Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Umformung

Wenn du den Funktionsterm umformst, wendest du das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an. Dabei musst du den Nenner im Ganzen betrachten und deshalb Klammern um den gesamten Nenner setzen. Die richtige Lösung ist somit $f(x)=[\sin (x)+\cos (x){]}^{-1}$.

Die Antwortmöglichkeit $f(x)=\sin (x^{-1})+\cos (x^{-1})$ ist falsch, weil nur das $x$ als Potenz geschrieben wurde. Man könnte den Term umformen zu $\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)+\cos \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$. Das ist aber nicht das gleiche wie ${\displaystyle \frac{1}{\sin (x)+\cos (x)}}$.

Die Antwortmöglichkeit $f(x)=\sin (x{)}^{-1}+\cos (x{)}^{-1}$ ist ebenfalls falsch, weil nur $\sin (x)$ und $\cos (x)$ als Potenz geschrieben wurden. Man könnte den Term umformen zu ${\displaystyle \frac{1}{\sin (x)}}+{\displaystyle \frac{1}{\cos (x)}}$. Das ist aber nicht das gleiche wie ${\displaystyle \frac{1}{\sin (x)+\cos (x)}}$.

Ableitung

Leite den vereinfachten Term mit Potenz- und Kettenregel ab.

$f(x)=[\sin (x)+\cos (x){]}^{-1}$

Bei der Kettenregel wird die äußere Funktion, hier $u\left(z\right)=z^{-1}$ abgeleitet und die innere Funktion $v\left(x\right)=\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)$ eingesetzt und anschließend die innere Ableitung $v^{\prime }\left(x\right)=\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)$ angehängt. Insgesamt ergibt sich: