Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Vereinfache die nachfolgenden Funktionsterme möglichst geschickt und bilde die Ableitungsfunktionen.

$f (x) = \frac{6 x^{2} - 3 x + 9}{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen
Bei dieser Aufgabe solltest du den Bruch zuerst vereinfachen und anschließend ableiten.
Umformung des Funktionsterms
$f (x)$ $=$ $\frac{6 x^{2} - 3 x + 9}{3}$
↓
Klammere im Zähler den Faktor 3 aus.
$=$ $\frac{3 \cdot (2 x^{2} - x + 3)}{3}$
↓
Kürze mit 3.
$=$ $2 x^{2} - x + 3$
Ableiten der Funktion
Nun kannst du mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen in Kombination mit der Summenregel und der Faktorregel $f^{'} (x)$ bestimmen.
$f^{'} (x) = 2 \cdot 2 x - 1 + 0 = 4 x - 1$
Die Ableitung von $f (x)$ ist $f^{'} (x) = 4 x - 1$ .
Tipp: Klammere im Zähler den Faktor 3 aus.
$g (t) = \frac{5 t^{3} + 2 t - 1}{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen
Tipp: Ziehe den Faktor $\frac{1}{4}$ vor den Bruch.
Um diese Funktion abzuleiten, bietet es sich an, dass du zunächst einen Faktor vor den Bruch schreibst und den entstehenden Term dann ableitest.
Umformung des Funktionsterms
$\begin{aligned} g (t) & = \frac{5 t^{3} + 2 t - 1}{4} \\ = \frac{1}{4} \cdot (5 t^{3} + 2 t - 1) \end{aligned}$
Nun ziehst du $\frac{1}{4}$ vor den Bruch.
Ableiten der Funktion
Die Ableitung $g ´ (t)$ lässt sich nun als Polynomfunktion mit Hilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion bestimmen.
Es ergibt sich
$\begin{aligned} g ´ (t) & = \frac{1}{4} \cdot (5 \cdot 3 t^{2} + 2 \cdot 1) \\ = \frac{1}{4} \cdot (15 t^{2} + 2) \end{aligned}$
Die Faktorregel besagt, dass man bei der Ableitung von Funktionen Konstanten vor Variablen nicht ableiten muss.
Unter Anwendung der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion lassen sich die einzelnen Potenzfunktionen nun ableiten.
Die Ableitung von $g (t)$ ist $g ´ (t) = \frac{1}{4} \cdot (15 t^{2} + 2)$ .
$h (x) = \frac{2 x + 3 x^{2}}{5 π - 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen
Tipp: Du kannst zuerst $\frac{1}{5 π - 1}$ vor den Bruch ziehen.
Bei dieser Aufgabe solltest du zuerst den Funktionsterm umformen und dann mithilfe der Ableitungsregeln $h^{'} (x)$ bestimmen.
Umformung des Funktionsterms
$h (x)$ $=$ $\frac{2 x + 3 x^{2}}{5 π - 1}$
↓
Ziehe $\frac{1}{5 π - 1}$ vor den Bruch.
$=$ $\frac{1}{5 π - 1} \cdot (2 x + 3 x^{2})$
Ableiten der Funktion
Wende nun die Faktorregel, die Summenregel und die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen an.
$h^{'} (x) = \frac{1}{5 π - 1} \cdot (2 + 6 x)$
Schreibe $(2 + 6 x)$ in den Zähler.
$= \frac{2 + 6 x}{5 π - 1}$
Die Ableitung von $h (x)$ ist $h^{'} (x) = \frac{2 + 6 x}{5 π - 1}$ .
$k (s) = \frac{6 s^{3} + 4}{2 \sqrt{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen
Tipp: Kürze den Bruch zuerst mit 2 und ziehe dann $\frac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch.
Hier bietet es sich an, den Bruch zuerst zu kürzen, danach $\frac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch zu ziehen und anschließend abzuleiten.
Umformung des Funktionsterms
$k (s)$ $=$ $\frac{6 s^{3} + 4}{2 \sqrt{2}}$
↓
Klammere im Zähler den Faktor 2 aus.
$=$ $\frac{2 \cdot (3 s^{2} + 2)}{2 \sqrt{2}}$
↓
Kürze mit 2.
$=$ $\frac{(3 s^{3} + 2)}{\sqrt{2}}$
↓
Ziehe $\frac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch.
$=$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (3 s^{3} + 2)$
Ableiten der Funktion
Leite nun mit der Faktorregel, der Summenregel und der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.
$k^{'} (s) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (9 s^{2} + 0)$
Schreibe $9 s^{2}$ in den Zähler.
$= \frac{9 s^{2}}{\sqrt{2}}$
Alternativ kannst du auch zu Beginn $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ vor den Bruch ziehen und dann ableiten.
Die Ableitung von $k (s)$ ist $k^{'} (s) = \frac{9 s^{2}}{\sqrt{2}}$ .

$l (x) = \frac{4 x^{2}}{3 \cdot (2 x + 1)} + \frac{4 x + 1}{3 \cdot (2 x + 1)}$

$m (z) = {(\frac{z - 1}{z})}^{2}$

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$l (x)$	$=$	$\frac{4 x^{2}}{3 \cdot (2 x + 1)} + \frac{4 x + 1}{3 \cdot (2 x + 1)}$
	↓	Addiere die beiden Brüche zu einem gemeinsamen Bruch.
	$=$	$\frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{3 \cdot (2 x + 1)}$
	↓	Wende nun die 1. binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{3 \cdot (2 x + 1)}$
	↓	Kürze den Term in Klammern.
	$=$	$\frac{(2 x + 1)}{3}$
	↓	Ziehe den Faktor $\frac{1}{3}$ vor den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (2 x + 1)$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}$

$m (z)$	$=$	${(\frac{z - 1}{z})}^{2}$
	↓	Ziehe den gemeinsamen Exponenten in den Zähler und Nenner.
	$=$	$\frac{{(z - 1)}^{2}}{z^{2}}$
	↓	Wende die zweite binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\frac{z^{2} - 2 z + 1}{z^{2}}$
	↓	Spalte den Bruch in mehrere Summanden auf.
	$=$	$\frac{z^{2}}{z^{2}} - \frac{2 z}{z^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$
	↓	Kürze die ersten beiden Summanden.
	$=$	$1 - \frac{2}{z} + \frac{1}{z^{2}}$
	↓	Schreibe die Brüche als Potenzen mit negativen Exponenten um.
	$=$	$1 - 2 z^{- 1} + z^{- 2}$

$m (z)$	$=$	$1 - 2 z^{- 1} + z^{- 2}$
$m ´ (z)$	$=$	$2 z^{- 2} - 2 z^{- 3}$
	↓	Schreibe die Potenzen mit negativen Exponenten als Brüche um.
	$=$	$\frac{2}{z^{2}} - \frac{2}{z^{3}}$
	↓	Klammere den gemeinsamen Faktor $\frac{2}{z^{2}}$ aus.
	$=$	$\frac{2}{z^{2}} \cdot (1 - \frac{1}{z})$

$f (x)$	$=$	$\frac{6 x^{2} - 3 x + 9}{3}$
	↓	Klammere im Zähler den Faktor 3 aus.
	$=$	$\frac{3 \cdot (2 x^{2} - x + 3)}{3}$
	↓	Kürze mit 3.
	$=$	$2 x^{2} - x + 3$

$h (x)$	$=$	$\frac{2 x + 3 x^{2}}{5 π - 1}$
	↓	Ziehe $\frac{1}{5 π - 1}$ vor den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{5 π - 1} \cdot (2 x + 3 x^{2})$

$k (s)$	$=$	$\frac{6 s^{3} + 4}{2 \sqrt{2}}$
	↓	Klammere im Zähler den Faktor 2 aus.
	$=$	$\frac{2 \cdot (3 s^{2} + 2)}{2 \sqrt{2}}$
	↓	Kürze mit 2.
	$=$	$\frac{(3 s^{3} + 2)}{\sqrt{2}}$
	↓	Ziehe $\frac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (3 s^{3} + 2)$

Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Umformung des Funktionsterms

Ableiten der Funktion

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