Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Berechne die Nullstellen und entscheide welche Besonderheit vorliegt.

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{4} - 7 x^{2} + 2$

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} - \frac{7}{2} x^{2} + 6$

$f (x) = x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{4} x$

$f (x) = 2 x^{5} - 5 x^{4} - 3 x^{3}$

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{4} - \frac{7}{2} x^{2} + 6$
	↓	Substitution
$u$	$=$	$x^{2}$
$f (u)$	$=$	$- \frac{1}{2} u^{2} - \frac{7}{2} u + 6$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{\frac{7}{2} \pm \sqrt{(- \frac{7}{2})^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot 6}}{2 \cdot (- \frac{1}{2})}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{\frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4} + 12}}{- 1}$
	↓	Unter der Wurzel die Summe bilden.
	$=$	$\frac{3,5 \pm \sqrt{24,25}}{- 1}$
$u_{1}$	$=$	$\frac{3,5 + \sqrt{24,25}}{- 1} \approx - 8,424$
	↓	Fall: +; keine Resubstitution möglich, da negativ
$u_{2}$	$=$	$\frac{3,5 - \sqrt{24,25}}{- 1} \approx 1,424$
	↓	Fall: -; Resubstitution
$x_{1,2}^{2}$	$=$	$\frac{3,5 - \sqrt{24,25}}{- 1} \approx 1,424$
	↓	Wurzel ziehen.
$x_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{1,424}$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2}$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2}$
	↓	Der niedrigste Exponent ist 2, also kann $x^{2}$ ausgeklammert werden.
$0$	$=$	$x^{2} \cdot (- \frac{1}{2} x - 2)$
	↓	Die erste (doppelte) Nullstelle liegt bei 0.
$\Rightarrow x_{1,2}$	$=$	$0$
	↓	Um weitere Nullstellen zu bestimmen, betrachte den Term in der Klammer.
$0$	$=$	$- \frac{1}{2} x - 2$	$+ \frac{1}{2} x$
$\frac{1}{2} x$	$=$	$- 2$	$\cdot 2$
$\Rightarrow x_{3}$	$=$	$- 4$

$f (x)$	$=$	$3 x^{4} - 7 x^{2} + 2$
	↓	Substitution
$u$	$=$	$x^{2}$
$f (u)$	$=$	$3 u^{2} - 7 u + 2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{(- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6}$
	↓	Unter der Wurzel die Differenz bilden
	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{25}}{6}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{7 \pm 5}{6}$

$f (x)$	$=$	$x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$
	↓	$x^{2}$ ausklammern.
	$=$	$x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)$
$x_{1,2}$	$=$	$0$
	↓	Doppelte Nullstelle; Setze die Klammer gleich 0
$0$	$=$	$(x^{2} + 10 x + 25)$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$x_{3,4}$	$=$	$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$
	$=$	$\frac{- 10 \pm 0}{2}$
$x_{3,4}$	$=$	$\frac{- 10}{2}$
	$=$	$- 5$
	↓	Doppelte Nullstelle

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{4} x$
	↓	x ausklammern
	$=$	$x \cdot (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4})$
$x_{1}$	$=$	$0$
$0$	$=$	$(\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4})$
	↓	Klammer gleich 0 setzen
$0$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4}$	$+ \frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2}$	$\cdot 2 o d e r : \frac{1}{2}$
	↓	Brüche multiplizieren und dividieren
$x^{2}$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt[2]{}$
	↓	Quadratwurzel ziehen
$x_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{1}{2}} \approx \pm 0,71$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{4} x^{3} - 16$
	↓	Funktion gleich 0 setzen
$0$	$=$	$- \frac{1}{4} x^{3} - 16$	$+ 16$
$16$	$=$	$- \frac{1}{4} x^{3}$	$: (- \frac{1}{4}) o d e r \cdot (- 4)$
	↓	Brüche multiplizieren und dividieren
$- 64$	$=$	$x^{3}$	$\sqrt[3]{}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen
$x$	$=$	$- 4$

$f (x)$	$=$	$2 x^{5} - 5 x^{4} - 3 x^{3}$
	↓	$x^{3}$ ausklammern
	$=$	$x^{3} \cdot (2 x^{2} - 5 x - 3)$
$x_{1}$	$=$	$0$
	↓	Dreifache Nullstelle; Klammer gleich 0 setzen
$(2 x^{2} - 5 x - 3)$	$=$	$0$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{5 + 7}{4} = 3$
$x_{3}$	$=$	$\frac{5 - 7}{4} = - \frac{1}{2}$

$f (x)$	$=$	$x^{4} - 5 x^{2} + 4$
	↓	Substitution
$u$	$=$	$x^{2}$
$f (u)$	$=$	$u^{2} - 5 u + 4$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$
	↓	Wurzel ziehen
$u_{1}$	$=$	$\frac{5 + 3}{2} = 4$
$u_{2}$	$=$	$\frac{5 - 3}{2} = 1$
	↓	Resubstitution
$x_{1,2}^{2}$	$=$	$4$
	↓	Wurzel ziehen
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 2$
$x_{3,4}^{2}$	$=$	$1$
	↓	Wurzel ziehen
$x_{3,4}$	$=$	$\pm 1$