Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) = k x^{2} + k x - 7,5$ mit $k \neq 0$ .

Bestimme $k$ so, dass es nur eine Nullstelle gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f_{k} (x) = k x^{2} + k x - 7,5$
Die Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn die Diskriminante gleich Null wird.
$D$ $=$ $k^{2} - 4 \cdot k \cdot (- 7,5)$
↓
Setze die Diskriminante gleich Null.
$=$ $k^{2} + 30 k$
$k^{2} + 30 k$ $=$ $0$ $k$
↓
Da $k \neq 0$ kannst du durch $k$ teilen
$k + 30$ $=$ $0$ $- 30$
$k$ $=$ $- 30$
DIe Funktion $f_{k} (x)$ hat für $k = - 30$ genau eine Nullstelle.
Bestimme $k$ so, dass $x = - 2,5$ eine Nullstelle ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f_{k} (x)$ $=$ $k x^{2} + k x - 7,5$
↓
Setze die Funktion gleich $0$ .
$k x^{2} + k x - 7,5$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- k \pm \sqrt{k^{2} 4 \cdot k \cdot (- 7,5)}}{2 \cdot k}$
↓
Unter der Wurzel zusammenfassen.
$=$ $\frac{- k \pm \sqrt{k^{2} + 30 k}}{2 k}$
Setze den Term gleich $- 2,5$ und löse die Gleichung.
$\begin{array}{rcl} \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} + 30 k}}{2 k} & = & - 2,5 & | \cdot 2 k \\ - k \pm \sqrt{k^{2} + 30 k} & = & - 5 k & | + k \\ \pm \sqrt{k^{2} + 30 k} & = & - 4 k & | ()^{2} \\ k^{2} + 30 k & = & 16 k^{2} & | - (k^{2} + 30 k) \\ 0 & = & 15 k^{2} - 30 k & | : k (möglich, da k \neq 0) \\ 0 & = & 15 k - 30 & | + 30 \\ 30 & = & 15 k & | : 15 \\ 2 & = & k \end{array}$
Die Funktion $f_{k} (x)$ für $k = 2$ eine Nullstelle bei $x = - 2,5$ .

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$D$	$=$	$k^{2} - 4 \cdot k \cdot (- 7,5)$
	↓	Setze die Diskriminante gleich Null.
	$=$	$k^{2} + 30 k$
$k^{2} + 30 k$	$=$	$0$	$k$
	↓	Da $k \neq 0$ kannst du durch $k$ teilen
$k + 30$	$=$	$0$	$- 30$
$k$	$=$	$- 30$

$f_{k} (x)$	$=$	$k x^{2} + k x - 7,5$
	↓	Setze die Funktion gleich $0$ .
$k x^{2} + k x - 7,5$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- k \pm \sqrt{k^{2} 4 \cdot k \cdot (- 7,5)}}{2 \cdot k}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{- k \pm \sqrt{k^{2} + 30 k}}{2 k}$