Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen.

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} \cdot (x + 1)}$

$l (x) = \sqrt[3]{2 x^{2} - 8}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$l (x) = \sqrt[3]{2 x^{2} - 8} = 0$
Setze den Radikanden $2 x^{2} - 8$ gleich Null und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 8 & = & 0 & | + 8 \\ 2 x^{2} & = & 8 & | : 2 \\ x^{2} & = & 4 & | \sqrt{} \\ x_{1,2} & = & \pm 2 \end{array}$
Die Funktion $l (x)$ hat zwei Nullstellen bei $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ .
$n (x) = \sqrt[6]{4 x^{3} - 20 x^{2} + 8 x + 32}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$n (x)$ $=$ $\sqrt[6]{4 x^{3} - 20 x^{2} + 8 x + 32}$
↓
Setze den Radikanden $4 x^{3} - 20 x^{2} + 8 x + 32$ gleich Null.
$4 x^{3} - 20 x^{2} + 8 x + 32$ $=$ $0$ $: 4$
$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8$ $=$ $0$
↓
Finde eine Nullstelle durch Einsetzen einfacher Werte.
Finde die Nullstelle $x_{1} = - 1$ .
Führe mit dem zur Nullstelle $x_{1}$ gehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ die Polynomdivision durch.
$(x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8) : (x + 1) = x^{2} - 6 x + 8$ $- (x^{3} + x^{2})$ $- 6 x^{2} + 2 x$ $- (- 6 x^{2} - 6 x)$ $8 x + 8$ $- (8 x + 8)$ $0$
Setze das erhaltene Polynom gleich Null.
$x^{2} - 6 x + 8$ $=$ $0$
↓
Finde die beiden anderen Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{6 \pm \sqrt{4}}{2}$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{6 \pm 2}{2}$
$x_{2} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_{3} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Die Funktion $n (x)$ hat drei Nulstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 4$ , $x_{3} = 2$ .
$g (x) = \sin (2 x + 0,5 π)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$g (x) = \sin (2 x + 0,5 π) = 0$
Man weiß, dass $\sin (k \cdot π) = 0$ mit $k \in ℤ$ . Setze das Argument der Sinusfunktion also gleich $k \cdot π$ und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcl} 2 x + 0,5 π & = & k \cdot π & | - 0,5 π \\ 2 x & = & k \cdot π - 0,5 π & | \cdot \frac{1}{2} \\ x & = & \frac{1}{2} \cdot (k \cdot π - 0,5 π) & | π ausklammern \\ x & = & \frac{1}{2} π \cdot (k - 0,5) \end{array}$
Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.
$N = {\frac{1}{2} π \cdot (k - 0,5) | k \in ℤ}$

$h (x) = \cos (\frac{x}{π})$

$m (x) = \sqrt{\tan (x)}$

$i (x) = \ln (x^{3} + 9)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$i (x) = \ln (x^{3} + 9) = 0$
Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist. Setze also das Argument $x^{3} + 9$ gleich Eins und löse die Gleichung.
$\begin{array}{rcl} x^{3} + 9 & = & 1 & | - 9 \\ x^{3} & = & - 8 & | \sqrt[3]{} \\ x_{1} & = & - 2 \end{array}$
Die Funktion $i (x)$ hat eine Nullstelle bei $x_{1} = - 2$ .

$k (x) = \log_{2} (x^{2} + 3 x - 3)$

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$f (x)$	$=$	$\frac{p (x)}{q (x)}$
$0$	$=$	$\frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} \cdot (x + 1)}$
	↓	Berechne die möglichen Nullstellen von $f (x)$ . Setze dazu das Zählerpolynom $p (x)$ gleich Null.
$p (x)$	$=$	$x^{2} - 2 x - 8$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}$
	$=$	$\frac{2 \pm 6}{2}$

$m (x)$	$=$	$\sqrt{\tan (x)}$
	↓	Setze den Radikanden $\tan (x)$ gleich Null.
$\tan (x)$	$=$	$0$
	↓	An der Definition der Tangensfunktion $\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ erkennt man, dass für $\tan (x) = 0$ gelten muss: $\sin (x) = 0$ . Es gilt also zur Nullstellenbestimmung:
$\tan (x_{0})$	$=$	$\sin (x_{0})$
	↓	Man weiß, dass $\sin (k \cdot π) = 0$ mit $k \in ℤ$ . Somit ist auch $\tan (k \cdot π) = 0$ mit $k \in ℤ$ . Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.

$k (x)$	$=$	$\log_{2} (x^{2} + 3 x - 3)$
	↓	Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist. Setze also das Argument $x^{2} + 3 x - 3$ gleich Eins und löse die Gleichung.
$x^{2} - 3 x - 3$	$=$	$1$	$- 1$
$x^{2} + 3 x - 4$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm 5}{2}$

$n (x)$	$=$	$\sqrt[6]{4 x^{3} - 20 x^{2} + 8 x + 32}$
	↓	Setze den Radikanden $4 x^{3} - 20 x^{2} + 8 x + 32$ gleich Null.
$4 x^{3} - 20 x^{2} + 8 x + 32$	$=$	$0$	$: 4$
$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8$	$=$	$0$
	↓	Finde eine Nullstelle durch Einsetzen einfacher Werte.

$x^{2} - 6 x + 8$	$=$	$0$
	↓	Finde die beiden anderen Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{6 \pm \sqrt{4}}{2}$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{6 \pm 2}{2}$

$h (x)$	$=$	$\cos (\frac{x}{π})$
	↓	Man weiß, dass $\cos ((2 k - 1) \frac{π}{2}) = 0$ mit $k \in ℤ$ . Setze das Argument der Cosinusfunktion also gleich $(2 k - 1) \frac{π}{2}$ und löse nach $x$ auf.
$\frac{x}{π}$	$=$	$(2 k - 1) \frac{π}{2}$
$\frac{x}{π}$	$=$	$π \frac{2 k - 1}{2}$	$\cdot π$
	↓	Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.
$x$	$=$	$π^{2} \frac{2 k - 1}{2}$
$x$	$=$	$π^{2} (k - 0,5)$