Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^2$) durch einen neuen Term (z.B. $u$) ersetzt. Hier wird $x^2$ durch $u$ ersetzt.

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$x_{\mathrm{1,2,3,4}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-24}}{2}}}$

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

Aus Aufgabe $\mathrm{a})$ weißt du, dass die Nullstellen bei $x_{\mathrm{1,2,3,4}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-24}}{2}}}$ liegen.

Setze den Term gleich $\sqrt{2}$ und löse die Gleichung.

$\begin{array}{rcll}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-24}}{2}}}& =& \sqrt{2}& |({)}^2\\ {\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-24}}{2}}& =& 2& |\cdot 2\\ -b\pm \sqrt{b^2-24}& =& 4& |+b\\ \pm \sqrt{b^2-24}& =& b+4& |({)}^2\\ b^2-24& =& b^2+8b+16& |-(b^2+16)\\ -40& =& 8b& |:8\\ -5& =& b& \end{array}$

Die Funktion $f_b(x)$ hat für $b=-5$ eine Nullstelle bei $x=\sqrt{2}$.