Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Bestimme die Nullstelle(n) folgender Funktionen.

$f (x) = 4 x + 20$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
$f (x)$ $=$ $4 x + 20$
↓
Setze f(x)=0
$4 x + 20$ $=$ $0$ $- 20$
$4 x$ $=$ $- 20$ $: 4$
$x$ $=$ $- 5$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x = - 5$ .
$f (x) = 14 x - 21$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
$f (x)$ $=$ $14 x - 21$
↓
Setze f(x)=0
$14 x - 21$ $=$ $0$ $+ 21$
$14 x$ $=$ $21$ $: 14$
$x$ $=$ $1,5$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x = 1,5$ .
$f (x) = x^{2} + 6 x - 14$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
$f (x)$ $=$ $x^{2} + 6 x - 14 = 0$
↓
mit der pq-Formel lösen.
$x_{1,2}$ $=$ $- (\frac{p}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
Im obigen Fall ist p=6 und q=-14.
Einsetzen in die Formel:
$x_{1,2}$ $=$ $- 3 \pm \sqrt{9 - (- 14)}$
$x_{1}$ $=$ $- 3 + \sqrt{23} \lor x_{2} = - 3 - \sqrt{23}$
Die Nullstellen liegen also bei $x_{1} \approx 1,8$ und $x_{1} \approx - 7,8$
$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Lösung mit der Mitternachtsformel:
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 5 x + 6 = 0$
↓
Bestimme die Koeffizienten a, b und c.
$a$ $=$ $1$
$b$ $=$ $- 5$
$c$ $=$ $6$
↓
Setze nun die 3 Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$
$=$ $\frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$
$=$ $\frac{5 \pm 1}{2}$
$x_{1}$ $=$ $3$
$x_{2}$ $=$ $2$
Die Funktion f hat also die Nullstellen $x_{1} = 3$ und $x_{2} = 2$ .
Lösung mit dem Satz von Vieta:
$x^{2} - 5 x + 6$ $=$ $0$
↓
Da die Gleichung die Form $x^{2} + p x + q = 0$ hat, können wir den Satz von Vieta anwenden.
$x_{1} + x_{2}$ $=$ $- p = - (- 5) = 5$
$x_{1} \cdot x_{2}$ $=$ $q = 6$
Versuche durch Raten Lösungen für $x_{1}$ und $x_{2}$ zu finden. Mögliche Kandidaten sind die Teiler von 6. Also 1,2,3 und 6.
$x_{1}$
$x_{2}$
$x_{1} + x_{2}$
$x_{1} \cdot x_{2}$
$1$
$6$
$1 + 6 = 7$
$1 \cdot 6 = 6$
$2$
$3$
$2 + 3 = 5$
$2 \cdot 3 = 6$
Die Lösungen sind also $x_{1} = 2$ und $x_{2} = 3$ .
Es ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei der Mitternachtsformel.

$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{1} + x_{2}$	$x_{1} \cdot x_{2}$
$1$	$6$	$1 + 6 = 7$	$1 \cdot 6 = 6$
$2$	$3$	$2 + 3 = 5$	$2 \cdot 3 = 6$

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$f (x)$	$=$	$4 x + 20$
	↓	Setze f(x)=0
$4 x + 20$	$=$	$0$	$- 20$
$4 x$	$=$	$- 20$	$: 4$
$x$	$=$	$- 5$

$f (x)$	$=$	$14 x - 21$
	↓	Setze f(x)=0
$14 x - 21$	$=$	$0$	$+ 21$
$14 x$	$=$	$21$	$: 14$
$x$	$=$	$1,5$

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 6 x - 14 = 0$
	↓	mit der pq-Formel lösen.
$x_{1,2}$	$=$	$- (\frac{p}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

$x_{1,2}$	$=$	$- 3 \pm \sqrt{9 - (- 14)}$
$x_{1}$	$=$	$- 3 + \sqrt{23} \lor x_{2} = - 3 - \sqrt{23}$

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
	↓	Bestimme die Koeffizienten a, b und c.
$a$	$=$	$1$
$b$	$=$	$- 5$
$c$	$=$	$6$
	↓	Setze nun die 3 Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$
	$=$	$\frac{5 \pm 1}{2}$
$x_{1}$	$=$	$3$
$x_{2}$	$=$	$2$

$x^{2} - 5 x + 6$	$=$	$0$
	↓	Da die Gleichung die Form $x^{2} + p x + q = 0$ hat, können wir den Satz von Vieta anwenden.
$x_{1} + x_{2}$	$=$	$- p = - (- 5) = 5$
$x_{1} \cdot x_{2}$	$=$	$q = 6$