitution

Resubstitution

Ersetze den "schlimmen Teil"

Nullstellen des linken Faktors

Nullstellen des rechten Faktors

Und die Nullstellen von f lauten…

Substitution

Resubstitution

Anwenden der 1. binomischen Formel für $x_{3,4}$

Und die Nullstellen von $f$ lauten…

$h (x)$	$=$	$3 x^{4} + 12 x^{3} - 33 x^{2} - 90 x$
	↓	$3 x$ ausklammern.
$h (x)$	$=$	$3 x \cdot (x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30)$

$x^{2} + 2 x - 15$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{3,4}$	$=$	$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{3,4}$	$=$	$\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$
$x_{3,4}$	$=$	$\frac{- 2 \pm 8}{2}$

$x^{2} - x - 6$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{1 \pm 5}{2}$

$(x^{4} - 4 x^{2})$	$=$	$0$
	↓	$x^{2}$ ausklammern
$x^{2} (x^{2} - 4)$	$=$	$0$

$2 x^{2} - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
	↓	Forme um und ziehe die Wurzel.
$2 x^{2}$	$=$	$1$	$: 2$
$x^{2}$	$=$	$0,5$	$\pm \sqrt{}$
$x_{2}$	$=$	$\sqrt{0,5}$
$x_{3}$	$=$	$- \sqrt{0,5}$

$f (x)$	$=$	$3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$
	↓	Klammere $x$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$f (x)$	$=$	$x \cdot (3 x^{2} - 3 x - 6)$
	↓	Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
$0$	$=$	$x \cdot (3 x^{2} - 3 x - 6)$
	↓	Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

$f (x)$	$=$	$3 x^{2} - 3 x - 6$
	↓	Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 3}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{81}}{6}$
	↓	Löse die Diskriminante auf!

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 81$
	↓	Setze die Gleichung in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 0 \pm \sqrt{0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 81)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 0 \pm \sqrt{324}}{2}$

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 10 x + 25$
	↓	Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- (- 10) \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{10 \pm \sqrt{0}}{2}$
	↓	Da die Diskriminante null ist, sind $x_{1}$ und $x_{2}$ gleich!
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{10}{2}$
$x_{1,2}$	$=$	$5$

$f (x)$	$=$	$9 x^{2} + 24 x + 16$
	↓	Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 24 \pm \sqrt{0}}{18}$
	↓	Da die Diskriminante null ist, sind $x_{1}$ und $x_{2}$ gleich!
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 24}{18}$
$x_{1,2}$	$=$	$- 1, 3$