Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Zur Berechnung der Nullstellen setzt du als Erstes $f(x)=0$.

Aus dieser Gleichung klammerst du am Besten $x^2$ aus.

Damit ist nämlich ein Produkt entstanden, das gleich $0$ ist. Daher kannst du nun jeden der Faktoren einzeln gleich $0$ setzen.

$\Rightarrow x^2=0$ oder $\frac{1}{6}{x}^2-\frac{1}{6}x-1=0$

• $x^2=0\Rightarrow x=0$. Das ergibt die Nullstelle: $x_1=0$

• $\frac{1}{6}{x}^2-\frac{1}{6}x-1=0\Rightarrow ?$ Die Nullstellen des Terms in der Klammer musst du noch bestimmen.

Das ist eine quadratische Gleichung, und darauf kannst du die Lösungsformel anwenden.

Das kannst du entweder jetzt direkt gleich tun;

oder du multiplizierst vorher, wenn du geschickt vorgehen möchtest, die Gleichung erst mit $6$.

Dann fallen nämlich alle Brüche weg!

$\frac{1}{6}{x}^2-\frac{1}{6}x-1=0$ $$ |$\cdot 6$

Berechne hiervon die Diskriminante.

$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25$

Die Diskriminante ist größer als $0$, also kannst du weiterrechnen und die beiden Lösungen bestimmen.

$x_{2/3}={\displaystyle \frac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}}$

Die Lösungen heißen hier $x_{2/3}$ statt $x_{1/2}$, da die Bezeichnung $x_1$ ja schon für die Nullstelle $x_1=0$ vergeben wurde.

$x_{2/3}={\displaystyle \frac{1\pm 5}{2}}$

Rechne beide Werte aus.

$x_2={\displaystyle \frac{1+5}{2}}={\displaystyle \frac{6}{2}}=3$

$x_3={\displaystyle \frac{1-5}{2}}={\displaystyle \frac{-4}{2}}=-2$

Jetzt hast du alle Nullstellen von $f$ erhalten und kannst auch ihre Vielfachheiten angeben.

$x_1=0$

doppelte Nullstelle, d.h. Vielfachheit 2

$x_2=3$

einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1

$x_3=-2$

einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1

$f(x)=?$

Um die Linearfaktordarstellung angeben zu können, brauchst du

• alle Nullstellen der Funktion, und

• deren Vielfachheiten;

• und den Faktor, der in der Funktion vor der höchsten $x$-Potenz steht.