Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.

$g (z) = \frac{(z + 3)^{2} - 6 z - 9}{3 z^{3}}$

$h (s) = \frac{(s + 1)^{2} - s^{2}}{(2 s + 1)^{2}}$

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$g ´ (z)$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (- 1) \cdot z^{- 2}$
	↓	Multipliziere die Faktoren vor dem $z^{- 2}$
	$=$	$- \frac{1}{3} \cdot z^{- 2}$
	↓	Nun kannst du das $z$ wieder in den Nenner schreiben.
	$=$	$- \frac{1}{3 z^{2}}$

$h (s)$	$=$	$\frac{{(s + 1)}^{2} - s^{2}}{{(2 s + 1)}^{2}}$
	↓	Multipliziere die Klammer im Zähler aus. Verwende dazu die 1. binomische Formel.
	$=$	$\frac{s^{2} + 2 s + 1 - s^{2}}{{(2 s + 1)}^{2}}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
	$=$	$\frac{2 s + 1}{{(2 s + 1)}^{2}}$
	↓	Kürze mit $(2 s + 1)$ .
	$=$	$\frac{1}{2 s + 1}$
	↓	Wende das Potenzgesetz für negative Exponenten an.
	$=$	${(2 s + 1)}^{- 1}$

$f (x)$	$=$	$\frac{(x + 1) \cdot (x - 1) + 1}{x^{3}}$
	↓	Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\frac{x^{2} - 1 + 1}{x^{3}}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{x^{2}}{x^{3}}$
	↓	Kürze den Bruch mit $x^{2}$ .
	$=$	$\frac{1}{x}$

$g (z)$	$=$	$\frac{{(z + 3)}^{2} - 6 z - 9}{3 z^{3}}$
	↓	Wende die 1. binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\frac{z^{2} + 6 z + 9 - 6 z - 9}{3 z^{3}}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{z^{2}}{3 z^{3}}$
	↓	Kürze den Faktor $z^{2}$ .
	$=$	$\frac{1}{3 z}$
	↓	Bringe das $z$ aus dem Nenner durch Anwendung der Potenzgesetze zu negativen Exponenten hinter den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot z^{- 1}$

$k (t)$	$=$	$\frac{(t + 2) \cdot (t - 2)}{(t^{2} - 4)^{3}}$
	↓	Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\frac{t^{2} - 4}{(t^{2} - 4)^{3}}$
	↓	Vereinfache den Bruch durch Kürzen.
	$=$	$\frac{1}{(t^{2} - 4)^{2}}$