Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Bestimme die Nullstellen der Funktionen, indem du faktorisierst.

$f (x) = 3 x^{4} - 9 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3} - x$

$f (x) = 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$

$f (x) = 9 x^{2} + 24 x + 16$

$f (x) = 9 x^{4} - 81 x^{2}$

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$f (x)$	$=$	$9 x^{4} - 81 x^{2}$
	↓	Wandle die Substitution x² = y in eine Quadratische Gleichung um.
$f (y)$	$=$	$9 y^{2} - 81 y$
	↓	Setzte $f (y) = 0$
$0$	$=$	$9 y^{2} - 81 y$
	↓	Klammere $y$ aus.
$0$	$=$	$y \cdot (9 y - 81)$
	↓	Ein Produkt ist $0$ , wenn mindestens einer der Faktoren $0$ ist.

$9 y - 81$	$=$	$0$	$+ 81$
$9 y$	$=$	$81$	$: 9$

$f (x)$	$=$	$3 x^{4} - 9 x^{3}$
	↓	Klammere $x^{3}$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$f (x)$	$=$	$x^{3} \cdot (3 x - 9)$
	↓	Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
$0$	$=$	$x^{3} \cdot (3 x - 9)$
	↓	Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist! Setze jeden Faktor gleich null!
$x^{3}$	$=$	$0$
	↓	Ziehe die 3. Wurzel.
$x$	$=$	$0$

$f (x)$	$=$	$2 x^{3} - x$
	↓	Klammere $x$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$f (x)$	$=$	$x \cdot (2 x^{2} - 1)$
	↓	Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
$0$	$=$	$x \cdot (2 x^{2} - 1)$
	↓	Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

$f (x)$	$=$	$3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$
	↓	Klammere $x$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$f (x)$	$=$	$x \cdot (3 x^{2} - 3 x - 6)$
	↓	Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
$0$	$=$	$x \cdot (3 x^{2} - 3 x - 6)$
	↓	Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

$f (x)$	$=$	$3 x^{2} - 3 x - 6$
	↓	Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 3}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{81}}{6}$
	↓	Löse die Diskriminante auf!

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 81$
	↓	Setze die Gleichung in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 0 \pm \sqrt{0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 81)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 0 \pm \sqrt{324}}{2}$

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 10 x + 25$
	↓	Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- (- 10) \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{10 \pm \sqrt{0}}{2}$
	↓	Da die Diskriminante null ist, sind $x_{1}$ und $x_{2}$ gleich!
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{10}{2}$
$x_{1,2}$	$=$	$5$

$f (x)$	$=$	$9 x^{2} + 24 x + 16$
	↓	Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 24 \pm \sqrt{0}}{18}$
	↓	Da die Diskriminante null ist, sind $x_{1}$ und $x_{2}$ gleich!
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 24}{18}$
$x_{1,2}$	$=$	$- 1, 3$