Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab

$f (x) = 2 x - 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier wird die Nullstelle erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion $f$ die x-Achse genau im Punkt (4|0) schneidet.
$\Rightarrow$ Nullstelle bei $x = 4$ .
Graphische Veranschaulichung:
Lösung durch Berechnung:
$f (x)$ $=$ $2 x - 8$
↓
Setze $f (x) = 0$
$2 x - 8$ $=$ $0$ $+ 8$
$2 x$ $=$ $8$ $: 2$
$x$ $=$ $4$
Die Nullstelle der Funktion liegt bei $x = 4$ .

$g (x) = - x^{2} - 7 x - 10$

$h (x) = \frac{1}{10} (x + 6) (x - 2) (x - 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion $f$ die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei $x = - 6$ und $x = 2$ und $x = 4$ .
Graphische Veranschaulichunng
Lösung durch Berechnung:
$h (x) = \frac{1}{10} (x + 6) (x - 2) (x - 4)$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $h (x) = 0$ .
$\frac{1}{10} (x + 6) (x - 2) (x - 4) = 0$
Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann $0$ , wenn mindestens ein Faktor $0$ ist.
Für $x = - 6$ , $x = 2$ und $x = 4$ gilt:
$\frac{1}{10} (x + 6) (x - 2) (x - 4) = 0$
Die Nullstellen der Funktion liegen bei $x = - 6$ , $x = 2$ und $x = 4$ .
$f (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.
⇒ Nullstelle bei x=−1.
Graphische Veranschaulichung
Lösung durch Berechnung
$f (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $f (x) = 0$ .
$3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$
Kürze durch 3.
$x^{2} + 2 x + 1 = 0$
Ermittle die Lösung durch die Mitternachtsformel:
$x_{1,2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{(2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$
$x_{1,2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{- 2 \pm 0}{2} = - 1$
$\Rightarrow x_{1} = - 1$
Die Nullstelle liegt also bei $x_{1} = - 1$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$g (x)$	$=$	$- x^{2} - 7 x - 10$
	↓	Setze $g (x) = 0$
$- x^{2} - 7 x - 10$	$=$	$0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- (- 7) \pm \sqrt{(- 7)^{2} - 4 (- 1) (- 10)}}{2 (- 1)}$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$
	↓	Berechne die Wurzel
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{7 \pm 3}{- 2}$
	↓	1 Fall: $+$
$x_{1}$	$=$	$\frac{10}{- 2}$
	$=$	$- 5$
	↓	2 Fall: $-$
$x_{2}$	$=$	$\frac{7 - 3}{- 2}$
	$=$	$- 2$

$f (x)$	$=$	$2 x - 8$
	↓	Setze $f (x) = 0$
$2 x - 8$	$=$	$0$	$+ 8$
$2 x$	$=$	$8$	$: 2$
$x$	$=$	$4$

Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Graphische Veranschaulichung:

Lösung durch Berechnung:

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Lösung durch Berechnung:

Graphische Veranschaulichunng

Lösung durch Berechnung:

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