Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Umformung

Welche der drei Umformungen der Funktion $f(x)=\frac{ln(x)-2x}{70}$ sind richtig? Schauen wir sie uns einmal genauer an:

Da im Nenner von $f$ kein $x$ vorkommt, können wir die $70$ als Kehrwert vor den Zähler schreiben:

Wichtig: Vergiss die Klammer nicht, da im Zähler des Bruchs nicht nur eine Zahl, sondern der Term $ln(x)-2x$ steht. So erhältst du:

Wenn du die Klammer ausmultiplizierst, erhältst du:

Damit sind die beiden Umformungen richtig:

• $f(x)=\frac{1}{70}\cdot [ln(x)-2x]$

• $f(x)=\frac{1}{70}\cdot ln(x)-\frac{1}{70}\cdot 2x$

Die andere Umformung $f(x)=\frac{1}{70}\cdot ln(x)-2x$ ist aber falsch. Hier fehlt die Klammer!

Ableitung

Für die Ableitung kannst du einer der richtigen Umformungen verwenden:

Variante 1

$f(x)=\frac{1}{70}\cdot ln(x)-\frac{1}{70}\cdot 2x$

Bei einer Differenz kannst du jeden Teil einzeln ableiten (siehe im Artikel Ableitung berechnen unter Summenregel). Damit ist die Ableitung

wobei verwendet wurde, dass ${\left(\log \left(x\right)\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$.

Variante 2

$f(x)=\frac{1}{70}\cdot [ln(x)-2x]$

Du kannst die Differenz direkt ableiten und den Vorfaktor $\frac{1}{70}$ mitnehmen (siehe im Artikel Ableitung berechnen unter Summenregel). Damit ist die Ableitung $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{70}\cdot [\frac{1}{x}-2]$ wobei wieder verwendet wurde, dass ${\left(\log \left(x\right)\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$.