Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Hier findest du unterschiedliche Aufgaben, um das Ableiten von Funktionen zu üben und welche Methoden zum Ableiten sich am besten eignen.

1
Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.
$f (x) = \sqrt{4 x} \cdot \sqrt{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetze
Geschicktes Umformen kann dir hier das Ableiten erleichtern.
$f (x) = \sqrt{4 x} \cdot \sqrt{x}$
Schreibe $4$ als $2^{2}$ .
$= \sqrt{2^{2} \cdot x} \cdot \sqrt{x}$
Ziehe $2^{2}$ als $2$ aus der Wurzel.
$= 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$
$= 2 \cdot x$
Fasse $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$ mit Hilfe der Wurzelgesetze zur Multiplikation von Wurzeln zusammen.
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$f^{'} (x) = 2$
Die gesuchte Ableitung ist also $f^{'} (x) = 2$ .
Tipp: Nutze die Wurzelgesetze zur Multiplikation von Wurzeln.

$g (t) = 4 \sqrt{t} + 5 \sqrt{t} - 3 \sqrt{t} - 2 \sqrt{t}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
Geschicktes Umformen kann dir hier das Ableiten erleichtern.
Nutze hierfür die Wurzelgesetze zur Addition von Wurzeln und fasse die Terme zusammen.
$g (t) = 4 \sqrt{t} + 5 \sqrt{t} - 3 \sqrt{t} - 2 \sqrt{t}$
$= (4 + 5 - 3 - 2) \sqrt{t}$
$= 4 \sqrt{t}$
$= 4 t^{\frac{1}{2}}$
Benutze die Potenzgesetze für Wurzeln.
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$g^{'} (t) = 4 \cdot \frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} = 2 t^{- \frac{1}{2}}$
Die gesuchte Ableitung ist also:
$g^{'} (t) = 2 t^{- \frac{1}{2}}$
Wenn du möchtest, kannst du die Ableitung nun auch wieder in eine Schreibweise mit Wurzel umformen:
$g^{'} (t) = 2 \cdot t^{- \frac{1}{2}}$
$= 2 \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$
$= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$
$= \frac{2}{\sqrt{t}}$

Vereinfache die nachfolgenden Funktionsterme möglichst geschickt und bilde die Ableitungsfunktionen.

$f (x) = \frac{6 x^{2} - 3 x + 9}{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen
Bei dieser Aufgabe solltest du den Bruch zuerst vereinfachen und anschließend ableiten.
Umformung des Funktionsterms
$f (x)$ $=$ $\frac{6 x^{2} - 3 x + 9}{3}$
↓
Klammere im Zähler den Faktor 3 aus.
$=$ $\frac{3 \cdot (2 x^{2} - x + 3)}{3}$
↓
Kürze mit 3.
$=$ $2 x^{2} - x + 3$
Ableiten der Funktion
Nun kannst du mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen in Kombination mit der Summenregel und der Faktorregel $f^{'} (x)$ bestimmen.
$f^{'} (x) = 2 \cdot 2 x - 1 + 0 = 4 x - 1$
Die Ableitung von $f (x)$ ist $f^{'} (x) = 4 x - 1$ .
Tipp: Klammere im Zähler den Faktor 3 aus.
$g (t) = \frac{5 t^{3} + 2 t - 1}{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen
Tipp: Ziehe den Faktor $\frac{1}{4}$ vor den Bruch.
Um diese Funktion abzuleiten, bietet es sich an, dass du zunächst einen Faktor vor den Bruch schreibst und den entstehenden Term dann ableitest.
Umformung des Funktionsterms
$\begin{aligned} g (t) & = \frac{5 t^{3} + 2 t - 1}{4} \\ = \frac{1}{4} \cdot (5 t^{3} + 2 t - 1) \end{aligned}$
Nun ziehst du $\frac{1}{4}$ vor den Bruch.
Ableiten der Funktion
Die Ableitung $g ´ (t)$ lässt sich nun als Polynomfunktion mit Hilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion bestimmen.
Es ergibt sich
$\begin{aligned} g ´ (t) & = \frac{1}{4} \cdot (5 \cdot 3 t^{2} + 2 \cdot 1) \\ = \frac{1}{4} \cdot (15 t^{2} + 2) \end{aligned}$
Die Faktorregel besagt, dass man bei der Ableitung von Funktionen Konstanten vor Variablen nicht ableiten muss.
Unter Anwendung der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion lassen sich die einzelnen Potenzfunktionen nun ableiten.
Die Ableitung von $g (t)$ ist $g ´ (t) = \frac{1}{4} \cdot (15 t^{2} + 2)$ .
$h (x) = \frac{2 x + 3 x^{2}}{5 π - 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen
Tipp: Du kannst zuerst $\frac{1}{5 π - 1}$ vor den Bruch ziehen.
Bei dieser Aufgabe solltest du zuerst den Funktionsterm umformen und dann mithilfe der Ableitungsregeln $h^{'} (x)$ bestimmen.
Umformung des Funktionsterms
$h (x)$ $=$ $\frac{2 x + 3 x^{2}}{5 π - 1}$
↓
Ziehe $\frac{1}{5 π - 1}$ vor den Bruch.
$=$ $\frac{1}{5 π - 1} \cdot (2 x + 3 x^{2})$
Ableiten der Funktion
Wende nun die Faktorregel, die Summenregel und die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen an.
$h^{'} (x) = \frac{1}{5 π - 1} \cdot (2 + 6 x)$
Schreibe $(2 + 6 x)$ in den Zähler.
$= \frac{2 + 6 x}{5 π - 1}$
Die Ableitung von $h (x)$ ist $h^{'} (x) = \frac{2 + 6 x}{5 π - 1}$ .
$k (s) = \frac{6 s^{3} + 4}{2 \sqrt{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen
Tipp: Kürze den Bruch zuerst mit 2 und ziehe dann $\frac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch.
Hier bietet es sich an, den Bruch zuerst zu kürzen, danach $\frac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch zu ziehen und anschließend abzuleiten.
Umformung des Funktionsterms
$k (s)$ $=$ $\frac{6 s^{3} + 4}{2 \sqrt{2}}$
↓
Klammere im Zähler den Faktor 2 aus.
$=$ $\frac{2 \cdot (3 s^{2} + 2)}{2 \sqrt{2}}$
↓
Kürze mit 2.
$=$ $\frac{(3 s^{3} + 2)}{\sqrt{2}}$
↓
Ziehe $\frac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch.
$=$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (3 s^{3} + 2)$
Ableiten der Funktion
Leite nun mit der Faktorregel, der Summenregel und der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.
$k^{'} (s) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (9 s^{2} + 0)$
Schreibe $9 s^{2}$ in den Zähler.
$= \frac{9 s^{2}}{\sqrt{2}}$
Alternativ kannst du auch zu Beginn $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ vor den Bruch ziehen und dann ableiten.
Die Ableitung von $k (s)$ ist $k^{'} (s) = \frac{9 s^{2}}{\sqrt{2}}$ .

$l (x) = \frac{4 x^{2}}{3 \cdot (2 x + 1)} + \frac{4 x + 1}{3 \cdot (2 x + 1)}$

$m (z) = {(\frac{z - 1}{z})}^{2}$

3
$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x}{70}$
Welche der folgenden Umformungen sind richtig?
$f (x) = \frac{1}{70} \cdot x^{3} - \frac{1}{70} \cdot 2 x$
$f (x) = \frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$
$f (x) = \frac{1}{70} \cdot x^{3} - 2 x$

$f (x)$ $=$ $\frac{x^{3} - 2 x}{70}$
↓
Ziehe den Bruch vor.
$=$ $\frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$
Die Umformung zu $f (x) = \frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$ ist also richtig.
Wenn du nun noch die Klammer auflöst, bekommst du eine weitere Umformung, die als Antwortoption zur Auswahl stand.
$f (x)$ $=$ $\frac{x^{3} - 2 x}{70}$
↓
Ziehe den Bruch vor.
$=$ $\frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$
$=$ $\frac{1}{70} \cdot x^{3} - \frac{1}{70} \cdot 2 x$
Die Antwort $f (x) = \frac{1}{70} x^{3} - \frac{1}{70} \cdot 2 x$ ist also auch richtig.
Die andere Umformung $f (x) = \frac{1}{70} \cdot x^{3} - 2 x$ ist aber falsch. Hier wurde die Klammer vergessen.
Beachte: im Nenner von $f$ kommt kein $x$ vor! Um $f$ später gut ableiten oder integrieren zu können, bietet es sich an $f$ "bruchfrei" umzuschreiben. Das machst du, indem du die $70$ als Kehrwert vor den Zähler schreibst.
Wichtig: Vergiss die Klammer nicht, da im Zähler des Bruchs nicht nur eine Zahl, sondern der Term $x^{3} - 2 x$ steht.

Leite die Funktion $f$ ab.

Du brauchst hier die Faktorregel und Summenregel .
Lösungsvorschlag 1
$f (x) = \frac{1}{70} x^{3} - \frac{1}{70} \cdot 2 x$
Leite ab.
$f^{'} (x)$ $=$ $\frac{3}{70} x^{2} - \frac{2}{70}$
↓
Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
$=$ $\frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$
Lösungsvorschlag 2
$f (x) = \frac{1}{70} (x^{3} - 2 x)$
Leite ab.
$f^{'} (x)$ $=$ $\frac{1}{70} (3 x^{2} - 2)$
$=$ $\frac{3}{70} x^{2} - \frac{2}{70}$
↓
Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
$=$ $\frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$
Die Ableitung von $f (x)$ ist $f^{'} (x) = \frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$ .

Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.

$f (x) = \frac{(x + 1) \cdot (x - 1) + 1}{x^{3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zähler
Vereinfache zunächst den Zähler, um dann die Ableitung zu bilden.
$f (x)$ $=$ $\frac{(x + 1) \cdot (x - 1) + 1}{x^{3}}$
↓
Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.
$=$ $\frac{x^{2} - 1 + 1}{x^{3}}$
↓
Fasse den Zähler zusammen.
$=$ $\frac{x^{2}}{x^{3}}$
↓
Kürze den Bruch mit $x^{2}$ .
$=$ $\frac{1}{x}$
Ableiten der Funktion
Bilde nun mit Hilfe der Potenzgesetze für negative Exponenten und der Regeln zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $f (x)$ .
$f (x) = \frac{1}{x} = x^{- 1}$
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\begin{aligned} f^{'} (x) & = - 1 \cdot x^{- 2} \\ = - \frac{1}{x^{2}} \end{aligned}$
Nun kannst du den Term wieder als Bruch schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also $f^{'} (x) = - x^{- 2}$ bzw. $f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ .

$g (z) = \frac{(z + 3)^{2} - 6 z - 9}{3 z^{3}}$

$h (s) = \frac{(s + 1)^{2} - s^{2}}{(2 s + 1)^{2}}$

$k (t) = \frac{(t + 2) \cdot (t - 2)}{(t^{2} - 4)^{3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zähler
In dieser Aufgabe solltest du als erstes den Zähler vereinfachen, um dann die Ableitung zu bilden.
$k (t)$ $=$ $\frac{(t + 2) \cdot (t - 2)}{(t^{2} - 4)^{3}}$
↓
Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.
$=$ $\frac{t^{2} - 4}{(t^{2} - 4)^{3}}$
↓
Vereinfache den Bruch durch Kürzen.
$=$ $\frac{1}{(t^{2} - 4)^{2}}$
Im nächsten Schritt solltest du nun die Potenzgesetze für negative Exponenten anwenden, um dann den Bruch ableiten zu können.
$k (t) = \frac{1}{(t^{2} - 4)^{2}}$
$= 1 \cdot (t^{2} - 4)^{- 2}$
Ableiten der Funktion
Jetzt kannst du durch Anwenden der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen, der Kettenregel und der Summenregel die Ableitung von $k (t)$ berechnen.
$k^{'} (t) = - 2 \cdot (t^{2} - 4)^{- 3} \cdot 2 t$
$= - 4 t \cdot (t^{2} - 4)^{- 3}$
Die gesuchte Ableitung von $k (x)$ ist $k^{'} (t) = - 4 t \cdot (t^{2} - 4)^{- 3}$ .

5
Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.
$f (x) = \frac{5}{x^{4}} - \frac{9}{x^{4}} - \frac{10}{3 x^{2}} + \frac{4}{x^{4}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten
In dieser Aufgabe kürzen sich einige der Brüche heraus.
$f (x) = \frac{5}{x^{4}} - \frac{9}{x^{4}} - \frac{10}{3 x^{2}} + \frac{4}{x^{4}}$
Bringe zunächst alle Zähler mit dem Nenner $x^{4}$ auf einen Bruchstrich.
$= \frac{5 - 9 + 4}{x^{4}} - \frac{10}{3 x^{2}}$
Fasse den Zähler weiter zusammen.
$= 0 - \frac{10}{3 x^{2}}$
Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.
$= - \frac{10}{3} \cdot x^{- 2}$
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$f^{'} (x) = - \frac{10}{3} \cdot (- 2) \cdot x^{- 2 - 1}$
$= \frac{20}{3} \cdot x^{- 3}$
$= \frac{20}{3 x^{3}}$
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also $f^{'} (x) = \frac{20}{3 x^{3}}$
Tipp: Beachte, dass Brüche mit gleichem Nenner einfach zusammengefasst werden können.

$g (t) = \frac{10}{3 t^{3}} - \frac{3}{t^{3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten
In dieser Aufgabe musst du beide Brüche auf einen Hauptnenner bringen, um dir das ableiten zu vereinfachen.
$g (t) = \frac{10}{3 t^{3}} - \frac{3}{t^{3}}$
Erweitere $\frac{3}{t^{3}}$ mit $3$ .
$= \frac{10}{3 t^{3}} - \frac{9}{3 t^{3}}$
Bringe beide Zähler auf einen Bruchstrich.
$= \frac{10 - 9}{3 t^{3}}$
Fasse den Zähler weiter zusammen.
$= \frac{1}{3 t^{3}}$
Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.
$= \frac{1}{3} \cdot t^{- 3}$
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$g^{'} (t) = \frac{1}{3} \cdot (- 3) \cdot t^{- 3 - 1}$
$= - \frac{1}{t^{4}}$
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also $g^{'} (t) = - \frac{1}{t^{4}}$ .
Tipp: Bringe beide Brüche auf einen Hauptnenner und verwende die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
6
Leite folgende Funktionen ab.
$f (x) = \frac{1}{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten
Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.
$f (x) = \frac{1}{x} = x^{- 1}$
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\begin{aligned} f^{'} (x) & = - 1 \cdot x^{- 2} \\ = - \frac{1}{x^{2}} \end{aligned}$
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also $f^{'} (x) = - x^{- 2}$ bzw. $f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ .
Tipp: Forme erst mit den Potenzgesetzen um und verwende dann die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$g (t) = \frac{34}{t^{4}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten
Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.
$g (t) = \frac{34}{t^{4}} = 34 \cdot t^{- 4}$
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$g^{'} (t) = 34 \cdot (- 4) \cdot t^{- 5}$
$p h a n t o m g^{'} (x) = - \frac{136}{t^{5}}$
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also $g^{'} (t) = - \frac{136}{t^{5}}$ .
Tipp: Forme erst mit den Potenzgesetzen um und verwende dann die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$h (z) = \frac{3}{4 z^{4}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten
Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.
$h (z) = \frac{3}{4 z^{4}} = \frac{3}{4} \cdot z^{- 4}$
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\begin{aligned} h^{'} (z) & = \frac{3}{4} \cdot (- 4) \cdot z^{- 5} \\ = - \frac{3}{z^{5}} \end{aligned}$
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also $h^{'} (z) = - \frac{3}{z^{5}}$ .
Tipp: Forme erst mit den Potenzgesetzen um und verwende dann die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
7
Mathematicus hat hier die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ mehrmals abgeleitet.
Versuche ohne weitere Rechnung die nächste Ableitung zu bestimmen.
$f^{(5)} (x) = - \frac{120}{x^{6}}$
$f^{(5)} (x) = \frac{120}{x^{6}}$
$f^{(5)} (x) = - \frac{120}{x^{5}}$
$f^{(5)} (x) = - 120 \cdot x^{6}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Mehrmaliges Ableiten $\frac{1}{x}$
Wenn man sich den Nenner der einzelnen Ableitungen anschaut, erkennt man, dass sich der Exponent von $x$ nach jeder Ableitung um eins erhöht.Da bei der Funktion $f^{(4)} (x)$ der Exponent schon bei $5$ ist, kann man folgern, dass die Funktion $f^{(5)} (x)$ im Nenner ein $x^{6}$ hat.
Du kannst also die Funktion $f^{(5)} (x) = - \frac{120}{x^{5}}$ und $f^{(5)} (x) = - 120 \cdot x^{6}$ ausschließen.
Schau dir das Vorzeichen der Ableitungen an. Es variiert nach jeder Ableitung. Die Funktion $f^{(5)} (x)$ muss also ein negatives Vorzeichen haben. Deswegen kannst du auch $f^{(5)} (x) = \frac{120}{x^{6}}$ ausschließen.
Die gesuchte Funktion ist also $f^{(5)} (x) = - \frac{120}{x^{6}}$ .
Man kann seine Wahl nun auch rechnerisch überprüfen.
Nutze dafür das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen und leite die Funktion $f^{(4)} (x) = \frac{24}{x^{5}}$ ab.
$f^{(4)} (x) = 24 \cdot x^{- 5}$
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$f^{(5)} (x) = 24 \cdot (- 5) \cdot x^{- 6}$
$= - \frac{120}{x^{6}}$
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also tatsächlich $f^{(5)} (x) = - \frac{120}{x^{6}}$ .

Mathematicus hat hier einige mögliche Formeln aufgeschrieben, wobei jeweils das $n \in ℕ$ für die Anzahl der Ableitungen steht. Welche der Formeln beschreibt die n-te Ableitung der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ ?
$f^{(n)} (x) = (- 1)^{n} \cdot \frac{n!}{x^{(n + 1)}}$
$f^{(n)} (x) = (- 1)^{n} \cdot \frac{1}{x^{(n + 1)}}$
$f^{(n)} (x) = \frac{n}{x^{(n + 1)}}$
$f^{(n)} (x) = (- 1)^{n} \cdot \frac{n!}{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Tipp: Du kennst die schreibweise $" n! "$ nicht? Dann schau hier.
Wird die Funktion n-mal abgeleitet, so spricht man von der "n-ten Ableitung der Funktion".
Allgemeine Formel zur Ableitung der Funktion f(x)
Betrachtest du die in der Aufgabe angegebenen Ableitungen und die in der Teilaufgabe a) bestimmte fünfte Ableitung, so fällt dir vielleicht auf, dass sich das Vorzeichen nach jeder Ableitung ändert.
Die angegebene Formel $f^{(n)} (x) = \frac{n}{x^{(n + 1)}}$ ist somit nicht richtig, da die Variation des Vorzeichens nicht berücksichtigt wird.
Hinweis: Bei einer geradzahligen Ableitung steht vor dem Term ein Plus und vor einer ungeraden Ableitung ein Minus.
Schaust du dir den Zähler der Ableitungen genauer an, so siehst du, dass dieser nicht immer gleich ist.
Die Funktion $f^{(n)} (x) = (- 1)^{n} \cdot \frac{1}{x^{(n + 1)}}$ ist somit nicht die gesuchte Formel.
Untersuchst du den Zähler, so kannst du beispielsweise bei der vierten Ableitung durch Faktorisieren den Zähler wie folgt darstellen: $24 = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4!$ . Genauso kannst du auch bei der fünften Ableitung vorgehen: $120 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5!$ .
Vergleichst du die Exponenten im Nenner der einzelnen Ableitungen, so bemerkst du, dass sich der Exponent von x nach jeder Ableitung um eins erhöht.
Mit Hilfe dieser Erkenntnis kannst du die Formel $f^{(n)} (x) = (- 1)^{n} \cdot \frac{n!}{x}$ ausschließen.
Die gesuchte allgemeine Formel der Ableitung ist somit $f^{(n)} (x) = (- 1)^{n} \cdot \frac{n!}{x^{(n + 1)}}$ .
8
Leite die folgenden Funktionen ab und entscheide welche der abgebildeten Graphen dem Funktionsgrahen der Ableitung der Funktion entsprechen. Fülle in den Feldern dafür den Funktionsnamen ( $1, 2, 3$ oder $4$ ) ein.
Achtung: Die Graphen entsprechen der Ableitung der Funktion, nicht der Funktion selber.
$f (x) = \frac{4 x^{3}}{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten
Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.
$f (x) = \frac{4 x^{3}}{3}$
$= \frac{4}{3} \cdot x^{3}$
Ziehe den Faktor vor den Bruch.
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$f^{'} (x) = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot x^{2} = 4 x^{2}$
Das heißt, die in der Grafik gesuchte Funktion ist $f^{'} (x) = 4 x^{2}$ .
Der Graph einer Funktion zweiten Grades ist eine Parabel.
Deswegen kann man die Graphen $2$ und $4$ ausschließen, da diese beide keine Parabeln sind.
Der Graph $3$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist der Faktor vor dem $x^{2}$ negativ. Bei der Funktion $f^{'} (x)$ ist der Faktor vor dem $x^{2}$ eine $4$ und damit positiv.
Die gesuchte Funktion ist also die $1$ .
Tipp: Beim Ableiten einer Potenzfunktion verringert sich der Grad der Funktion um eins.

$g (x) = \frac{x^{3} + 6 x}{6}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten
Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.
$g (x) = \frac{x^{3} + 6 x}{6}$ $= \frac{1}{6} \cdot (x^{3} + 6 x)$
Ziehe den Faktor $\frac{1}{6}$ vor den Bruch.
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$g^{'} (x) = \frac{1}{6} \cdot (3 \cdot x^{2} + 6)$
$= \frac{1}{2} x^{2} + 1$
Multipliziere $\frac{1}{6}$ in die Klammer.
Das heißt, die in der Grafik gesuchte Funktion ist $g^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 1$ .
Der Graph einer Funktion zweiten Grades ist eine Parabel.
Deswegen kann man die Graphen $1$ und $3$ ausschließen, da diese beide keine Parabeln sind.
Der Graph $4$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist der Faktor vor dem $x^{2}$ negativ. Bei der Funktion $g^{'} (x)$ ist $\frac{1}{2}$ der Faktor vor dem $x^{2}$ und damit positiv.
Die gesuchte Funktion ist also die $2$ . Dies kann man auch gut an dem $+ 1$ in der Funktionsgleichung sehen. Sie sorgt für eine Verschiebung der Parabel, um $1$ nach oben entlang der y-Achse.
Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
Tipp: Beim Ableiten einer Potenzfunktion verringert sich der Grad der Funktion um eins.

$h (x) = \frac{x^{4} + 108 x}{108}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten
Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.
$\begin{aligned} h (x) & = \frac{x^{4} + 108 x}{108} \\ = \frac{1}{108} \cdot (x^{4} + 108 x) \end{aligned}$
Dafür bietet es sich an, dass du $\frac{1}{108}$ ausklammerst.
Das Ergebnis lässt sich nun mit Hilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktionen ableiten.
Zuerst werden die einzelnen Potenzfunktionen abgeleitet.
$\begin{aligned} h ´ (x) & = \frac{1}{108} \cdot (4 \cdot x^{3} + 108) \\ = \frac{4}{108} \cdot x^{3} + \frac{108}{108} \\ = \frac{1}{27} x^{3} + 1 \end{aligned}$
Danach wird mit dem Faktor $\frac{1}{108}$ ausmultipliziert.
Du erhälst also $h ´ (x) = \frac{1}{27} x^{3} + 1$ .
Die Ableitung $h ´ (x)$ ist eine Funktion dritten Grades.
Da es sich bei 2 und 4 um Parabeln und somit um Funktionen zweiten Grades handelt, fallen diese beiden Möglichkeiten schon mal weg.
$h ´ (x)$ hat mit $\frac{1}{27}$ einen positiven Vorfaktor und ist somit nach oben geöffnet. Deshalb fällt die Möglichkeit 1 ebenfalls weg. Die richtige Lösung ist somit der Graph 3.
Tipp: Beim Ableiten einer Potenzfunktion verringert sich der Grad der Funktion um eins.

$k (x) = - \frac{3 x^{5} - 10 x^{3} - 15 x}{15}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten
$k (x) = - \frac{3 x^{5} - 10 x^{3} - 15 x}{15}$
Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher. Klammere also zur Vereinfachung $\frac{1}{15}$ aus.
$\begin{aligned} k (x) & = - \frac{3 x^{5} - 10 x^{3} - 15 x}{15} \\ = - \frac{1}{15} \cdot (3 x^{5} - 10 x^{3} - 15 x) \end{aligned}$
Leite danach den entstandenen Term ab:
$\begin{aligned} k ´ (x) & = - \frac{1}{15} \cdot (3 \cdot 5 x^{4} - 10 \cdot 3 \cdot x^{2} - 15) \\ = - \frac{1}{15} \cdot (15 x^{4} - 30 x^{2} - 15) \\ = - \frac{15}{15} x^{4} + \frac{30}{15} x^{2} + \frac{15}{15} \\ = - x^{4} + 2 x^{2} + 1 \end{aligned}$
Die Ableitung von $k (x)$ ist also $k ´ (x) = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$ und somit eine Funktion 4. Grades.
Als Lösung fällt somit Graph 4 als Parabel (und somit Funktion 2. Grades) raus. Ebenso fällt Graph 2 als Gerade (und somit Funktion 1. Grades) raus. Die Graph 3 fällt als Funktion 3. Grades ebenso raus.
Der Graph 1 beschreibt eine Funktion, die nach unten geöffnet ist und entspricht somit (unter Verwendung der zuvor angeführten Punkte) der Lösung.
Tipp: Beim Ableiten einer Potenzfunktion verringert sich der Grad der Funktion um eins.

$l (x) = - \frac{0,375 x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{15} x^{5} + 2 x^{2} - 3 x}{6}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten
Wenn du die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformst, ist das Ableiten einfacher.
$l (x) = - \frac{0,375 x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{15} x^{5} + 2 x^{2} - 3 x}{6}$
Ziehe den Faktor $\frac{1}{6}$ vor den Bruch.
$= - \frac{1}{6} \cdot (0,375 x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{15} x^{5} + 2 x^{2} - 3 x)$
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$l^{'} (x) = - \frac{1}{6} \cdot (0,375 \cdot 4 \cdot x^{3} + \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^{2} + \frac{1}{15} \cdot 5 \cdot x^{4} + 2 \cdot 2 \cdot x - 3)$
Fasst du den Term noch weiter zusammen und schreibst den Term wieder als Bruch erhälst du:
$l^{'} (x) = - \frac{1,5 x^{3} + x^{2} + \frac{1}{3} x^{4} + 4 x - 3}{6}$
$= - \frac{\frac{1}{3} x^{4} + 1,5 x^{3} + x^{2} + 4 x - 3}{6}$
Ordne den Term auf dem Zähler nach dem Grad an.
Das heißt, die in der Grafik gesuchte Funktion ist $l^{'} (x) = - \frac{\frac{1}{3} x^{4} + 1,5 x^{3} + x^{2} + 4 x - 3}{6}$ und somit eine Funktion 4. Grades.
Der Graph $1$ ist eine Parabel und gehört deswegen zu einer Funktion 2. Grades. Da $l^{'} (x)$ allerdings eine Funktion 4. Grades ist, kannst du Graph $1$ ausschließen.
Der Graph $4$ hat einen Wertebereich von $- \infty$ bis $+ \infty$ . Daraus kannst du folgern, dass der Grad der Funktion des Graphen $4$ ungerade ist. Da $l^{'} (x)$ allerdings eine Funktion 4. Grades ist und damit einen geraden Grad besitzt, kannst du Graph $4$ ebenfalls ausschließen.
Die Graphen $2$ und $3$ sind beides Graphen von Funktionen 4. Grades. Graph $2$ ist nach oben geöffnet und Graph $3$ ist nach unten geöffnet. Da $l^{'} (x)$ ein Minus vor dem Leitkoeffizienten hat, muss der Graph von $l^{'} (x)$ nach unten geöffnet sein. Somit kannst du Graph $2$ ausschließen und Graph $3$ ist der Graph der gesuchten Funktion.
Der Graph der gesuchten Funktion ist also der Graph $3$ .
Tipp: Beim Ableiten einer Potenzfunktion verringert sich der Grad der Funktion um eins.
9
Leite die Funktionen ab.
$f (t) = \frac{2 t^{3}}{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Das ist ein Beispiel für die Ableitung einer Funktion, bei der im Nenner keine Variable steht.
$f (t)$ $=$ $\frac{2 t^{3}}{3}$
↓
Du kannst den Bruch wie folgt aufteilen.
$=$ $\frac{2}{3} \cdot t^{3}$
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$f ´ (t)$ $=$ $\frac{2}{3} \cdot 3 \cdot t^{2}$
↓
Verrechne beide Faktoren vor dem $t^{2}$ .
$=$ $2 t^{2}$
Die gesuchte Funktion ist also $f^{'} (t) = 2 t^{2}$ .

$g (x) = - \frac{x^{4}}{8}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Das ist ein Beispiel für die Ableitung einer Funktion, bei der im Nenner keine Variable steht.
$g (x)$ $=$ $- \frac{x^{4}}{8}$
↓
Du kannst den Bruch folgendermaßen aufteilen.
$=$ $- \frac{1}{8} x^{4}$
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$g ´ (x)$ $=$ $- \frac{1}{8} \cdot 4 \cdot x^{3}$
↓
Verrechne beide Faktoren vor dem $x^{3}$ .
$=$ $- \frac{1}{2} x^{3}$
Die gesuchte Funktion ist also $g^{'} (x) = - \frac{1}{2} x^{3}$ .

$h (z) = \frac{z^{6} - 6}{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Das ist ein Beispiel für die Ableitung einer Funktion, bei der im Nenner keine Variable steht.
$h (z)$ $=$ $\frac{z^{6} - 6}{3}$
↓
Du kannst den Bruch folgendermaßen aufteilen.
$=$ $\frac{1}{3} (z^{6} - 6)$
↓
Multipliziere die Klammer aus.
$=$ $\frac{1}{3} z^{6} - 2$
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$h ´ (z)$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot z^{5} - 0$
↓
Verrechne die beiden Faktoren vor dem $z^{5}$ .
$=$ $2 z^{5}$
Die gesuchte Funktion ist also: $h^{'} (z) = 2 z^{5}$ .

Vereinfache die Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.

$f (z) = \frac{3 z^{2}}{14} + \frac{2 z^{2}}{7}$

$g (x) = \frac{7 x^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{4}$

$h (t) = - \frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{3}}{6}$

11
Welche Ableitungsregeln werden benötigt, um die Funktion
$f (x) = \sqrt[4]{x^{3}}$
abzuleiten?
Potenzgesetze
Ableitungsregel für Potenzfunktionen
Ausklammern
Produktregel

Ableiten einer Wurzelfunktion
Zum Ableiten ist es nützlich, die Funktion zunächst mithilfe der Potenzgesetze umzuschreiben und dann dem Exkurs zu rationalen Exponenten im Artikel Ableiten von Potenzfunktionen zu folgen.
Funktionsterm umschreiben mithilfe der Potenzgesetze
$f (x) = \sqrt[4]{x^{3}}$
Verwende das Potenzgesetz zum Umschreiben von Wurzeln:
$f (x) = x^{\frac{3}{4}}$
Ableiten mithilfe der Ableitungsregel für Potenzfunktionen
$f (x) = x^{\frac{3}{4}}$
Leite die Funktion mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab: $f (x) = x^{a}$ wird zu $f^{'} (x) = a \cdot x^{a - 1}$ .
$f^{'} (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$
So ist die Ableitung zwar fertig gebildet, jedoch kann man für die meisten Zwecke wenig mit Brüchen als Exponenten anfangen.
Verschönerungsarbeiten
Die fertige Ableitung lässt sich nun mithilfe der Potenzgesetze in eine schönere Form bringen.
$f^{'} (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$
Verwende: $x^{- a} = \frac{1}{x^{a}}$
$f^{'} (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$
Verwende: $x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^{a}}$
$f^{'} (x) = \frac{3}{4 \sqrt[4]{x}}$

$f (x) = \frac{- 2 x^{2}}{(2 - x)^{2}}$

Gesucht wird die Ableitung von f(x). Überlege zunächst, welche der im folgendern genannten Hilfsmittel und Ableitungsregeln nützlich sein können und leite die Funktion anschließend ab!

$f (x) = \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) + 4$

Überlege zunächst, welche der genannten Hilfsmittel und Ableitungsregeln nützlich sein können und leite die Funktion anschließend ab!

Konstantenregel
Quotientenregel
Kettenregel
Ableitungsregel des Logarithmus

14
$f (x) = \frac{\sin (3 x)}{π}$
Welche der folgenden Umformungen ist richtig? Leite die Funktion anschließend ab.
$f (x) = π^{- 1} \cdot \sin (3 x)$
$f (x) = \frac{1}{π} \cdot \sin (3 x)$
$f (x) = \sin (3 x) \cdot π^{- 1}$
$f (x) = π \cdot {[\sin (3 x)]}^{- 1}$
$f (x) = \sin (\frac{1}{π} \cdot 3 x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
Tipp: $π$ ist eine Zahl und keine Variable.
Die Ableitung berechnest du zum Beispiel mithilfe der Kettenregel: Zunächst zerlegst Du $f$ in eine innere Funktion $v$ und eine äußere Funktion $u$ :
$f (x) = \frac{1}{π} \cdot \sin (3 x) = u (v (x))$
Mit den Bezeichnungen: $u (x) = \frac{1}{π} \cdot \sin (x)$ , $v (x) = 3 x$ .
Die Ableitungen der Teilfunktionen sind:
$u^{'} (x) = \frac{1}{π} \cdot \cos (x) v^{'} (x) = 3$
Damit erhältst Du als Ableitung von $f$ :
$f^{'} (x) = \frac{1}{π} \cdot u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x) = \frac{1}{π} \cdot \cos (3 x) \cdot 3 = \frac{3}{π} \cdot \cos (3 x)$
Beachte: Die Quotientenregel benötigst Du hier nicht, da im Nenner keine Variable vorkommt - es wäre aber auch nicht falsch, sie hier anzuwenden.
15
$f (x) = \frac{\ln (x) - 2 x}{70}$
Welche der folgenden Umformungen sind richtig? Leite die Funktion anschließend ab.
$f (x) = \frac{1}{70} \cdot (\ln (x) - 2 x)$
$f (x) = \frac{1}{70} \cdot \ln (x) - \frac{1}{70} \cdot 2 x$
$f (x) = \frac{1}{70} \cdot \ln (x) - 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
Umformung
Welche der drei Umformungen der Funktion $f (x) = \frac{l n (x) - 2 x}{70}$ sind richtig? Schauen wir sie uns einmal genauer an:
Da im Nenner von $f$ kein $x$ vorkommt, können wir die $70$ als Kehrwert vor den Zähler schreiben:
Wichtig: Vergiss die Klammer nicht, da im Zähler des Bruchs nicht nur eine Zahl, sondern der Term $l n (x) - 2 x$ steht. So erhältst du:
$f (x) = \frac{1}{70} \cdot [l n (x) - 2 x]$
Wenn du die Klammer ausmultiplizierst, erhältst du:
$f (x) = \frac{1}{70} \cdot [l n (x) - 2 x] = \frac{1}{70} \cdot l n (x) - \frac{1}{70} \cdot 2 x$
Damit sind die beiden Umformungen richtig:
$f (x) = \frac{1}{70} \cdot [l n (x) - 2 x]$
$f (x) = \frac{1}{70} \cdot l n (x) - \frac{1}{70} \cdot 2 x$
Die andere Umformung $f (x) = \frac{1}{70} \cdot l n (x) - 2 x$ ist aber falsch. Hier fehlt die Klammer!
Ableitung
Für die Ableitung kannst du einer der richtigen Umformungen verwenden:
Variante 1
$f (x) = \frac{1}{70} \cdot l n (x) - \frac{1}{70} \cdot 2 x$
Bei einer Differenz kannst du jeden Teil einzeln ableiten (siehe im Artikel Ableitung berechnen unter Summenregel). Damit ist die Ableitung
$f^{'} (x) = \frac{1}{70} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{70} \cdot 2$
wobei verwendet wurde, dass ${(\log (x))}^{'} = \frac{1}{x}$ .
Variante 2
$f (x) = \frac{1}{70} \cdot [l n (x) - 2 x]$
Du kannst die Differenz direkt ableiten und den Vorfaktor $\frac{1}{70}$ mitnehmen (siehe im Artikel Ableitung berechnen unter Summenregel). Damit ist die Ableitung $f^{'} (x) = \frac{1}{70} \cdot [\frac{1}{x} - 2]$ wobei wieder verwendet wurde, dass ${(\log (x))}^{'} = \frac{1}{x}$ .
16
$f (x) = \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$
Welche der folgenden Umformungen ist richtig? Leite danach die Funktion ab.
$f (x) = [\sin (x) + \cos (x)]^{- 1}$
$f (x) = \sin (x)^{- 1} + \cos (x)^{- 1}$
$f (x) = \sin (x^{- 1}) + \cos (x^{- 1})$

Umformung
Wenn du den Funktionsterm umformst, wendest du das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an. Dabei musst du den Nenner im Ganzen betrachten und deshalb Klammern um den gesamten Nenner setzen. Die richtige Lösung ist somit $f (x) = [\sin (x) + \cos (x)]^{- 1}$ .
Die Antwortmöglichkeit $f (x) = \sin (x^{- 1}) + \cos (x^{- 1})$ ist falsch, weil nur das $x$ als Potenz geschrieben wurde. Man könnte den Term umformen zu $\sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x})$ . Das ist aber nicht das gleiche wie $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ .
Die Antwortmöglichkeit $f (x) = \sin (x)^{- 1} + \cos (x)^{- 1}$ ist ebenfalls falsch, weil nur $\sin (x)$ und $\cos (x)$ als Potenz geschrieben wurden. Man könnte den Term umformen zu $\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$ . Das ist aber nicht das gleiche wie $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ .
Ableitung
Leite den vereinfachten Term mit Potenz- und Kettenregel ab.
$f (x) = [\sin (x) + \cos (x)]^{- 1}$
Bei der Kettenregel wird die äußere Funktion, hier $u (z) = z^{- 1}$ abgeleitet und die innere Funktion $v (x) = \sin (x) + \cos (x)$ eingesetzt und anschließend die innere Ableitung $v^{'} (x) = \cos (x) - \sin (x)$ angehängt. Insgesamt ergibt sich:
$f^{'} (x)$ $=$ $u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$
$=$ $- {[\sin (x) + \cos (x)]}^{- 2} \cdot [\cos (x) - \sin (x)]$
17
Leite die Funktion $f (x) = \frac{x^{2} + \sin (x)}{3}$ ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitungsregeln
Tipp: Hier kommt im Nenner kein $x$ vor, sondern nur eine Zahl.
Ableiten eines Bruchs
Du kannst die Funktion entweder mit der Quotientenregel direkt oder mit der hier gezeigten Umformung ableiten.
Umschreiben der Funktion
Bei der Funktion $\frac{x^{2} + s i n (x)}{3}$ Nenner kein $x$ vor, sondern nur eine Zahl.
Ist dies der Fall, so kannst du die Zahl als Kehrwert vor den Zähler schreiben:
$\frac{x^{2} + s i n (x)}{3} = \frac{1}{3} \cdot [x^{2} + s i n (x)]$
Ableiten der Funktion
Bevor du ableitest, multipliziere noch die Klammer aus:
$\frac{1}{3} \cdot [x^{2} + s i n (x)] = \frac{1}{3} \cdot x^{2} + \frac{1}{3} \cdot s i n (x)$
Nun kannst du jeden Summand einzeln ableiten.
$f^{'} (x) = \frac{1}{3} \cdot 2 x + \frac{1}{3} \cdot c o s (x)$
Das ist auch schon die Ableitung.
Wenn du möchtest, kannst du $\frac{1}{3}$ wieder ausklammerst. Dann erhälst du als Endergebnis $f^{'} (x) = \frac{1}{3} \cdot [2 x + c o s (x)]$

Leite die Funktion zunächst mit der Produkt- und Kettenregel ab und dann mit der Quotientenregel.

$f (x) = \frac{2 x^{3} - 5}{3 x}$

Berechne die Ableitung mit Summen-, Produkt und Kettenregel und überprüfe.Welches Verfahren bietet sich am ehesten an?

${f (x) = (- x - 3)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten
In dieser Aufgabe soll an der folgenden Funktion $f (x) = (- x - 3)^{2}$ gezeigt werden, dass es sich lohnt zu überlegen, mit welcher Methode man am besten ableitet.
Lösen über Summenregel
$f (x)$ $=$ ${(- x - 3)}^{2}$
↓
Wende die 2. binomische Formel an.
$=$ $x^{2} + 6 x + 9$
↓
Leite mithilfe der Summenregel ab.
$f ´ (x)$ $=$ $2 x + 6$
Lösen über Poduktregel
$f (x)$ $=$ ${(- x - 3)}^{2}$
↓
Schreibe als Produkt.
$=$ $(- x - 3) \cdot (- x - 3)$
Leite mithilfe der Produktregel ab.
$f ´ (x)$ $=$ $(- x - 3) ´ \cdot (- x - 3) + (- x - 3) \cdot (- x - 3) ´$
$=$ $(- 1) \cdot (- x - 3) + (- x - 3) \cdot (- 1)$
↓
Multipliziere aus.
$=$ $x + 3 + x + 3$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $2 x + 6$
Lösen über Kettenregel
$f (x)$ $=$ ${(- x - 3)}^{2}$
↓
Leite mithilfe der Kettenregel ab.
$f ´ (x)$ $=$ $2 \cdot (- x - 3) \cdot (- 1)$
↓
Multipliziere aus.
$=$ $(- 2 x - 6) \cdot (- 1)$
$=$ $2 x + 6$
Fazit
Für quadratische Funktionen ist sowohl die Verwendung der Summenregel als auch der Kettenregel sinnvoll, da der Aufwand ungefähr gleich hoch ist.
Die Produktregel hat mehr Rechenschritte und somit ein höheres Fehlerpotenzial.

$f (x) = {(- x + 2 y)}^{3}$

20
Bestimme die erste Ableitung von $f (x) = 4 e^{2 x} \cdot e^{x^{2}}$ indem...
... du zuerst die Potenzgesetze anwendest und dann ableitest.
...du die Produktregel verwendest.

Erst Potenzgesetze, dann Ableiten
Hat ein Produkt aus Potenzen die gleiche Basis, so addiert man die Exponenten:
$f (x) = 4 e^{2 x} \cdot e^{x^{2}} = 4 e^{2 x + x^{2}}$
Jetzt braucht man nur die Kettenregel, da die Zahl 4 nur eine Konstante ist und im Exponenten nur eine Summe ist. Dabei ist $4 e^{x}$ die äußere Funktion und $2 x + x^{2}$ die innere:
$f^{'} (x) = (2 + 2 x) \cdot 4 e^{2 x + x^{2}} = (8 + 8 x) e^{2 x + x^{2}}$
Ableiten mit der Produktregel
Da sowohl im Faktor $e^{2 x}$ als auch im Faktor $e^{x^{2}}$ ein x vorkommt, braucht es neben der Kettenregel auch die Produktregel:
$f^{'} (x) = 2 \cdot 4 e^{2 x} \cdot e^{x^{2}} + 4 e^{2 x} \cdot 2 x \cdot e^{x^{2}}$
Vereinfache den Term, um zu zeigen, dass er mit der anderen Ableitung übereinstimmt:
$f^{'} (x) = 2 \cdot 4 e^{2 x} \cdot e^{x^{2}} + 4 e^{2 x} \cdot 2 x \cdot e^{x^{2}} = 8 e^{2 x} \cdot e^{x^{2}} + 8 x e^{2 x} \cdot e^{x^{2}} = e^{2 x} \cdot e^{x^{2}} \cdot (8 + 8 x)$
Für den ersten Weg benötigst du die Potenzgesetze, um zwei Potenzen mit gleicher Basis zu multiplizieren. Danach brauchst du dann nur noch die Kettenregel (da 4 eine Konstante ist).
Für den zweiten Weg musst du sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel verwenden. Vergiss nicht das Nachdifferenzieren bei beiden e-Funktionen!
21
Bestimme die ersten beiden Ableitungen der folgenden verknüpften Exponentialfunktionen
$f (x) = e^{- 2 x^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
1. Ableitung
Verwende die Kettenregel, wobei $- 2 x^{2}$ die innere Funktion ist, die nachdifferenziert werden muss:
$f^{'} (x) = - 4 x \cdot e^{- 2 x^{2}}$
2. Ableitung
Verwende die Produktregel und die Kettenregel:
$f^{''} (x) = - 4 \cdot e^{- 2 x^{2}} + (- 4 x) \cdot (- 4 x) \cdot e^{- 2 x^{2}} = - 4 x e^{- 2 x^{2}} + 16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} = e^{- 2 x^{2}} \cdot x \cdot (16 x - 4)$
Für die erste Ableitung benötigst du nur die Kettenregel.
Für die zweite Ableitung benötigst du Produktregel und Kettenregel.

$f (x) = - 0,5 x e^{- x} + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
erste Ableitung
Verwende sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel. Die Konstante +1 fällt weg.
$f^{'} (x) = - 0,5 \cdot e^{- x} + (- 0,5 x) \cdot (- 1) \cdot e^{- x} = e^{- x} \cdot (- 0,5 + 0,5 x)$
zweite Ableitung
Verwende erneut die Ketten- und die Produktregel
$f^{''} (x) = - 1 \cdot e^{- x} \cdot (- 0,5 + 0,5 x) + e^{- x} \cdot 0,5 = e^{- x} (0,5 - 0,5 x + 0,5) = e^{- x} \cdot (1 - 0,5 x)$
Du benötigst für beide Ableitungen sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel. Klammere aus, bevor du die zweite Ableitung bildest.

$f (x) = (0,5 x^{2} + x) \cdot e^{- 2 x^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
erste Ableitung
$f^{'} (x) = (x + 1) \cdot e^{- 2 x^{2}} + (0,5 x^{2} + x) \cdot (- 4 x) \cdot e^{- 2 x^{2}} = (x + 1) \cdot e^{- 2 x^{2}} + (- 2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x^{2}} = e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 2 x^{3} - 4 x^{2} + x + 1)$
zweite Ableitung
$f^{''} (x) = - 4 x \cdot e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 2 x^{3} - 4 x^{2} + x + 1) + e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 6 x^{2} - 8 x + 1) = e^{- 2 x^{2}} \cdot (8 x^{4} + 16 x^{3} - 10 x^{2} - 12 x + 1)$
Du benötigst für beide Ableitungen sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel. Klammere aus, bevor du die zweite Ableitung bildest.

Bestimme alle Extrempunkte (mit Art) und Wendepunkte und gib die Monotonie- und Krümmungsintervalle an.

$f (x) = x^{2} e^{x}$ mit $D_{f} = ℝ$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonie und Extrema
Extrema und Monotonieverhalten
Verwende die Produktregel und Kettenregel, um die Ableitung zu bilden.
$f^{'} (x)$ $=$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$
↓
Klammere $e^{x}$ und x aus
$=$ $e^{x} \cdot x \cdot (2 + x)$
Die Nullstellen von $f^{'}$ kannst du mithilfe des Satz vom Nullprodukt direkt ablesen:
$x_{1} = 0$ und $x_{2} = - 2$
Beide Nullstellen haben die Vielfachheit 1 und sind deshalb Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von $G_{f^{'}}$ und somit Extremstellen von $G_{f}$ .
Die Art der Extremstellen und die Monotonieintervalle erhältst du zum Beispiel über eine Monotonietabelle (Alternativ: 2. Ableitung)
x
$x < - 2$
$x = - 2$
$- 2 < x < 0$
$x = 0$
$x > 0$
Vorzeichen $f^{'}$
+
0
-
0
+
Verlauf $G_{f}$
$↗$
HOP
$↘$
TIP
$↗$
Die Lage der Extrempunkte bekommst du über Einsetzen in $f$ :
$f (- 2) = 4 e^{- 2} \approx 0,54$
$f (0) = 0$
Der Graph ist also streng monoton steigend für $x \in] - \infty; - 2] \cup [0; + \infty [$ und fallend in $x \in [- 2; 0]$ mit $H O P (- 2 | 0,54)$ und $T I P (0 | 0)$
Wendepunkte und Krümmung
Bilde die 2. Ableitung mithilfe der Produkt- und Kettenregel um $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + x^{2})$ nochmal abzuleiten
$f^{''} (x)$ $=$ $e^{x} \cdot (2 x + x^{2}) + e^{x} \cdot (2 + 2 x)$
↓
Klammere $e^{x}$ aus
$=$ $e^{x} \cdot (2 x + x^{2} + 2 + 2 x)$
$=$ $e^{x} \cdot (x^{2} + 4 x + 2)$
Diesmal sind die Nullstellen nicht so offensichtlich.
$f^{''} (x)$ $=$ $0$
$e^{x} \cdot (x^{2} + 4 x + 2)$ $=$ $0$
↓
$e^{x}$ trägt keine Nullstellen bei, da $e^{x} > 0$ für alle $x \in ℝ$
$x^{2} + 4 x + 2$ $=$ $0$
Löse mithilfe der Mitternachtsformel:
$x_{1 / 2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$ liefert $x_{1} = - 2 + \sqrt{2} \approx - 0,59$ und $x_{2} = - 2 - \sqrt{2} \approx - 3,41$
Da beide Nullstellen von $f^{''}$ die Vielfachheit 1 haben, handelt es sich um Wendestellen von $G_{f}$ .
Untersuche die Krümmung mit einer Krümmungstabelle
x
$x < - 3,41$
$x = - 3,41$
$- 3,41 < x < - 0,59$
$x = - 0,59$
$x > - 0,59$
Vorzeichen $f^{''}$
+
0
-
0
+
Krümmung $G_{f}$
lgk
WEP
rgk
WEP
lgk
Die Lage der Wendepunkte erhältst du erneut über Einsetzen in $f$ :
$f (- 3,41) \approx 0,38$
$f (- 0,59) \approx 0,19$
Der Graph von f ist linksgekrümmt in $x \in] - \infty; - 3,41] \cup [- 0,59; + \infty [$ und rechtsgekrümmt in $x \in [- 3,41; - 0,59]$ . Die Wendepunkte liegen bei $W E P (- 3,41 | 0,38)$ und $W E P (- 0,59 | 0,19)$ .
Für Extrema und Monotonie:
Bestimme die erste Ableitung
Bestimme ihre Nullstellen
Fertige eine Monotonietabelle an. Zusätzlich zu den Monotonieintervallen erhältst du die Art der Extrempunkte
Bestimme die Lage der Extrempunkte durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion
Für Wendepunkte und Krümmungsintervalle:
Bestimme die zweite Ableitung
Bestimme ihre Nullstellen
Fertige eine Krümmungstabelle an
Bestimme die Lage des Wendepunktes durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion

x	$x < - 2$	$x = - 2$	$- 2 < x < 0$	$x = 0$	$x > 0$
Vorzeichen $f^{'}$	+	0	-	0	+
Verlauf $G_{f}$	$↗$	HOP	$↘$	TIP	$↗$

x	$x < - 3,41$	$x = - 3,41$	$- 3,41 < x < - 0,59$	$x = - 0,59$	$x > - 0,59$
Vorzeichen $f^{''}$	+	0	-	0	+
Krümmung $G_{f}$	lgk	WEP	rgk	WEP	lgk

$g (x) = (x^{2} - 4 x + 1) \cdot e^{- x}$ mit $D_{g} = ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen

Extrema und Monotonieverhalten

Verwende die Produktregel und die Kettenregel, um den Term abzuleiten:

$g^{'} (x)$	$=$	$(2 x - 4) \cdot e^{- x} + (x^{2} - 4 x + 1) \cdot (- 1) \cdot e^{- x}$
	↓	Multipliziere hinten die -1 in die Klammer
	$=$	$(2 x - 4) \cdot e^{- x} + (- x^{2} + 4 x - 1) \cdot e^{- x}$
	↓	Klammere $e^{- x}$ aus.
	$=$	$e^{- x} \cdot (2 x - 4 - x^{2} + 4 x - 1)$
	↓	Vereinfache
	$=$	$e^{- x} \cdot (- x^{2} + 6 x - 5)$

Bestimme die Nullstellen der Ableitung:

$g^{'} (x)$	$=$	$0$
$e^{- x} \cdot (- x^{2} + 6 x - 5)$	$=$	$0$
	↓	Nach dem Satz vom Nullprodukt können die Faktoren einzeln betrachtet werden. Die Exponentialfunktion $e^{- x} > 0$ hat keine Nullstellen.
$- x^{2} + 6 x - 5$	$=$	$0$

Verwende die Mitternachtsformel, um die Gleichung zu lösen:

$x_{1 / 2} = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2} = \frac{- 6 \pm 4}{- 2}$ also: $x_{1} = 1$ und $x_{2} = 5$

(Da beide Nullstellen die Vielfachheit 1 haben, also Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von $G_{g^{'}}$ sind, sind dort Extremstellen von $G_{g}$ )

Mit einer Monotonietabelle bekommst du sowohl die Art der Extrema als auch die Monotonieintervalle:

x	$x < 1$	$x = 1$	$1 < x < 5$	$x = 5$	$x > 5$
Vorzeichen g'	-	0	+	0	-
Verlauf $G_{g}$	$↘$	TIP	$↗$	HOP	$↘$

Die Lage der Extrempunkte bekommst du, indem du in $g$ einsetzt:

$g (1) = - 2 \cdot e^{- 1} \approx 0,74$

$g (5) = 6 \cdot e^{- 5} \approx 0,04$

Insgesamt gilt für die Extremwerte und Monotonie also:

$G_{g}$ ist streng monoton fallend für $x \in] - \infty; 1] \cup [5; + \infty [$ und streng monoton steigend für $x \in [1; 5]$ . Dabei gibt es die Extrempunkte $T I P (1 | 0,74)$ und $H O P (5 | 0,04)$

Wendepunkte und Krümmung

Du benötigst die Nullstellen der 2. Ableitung, da dort die Wendestellen von $G_{g}$ liegen. Erneut brauchst du sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel

$g^{''} (x)$	$=$	$- e^{- x} \cdot (- x^{2} + 6 x - 5) + e^{- x} \cdot (- 2 x + 6)$
	↓	Ziehe das Minus zu Beginn des Terms in die Klammer
	$=$	$e^{- x} \cdot (x^{2} - 6 x + 5) + e^{- x} \cdot (- 2 x + 6)$
	↓	Klammere $e^{- x}$ aus
	$=$	$e^{- x} \cdot (x^{2} - 8 x + 11)$

Bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung. Erneut ist nur die ganzrationale Funktion in den Klammern wichtig, da der Satz vom Nullprodukt gilt und $e^{- x} > 0$

Verwende erneut die Mitternachtsformel:

$x_{1 / 2} = \frac{- (- 8) \pm \sqrt{(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$ . Du erhältst $x_{1} \approx 6,24$ und $x_{2} \approx 1,76$

Da beide Nullstellen von $g^{''}$ die Vielfachheit 1 haben, handelt es sich um Wendestellen von $G_{g}$ .

Für die Krümmungsintervalle benötigst du trotzdem noch die Krümmungstabelle.

x	$x < 1,76$	$x = 1,76$	$1,76 < x < 6,24$	$x = 6,24$	$x > 6,24$
Vorzeichen g''	+	0	-	0	+
Krümmung $G_{g}$	lgk	WEP	rgk	WEP	lgk

Für die Koordinaten der Wendepunkte musst du außerdem noch die gefundenen x-Werte in g einsetzen:

$g (1,76) \approx - 0,51$

$g (6,24) \approx 0,03$

Insgesamt ist der Graph $G_{g}$ also linksgekrümmt für $x \in] - \infty; 1,76] \cup [6,24; + \infty [$ und rechtsgekrümmt für $x \in [1,76; 6,24]$ . Er hat die Wendepunkte $W E P (1,76 | - 0,51)$ und $W E P (6,24 | 0,03)$

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$m (z)$	$=$	${(\frac{z - 1}{z})}^{2}$
	↓	Ziehe den gemeinsamen Exponenten in den Zähler und Nenner.
	$=$	$\frac{{(z - 1)}^{2}}{z^{2}}$
	↓	Wende die zweite binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\frac{z^{2} - 2 z + 1}{z^{2}}$
	↓	Spalte den Bruch in mehrere Summanden auf.
	$=$	$\frac{z^{2}}{z^{2}} - \frac{2 z}{z^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$
	↓	Kürze die ersten beiden Summanden.
	$=$	$1 - \frac{2}{z} + \frac{1}{z^{2}}$
	↓	Schreibe die Brüche als Potenzen mit negativen Exponenten um.
	$=$	$1 - 2 z^{- 1} + z^{- 2}$

$m (z)$	$=$	$1 - 2 z^{- 1} + z^{- 2}$
$m ´ (z)$	$=$	$2 z^{- 2} - 2 z^{- 3}$
	↓	Schreibe die Potenzen mit negativen Exponenten als Brüche um.
	$=$	$\frac{2}{z^{2}} - \frac{2}{z^{3}}$
	↓	Klammere den gemeinsamen Faktor $\frac{2}{z^{2}}$ aus.
	$=$	$\frac{2}{z^{2}} \cdot (1 - \frac{1}{z})$

$g ´ (z)$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (- 1) \cdot z^{- 2}$
	↓	Multipliziere die Faktoren vor dem $z^{- 2}$
	$=$	$- \frac{1}{3} \cdot z^{- 2}$
	↓	Nun kannst du das $z$ wieder in den Nenner schreiben.
	$=$	$- \frac{1}{3 z^{2}}$

$h (s)$	$=$	$\frac{{(s + 1)}^{2} - s^{2}}{{(2 s + 1)}^{2}}$
	↓	Multipliziere die Klammer im Zähler aus. Verwende dazu die 1. binomische Formel.
	$=$	$\frac{s^{2} + 2 s + 1 - s^{2}}{{(2 s + 1)}^{2}}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
	$=$	$\frac{2 s + 1}{{(2 s + 1)}^{2}}$
	↓	Kürze mit $(2 s + 1)$ .
	$=$	$\frac{1}{2 s + 1}$
	↓	Wende das Potenzgesetz für negative Exponenten an.
	$=$	${(2 s + 1)}^{- 1}$

$h ´ (s)$	$=$	$- 1 \cdot {(2 s + 1)}^{- 2} \cdot 2$
	↓	Vereinfache den Term.
	$=$	$- 2 \cdot {(2 s + 1)}^{- 2}$

$f (x)$	$=$	$\frac{6 x^{2} - 3 x + 9}{3}$
	↓	Klammere im Zähler den Faktor 3 aus.
	$=$	$\frac{3 \cdot (2 x^{2} - x + 3)}{3}$
	↓	Kürze mit 3.
	$=$	$2 x^{2} - x + 3$

$h (x)$	$=$	$\frac{2 x + 3 x^{2}}{5 π - 1}$
	↓	Ziehe $\frac{1}{5 π - 1}$ vor den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{5 π - 1} \cdot (2 x + 3 x^{2})$

$k (s)$	$=$	$\frac{6 s^{3} + 4}{2 \sqrt{2}}$
	↓	Klammere im Zähler den Faktor 2 aus.
	$=$	$\frac{2 \cdot (3 s^{2} + 2)}{2 \sqrt{2}}$
	↓	Kürze mit 2.
	$=$	$\frac{(3 s^{3} + 2)}{\sqrt{2}}$
	↓	Ziehe $\frac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (3 s^{3} + 2)$

$l (x)$	$=$	$\frac{4 x^{2}}{3 \cdot (2 x + 1)} + \frac{4 x + 1}{3 \cdot (2 x + 1)}$
	↓	Addiere die beiden Brüche zu einem gemeinsamen Bruch.
	$=$	$\frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{3 \cdot (2 x + 1)}$
	↓	Wende nun die 1. binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{3 \cdot (2 x + 1)}$
	↓	Kürze den Term in Klammern.
	$=$	$\frac{(2 x + 1)}{3}$
	↓	Ziehe den Faktor $\frac{1}{3}$ vor den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (2 x + 1)$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}$

$f (x)$	$=$	$\frac{x^{3} - 2 x}{70}$
	↓	Ziehe den Bruch vor.
	$=$	$\frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{3}{70} x^{2} - \frac{2}{70}$
	↓	Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
	$=$	$\frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{1}{70} (3 x^{2} - 2)$
	$=$	$\frac{3}{70} x^{2} - \frac{2}{70}$
	↓	Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
	$=$	$\frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$

$f (x)$	$=$	$\frac{(x + 1) \cdot (x - 1) + 1}{x^{3}}$
	↓	Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\frac{x^{2} - 1 + 1}{x^{3}}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{x^{2}}{x^{3}}$
	↓	Kürze den Bruch mit $x^{2}$ .
	$=$	$\frac{1}{x}$

$g (z)$	$=$	$\frac{{(z + 3)}^{2} - 6 z - 9}{3 z^{3}}$
	↓	Wende die 1. binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\frac{z^{2} + 6 z + 9 - 6 z - 9}{3 z^{3}}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{z^{2}}{3 z^{3}}$
	↓	Kürze den Faktor $z^{2}$ .
	$=$	$\frac{1}{3 z}$
	↓	Bringe das $z$ aus dem Nenner durch Anwendung der Potenzgesetze zu negativen Exponenten hinter den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot z^{- 1}$

$k (t)$	$=$	$\frac{(t + 2) \cdot (t - 2)}{(t^{2} - 4)^{3}}$
	↓	Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\frac{t^{2} - 4}{(t^{2} - 4)^{3}}$
	↓	Vereinfache den Bruch durch Kürzen.
	$=$	$\frac{1}{(t^{2} - 4)^{2}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$
	$=$	$- {[\sin (x) + \cos (x)]}^{- 2} \cdot [\cos (x) - \sin (x)]$

$f (t)$	$=$	$\frac{2 t^{3}}{3}$
	↓	Du kannst den Bruch wie folgt aufteilen.
	$=$	$\frac{2}{3} \cdot t^{3}$

$f ´ (t)$	$=$	$\frac{2}{3} \cdot 3 \cdot t^{2}$
	↓	Verrechne beide Faktoren vor dem $t^{2}$ .
	$=$	$2 t^{2}$

$g (x)$	$=$	$- \frac{x^{4}}{8}$
	↓	Du kannst den Bruch folgendermaßen aufteilen.
	$=$	$- \frac{1}{8} x^{4}$

$g ´ (x)$	$=$	$- \frac{1}{8} \cdot 4 \cdot x^{3}$
	↓	Verrechne beide Faktoren vor dem $x^{3}$ .
	$=$	$- \frac{1}{2} x^{3}$

$h (z)$	$=$	$\frac{z^{6} - 6}{3}$
	↓	Du kannst den Bruch folgendermaßen aufteilen.
	$=$	$\frac{1}{3} (z^{6} - 6)$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\frac{1}{3} z^{6} - 2$

$h ´ (z)$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot z^{5} - 0$
	↓	Verrechne die beiden Faktoren vor dem $z^{5}$ .
	$=$	$2 z^{5}$

$f (z)$	$=$	$\frac{3 z^{2}}{14} + \frac{2 z^{2}}{7}$
	↓	Erweitere $\frac{2 z^{2}}{7}$ mit $2$ .
	$=$	$\frac{3 z^{2}}{14} + \frac{4 z^{2}}{14}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{3 z^{2} + 4 z^{2}}{14}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{7 z^{2}}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit $7$ .
	$=$	$\frac{z^{2}}{2}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{2} z^{2}$
	↓	Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$f ´ (z)$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot z$
	$=$	$z$

$f (z)$	$=$	$\frac{3 z^{2}}{14} + \frac{2 z^{2}}{7}$
	↓	Klammere $z^{2}$ aus.
	$=$	$(\frac{3}{14} + \frac{2}{7}) \cdot z^{2}$
	↓	Erweitere $\frac{2}{7}$ mit $2$ .
	$=$	$(\frac{3}{14} + \frac{4}{14}) \cdot z^{2}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{3 + 4}{14} \cdot z^{2}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{7}{14} \cdot z^{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit $7$ .
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot z^{2}$
	↓	Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$f ´ (z)$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot z$
	$=$	$z$

$g (x)$	$=$	$\frac{7 x^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{4}$
	↓	Erweitere $\frac{x^{2}}{4}$ mit $3$ .
	$=$	$\frac{7 x^{2}}{12} - \frac{3 x^{2}}{12}$
	↓	Schreibe alles auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{7 x^{2} - 3 x^{2}}{12}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{4 x^{2}}{12}$
	↓	Kürze den Bruch mit 4.
	$=$	$\frac{x^{2}}{3}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{3} x^{2}$

$g (x)$	$=$	$\frac{7 x^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{4}$
	↓	Ziehe die Faktoren vor die Brüche.
	$=$	$\frac{7}{12} x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}$
	↓	Klammere $x^{2}$ aus.
	$=$	$(\frac{7}{12} - \frac{1}{4}) \cdot x^{2}$
	↓	Erweitere $\frac{1}{4}$ mit $3$ .
	$=$	$(\frac{7}{12} - \frac{3}{12}) \cdot x^{2}$
	↓	Schreibe es auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{7 - 3}{12} \cdot x^{2}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{4}{12} \cdot x^{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit 4.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot x^{2}$

Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Umformung des Funktionsterms

Ableiten der Funktion

Umformung des Funktionsterms

Ableiten der Funktion

Umformung des Funktionsterms

Ableiten der Funktion

Umformung des Funktionsterms

Ableiten der Funktion

Umformung des Funktionsterms

Ableiten der Funktion

Umformung des Funktionsterms

Ableiten der Funktion

Lösungsvorschlag 1

Lösungsvorschlag 2

Ableiten der Funktion

Vereinfachen des Funktionsterms

Ableiten der Funktion

Ableiten der Funktion

Ableiten der Funktion

Mehrmaliges Ableiten 1x

Allgemeine Formel zur Ableitung der Funktion f(x)

Lösungsvorschlag 1

Lösungsvorschlag 2

Lösungsvorschlag 1:

Lösungsvorschlag 2:

Lösungsvorschlag 1:

Lösungsvorschlag 2:

Ableiten einer Wurzelfunktion

Funktionsterm umschreiben mithilfe der Potenzgesetze

Ableiten mithilfe der Ableitungsregel für Potenzfunktionen

Verschönerungsarbeiten

Quotienten- und Kettenregel anwenden

Quotientenregel vorbereiten

Quotientenregel anwenden und vereinfachen

Kettenregel vorbereiten

Ableitung von ln⁡x

Ableitung der inneren Funktion mithilfe der Quotientenregel

Kettenregel anwenden

Umformung

Ableitung

Variante 1

Variante 2

Umformung

Ableitung

Ableiten eines Bruchs

Umschreiben der Funktion

Ableiten der Funktion

Lösungsvariante 1: Produkt- und Kettenregel

Lösungsvariante 2: Quotientenregel

Lösen über Summenregel

Lösen über Poduktregel

Lösen über Kettenregel

Fazit

Lösen über Summenregel

Lösen über Produktregel

Lösen über Kettenregel

Fazit

Erst Potenzgesetze, dann Ableiten

Ableiten mit der Produktregel

1. Ableitung

2. Ableitung

erste Ableitung

zweite Ableitung

erste Ableitung

zweite Ableitung

Extrema und Monotonieverhalten

Wendepunkte und Krümmung

Extrema und Monotonieverhalten

Wendepunkte und Krümmung

Mehrmaliges Ableiten $\frac{1}{x}$

Ableitung von $\ln x$

$h (t)$	$=$	$- \frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{3}}{6}$
	↓	Erweitere den Bruch $\frac{t^{3}}{3}$ mit 2.
	$=$	$- \frac{2 t^{3}}{6} - \frac{t^{3}}{6}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{- 2 t^{3} - t^{3}}{6}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$- \frac{t^{3}}{2}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$- \frac{1}{2} t^{3}$

$h (t)$	$=$	$- \frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{3}}{6}$
	↓	Ziehe die Fakoren vor die Brüche.
	$=$	$- \frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{6} t^{3}$
	↓	Du kann hier $t^{3}$ ausklammern.
	$=$	$(- \frac{1}{3} - \frac{1}{6}) \cdot t^{3}$
	↓	Erweitere den Bruch $- \frac{1}{3}$ mit 2.
	$=$	$(- \frac{2}{6} - \frac{1}{6}) \cdot t^{3}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$(\frac{- 2 - 1}{6}) \cdot t^{3}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$- \frac{3}{6} \cdot t^{3}$
	↓	Kürze den Bruch mit 3.
	$=$	$- \frac{1}{2} t^{3}$

$f (x)$	$=$	$\frac{- 2 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$
	↓	Setze $u, v, u^{'}$ und $v^{'}$ in die Quotientenregel ein: $f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - v^{'} (x) \cdot u (x)}{v (x)^{2}}$
$f ´ (x)$	$=$	$\frac{- 4 x \cdot {(2 - x)}^{2} - (- 2) \cdot (2 - x) \cdot (- 2 x^{2})}{{(2 - x)}^{4}}$
	↓	Klammere $(2 - x)$ im Zähler aus.
$f ´ (x)$	$=$	$\frac{(2 - x) (- 4 x \cdot (2 - x) - (- 2) \cdot (- 2 x^{2}))}{{(2 - x)}^{4}}$
	↓	Kürze den Bruchterm mit $(2 - x)$ .
$f ´ (x)$	$=$	$\frac{- 4 x \cdot (2 - x) - (- 2) \cdot (- 2 x^{2})}{{(2 - x)}^{3}}$
	↓	Berechne und beachte die Vorzeichen!
$f ´ (x)$	$=$	$\frac{- 8 x + 4 x^{2} - 4 x^{2}}{{(2 - x)}^{3}}$
	↓	Berechne im Zähler und ziehe das Minus vor den Term.
$f ´ (x)$	$=$	$- \frac{8 x}{{(2 - x)}^{3}}$

$v ´ (x)$	$=$	$\frac{p ´ (x) \cdot q (x) - q ´ (x) \cdot p (x)}{q {(x)}^{2}}$
	↓	Setze diese Bestandteile in die Formel ein
$v ´ (x)$	$=$	$\frac{1 \cdot (1 - x) - (- 1) \cdot 1 (+ x)}{{(1 - x)}^{2}}$
	↓	Berechne im Zähler, beachte die Vorzeichen.
$v ´ (x)$	$=$	$\frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$
	↓	Berechne im Zähler
$v ´ (x)$	$=$	$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

$f (x)$	$=$	$\ln (\frac{1 + x}{1 - x}) + 4$
	↓	Verwende die Summen- und Konstantenregel für die Zahl 4 und die Kettenregel.
$f ´ (x)$	$=$	$u ´ (v (x)) \cdot v ´ (x)$
	↓	Setze die Bestandteile ein. Beachte dabei: $\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$
$f ´ (x)$	$=$	$\frac{1 - x}{1 + x} \cdot \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$
	↓	Multipliziere die Bruchterme und kürze dabei $(1 - x)$ .
$f ´ (x)$	$=$	$\frac{2}{(1 + x) (1 - x)}$

$f (x)$	$=$	$\frac{2 x^{2} - 5}{3 x}$
	↓	Ursprungsfunktion
$u (x)$	$=$	$2 x^{3} - 5$
	↓	Zähler der Ursprungsfunktion:
$u ´ (x)$	$=$	$6 x^{2}$
	↓	Ableitung des Zählers
$v (x)$	$=$	$3 x$
	↓	Nenner der Ursprungsfunktion
$v ´ (x)$	$=$	$3$
	↓	Ableitung des Nenners

$f (x)$	$=$	$(2 x^{3} - 5) \cdot (3 x)^{- 1}$
	↓	Bilde nun mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel die Ableitung von $f (x)$ .
$f ´ (x)$	$=$	$u^{'} (x) \cdot (v (x))^{- 1} + u (x) \cdot (- 1) \cdot (v (x))^{- 2} \cdot v^{'} (x)$
	↓	Setze ein
	$=$	$6 x^{2} \cdot (3 x)^{- 1} + (2 x^{3} - 5) \cdot (- 1) \cdot (3 x)^{- 2} \cdot 3$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
	$=$	$\frac{6 x^{2}}{3 x} + \frac{(2 x^{3} - 5) \cdot (- 1) \cdot 3}{(3 x)^{2}}$
	$=$	$\frac{6 x^{2}}{3 x} + \frac{(2 x^{3} - 5) \cdot (- 1) \cdot 3}{3 \cdot 3 x^{2}}$
	↓	Kürze den 2. Bruch mit dem Faktor 3.
	$=$	$\frac{6 x^{2}}{3 x} + \frac{(2 x^{3} - 5) \cdot (- 1)}{3 x^{2}}$
	↓	Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
	$=$	$\frac{6 x^{3} + (2 x^{3} - 5) \cdot (- 1)}{3 x^{2}}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{4 x^{3} + 5}{3 x^{2}}$

$f ´ (x)$	$=$	$\frac{v (x) \cdot u^{'} (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{(v (x))^{2}}$
	↓	Setze ein
	$=$	$\frac{3 x \cdot 6 x^{2} - (2 x^{3} - 5) \cdot 3}{(3 x)^{2}}$
	↓	Verrechne die Faktoren $3 x$ und $6 x^{2}$
	$=$	$\frac{18 x^{3} - (2 x^{3} - 5) \cdot 3}{(3 x)^{2}}$
	↓	Multipliziere die $3$ in die Klammer
	$=$	$\frac{18 x^{3} - (6 x^{3} + 15)}{(3 x)^{2}}$
	↓	Löse die Klammern auf
	$=$	$\frac{18 x^{3} - 6 x^{3} + 15}{9 x^{2}}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen
	$=$	$\frac{12 x^{3} + 15}{9 x^{2}}$
	↓	Klammere den Faktor $3$ im Zähler und im Nenner aus
	$=$	$\frac{3 \cdot (4 x^{3} + 5)}{3 \cdot 3 \cdot x^{2}}$
	↓	Kürze mit den Bruch mit $3$
	$=$	$\frac{4 x^{3} + 5}{3 x^{2}}$

$f (x)$	$=$	${(- x - 3)}^{2}$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$x^{2} + 6 x + 9$
	↓	Leite mithilfe der Summenregel ab.
$f ´ (x)$	$=$	$2 x + 6$

$f (x)$	$=$	${(- x - 3)}^{2}$
	↓	Schreibe als Produkt.
	$=$	$(- x - 3) \cdot (- x - 3)$