Satz vom Nullprodukt

Der Satz vom Nullprodukt sagt aus, wenn das Produkt zweier Faktoren $0$ ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich $0$ . In Zeichen:

Wenn $a \cdot b = 0$ , so ist $a = 0$ und/oder $b = 0$ .

Man spricht auch von Nullproduktregel.

Verallgemeinerung

Ist ein Produkt von mehreren Faktoren Null, so muss einer der Faktoren Null sein. Bei drei Faktoren heißt das zum Beispiel:

Wenn $a \cdot b \cdot c = 0$ , so ist $a = 0$ oder $b = 0$ oder $c = 0$ .

Beispiel 1

Wende den Satz vom Nullprodukt an, um die Lösungsmenge der folgenden Gleichung anzugeben:

$x \cdot (x - 2) = 0$

Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von $x$ und $x - 2$ gleich $0$ ist, so ist $x = 0$ oder $x - 2 = 0$ , also

$x = 0$ und/oder $x = 2$

L = {0,2}

Beispiel 2

Wende den Satz vom Nullprodukt an, um die Lösungsmenge der folgenden Gleichung anzugeben:

$(x + 1) \cdot x \cdot (x - 1) \cdot (x - 2) = 0$

Das Produkt kann nur Null werden, wenn einer der Faktoren Null ist, also $x + 1 = 0 (\Leftrightarrow x = - 1)$ oder $x = 0$ oder $x - 1 = 0 (\Leftrightarrow x = 1)$ oder $x - 2 = 0 (\Leftrightarrow x = 2)$ .

Die Lösungsmenge ist also

L = {- 1; 0; 1; 2}

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