Summenregel

Die Summenregel besagt, dass die Ableitung der Summe differenzierbarer Funktionen gleich der Summe ihrer Ableitungen ist.

SatzSummenregel

Wenn $u$ und $v$ solche differenzierbaren Funktionen sind, berechnet sich also die Ableitung ihrer Summe aus:

(u (x) + v (x))^{'} = u^{'} (x) + v^{'} (x)

Beispiele

1) Bestimme die Ableitung der Funktion $f (x) = 3 x + 7$ .

Leite dazu die einzelnen Summanden $3 x$ und $7$ ab

\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & (3 x + 7)^{'} \\ = & {(3 x)}^{'} + {(7)}^{'} \\ = & 3 + 0 \\ = & 3 \end{array}

2) Bestimme die Ableitung der Funktion $f$ mithilfe der Summenregel:

\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 x^{3} + 4 x^{4} - 13 \\ = & 2 x^{3} + 4 x^{4} + (- 13) \end{array}

Bei der Summenregel ist darauf zu achten, dass alle Summanden einzeln abgeleitet werden. Diese Summanden sind durch ein + verbunden. Du musst also $2 x^{3}$ und $4 x^{3}$ und $- 13$ einzeln ableiten.

Für eine Potenzfunktion $g (x) = x^{n}$ berechnet sich die Ableitung mit

g ´ (x) = n \cdot x^{n - 1}

Die Ableitung von Konstanten wie $- 13$ ist Null.

Berechne die Ableitung der Summanden:

\begin{array}{rcllll} f (x) & = & 2 x^{3} & + & 4 x^{4} & + & (- 13) \\ f^{'} (x) & = & (2 x^{3})^{'} & + & (4 x^{4})^{'} & + & (- 13)^{'} \\ = & 3 \cdot 2 x^{3 - 1} & + & 4 \cdot 4 x^{4 - 1} & + & 0 \\ = & 6 x^{2} & + & 16 x^{3} \end{array}

Somit ergibt die Ableitung dieser Funktion:

f ´ (x) = 6 x^{2} + 16 x^{3}

3) Bestimme die Ableitung von $f (x) = x + e^{x}$

$f^{'} (x)$	$=$	${(x + e^{x})}^{'}$
	↓	Summenregel
	$=$	$(x)^{'} + (e^{x})^{'}$
	$=$	$1 + e^{x}$

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