Mathe Funktionen Ableitung von Funktionen Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Bestimme die erste Ableitung von $f (x) = 4 e^{2 x} \cdot e^{x^{2}}$ indem...

... du zuerst die Potenzgesetze anwendest und dann ableitest.
...du die Produktregel verwendest.

Erst Potenzgesetze, dann Ableiten

Hat ein Produkt aus Potenzen die gleiche Basis, so addiert man die Exponenten:

$f (x) = 4 e^{2 x} \cdot e^{x^{2}} = 4 e^{2 x + x^{2}}$

Jetzt braucht man nur die Kettenregel, da die Zahl 4 nur eine Konstante ist und im Exponenten nur eine Summe ist. Dabei ist $4 e^{x}$ die äußere Funktion und $2 x + x^{2}$ die innere:

$f^{'} (x) = (2 + 2 x) \cdot 4 e^{2 x + x^{2}} = (8 + 8 x) e^{2 x + x^{2}}$

Ableiten mit der Produktregel

Da sowohl im Faktor $e^{2 x}$ als auch im Faktor $e^{x^{2}}$ ein x vorkommt, braucht es neben der Kettenregel auch die Produktregel:

$f^{'} (x) = 2 \cdot 4 e^{2 x} \cdot e^{x^{2}} + 4 e^{2 x} \cdot 2 x \cdot e^{x^{2}}$

Vereinfache den Term, um zu zeigen, dass er mit der anderen Ableitung übereinstimmt:

$f^{'} (x) = 2 \cdot 4 e^{2 x} \cdot e^{x^{2}} + 4 e^{2 x} \cdot 2 x \cdot e^{x^{2}} = 8 e^{2 x} \cdot e^{x^{2}} + 8 x e^{2 x} \cdot e^{x^{2}} = e^{2 x} \cdot e^{x^{2}} \cdot (8 + 8 x)$

Für den ersten Weg benötigst du die Potenzgesetze, um zwei Potenzen mit gleicher Basis zu multiplizieren. Danach brauchst du dann nur noch die Kettenregel (da 4 eine Konstante ist).

Für den zweiten Weg musst du sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel verwenden. Vergiss nicht das Nachdifferenzieren bei beiden e-Funktionen!

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