Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Leite die Funktion zunächst mit der Produkt- und Kettenregel ab und dann mit der Quotientenregel.

$f (x) = \frac{2 x^{3} - 5}{3 x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

Bilde die Ableitung mit der Produktregel und der Kettenregel.

$f (x) = \frac{2 x^{3} - 5}{3 x} = \frac{u (x)}{v (x)}$

$f (x)$	$=$	$\frac{2 x^{2} - 5}{3 x}$
	↓	Ursprungsfunktion
$u (x)$	$=$	$2 x^{3} - 5$
	↓	Zähler der Ursprungsfunktion:
$u ´ (x)$	$=$	$6 x^{2}$
	↓	Ableitung des Zählers
$v (x)$	$=$	$3 x$
	↓	Nenner der Ursprungsfunktion
$v ´ (x)$	$=$	$3$
	↓	Ableitung des Nenners

$f (x) = \frac{u (x)}{v (x)} = \frac{2 x^{3} - 5}{3 x}$

$f (x)$	$=$	$(2 x^{3} - 5) \cdot (3 x)^{- 1}$
	↓	Bilde nun mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel die Ableitung von $f (x)$ .
$f ´ (x)$	$=$	$u^{'} (x) \cdot (v (x))^{- 1} + u (x) \cdot (- 1) \cdot (v (x))^{- 2} \cdot v^{'} (x)$
	↓	Setze ein
	$=$	$6 x^{2} \cdot (3 x)^{- 1} + (2 x^{3} - 5) \cdot (- 1) \cdot (3 x)^{- 2} \cdot 3$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
	$=$	$\frac{6 x^{2}}{3 x} + \frac{(2 x^{3} - 5) \cdot (- 1) \cdot 3}{(3 x)^{2}}$
	$=$	$\frac{6 x^{2}}{3 x} + \frac{(2 x^{3} - 5) \cdot (- 1) \cdot 3}{3 \cdot 3 x^{2}}$
	↓	Kürze den 2. Bruch mit dem Faktor 3.
	$=$	$\frac{6 x^{2}}{3 x} + \frac{(2 x^{3} - 5) \cdot (- 1)}{3 x^{2}}$
	↓	Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
	$=$	$\frac{6 x^{3} + (2 x^{3} - 5) \cdot (- 1)}{3 x^{2}}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{4 x^{3} + 5}{3 x^{2}}$

Die Ableitung von $f (x)$ ist $f^{'} (x) = \frac{4 x^{3} + 5}{3 x^{2}}$ .

Bilde die Ableitung mit der Quotientenregel.

$f (x) = \frac{2 x^{3} - 5}{3 x} = \frac{u (x)}{v (x)}$

$f (x)$	$=$	$\frac{2 x^{2} - 5}{3 x}$
	↓	Ursprungsfunktion
$u (x)$	$=$	$2 x^{3} - 5$
	↓	Zähler der Ursprungsfunktion
$u ´ (x)$	$=$	$6 x^{2}$
	↓	Ableitung des Zählers
$v (x)$	$=$	$3 x$
	↓	Nenner der Ursprungsfunktion
$v ´ (x)$	$=$	$3$
	↓	Ableitung des Nenners

Bilde nun die Ableitung von $f (x)$ , indem du deine Ergebnisse in die Quotientenregel einsetzt.

$f ´ (x)$	$=$	$\frac{v (x) \cdot u^{'} (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{(v (x))^{2}}$
	↓	Setze ein
	$=$	$\frac{3 x \cdot 6 x^{2} - (2 x^{3} - 5) \cdot 3}{(3 x)^{2}}$
	↓	Verrechne die Faktoren $3 x$ und $6 x^{2}$
	$=$	$\frac{18 x^{3} - (2 x^{3} - 5) \cdot 3}{(3 x)^{2}}$
	↓	Multipliziere die $3$ in die Klammer
	$=$	$\frac{18 x^{3} - (6 x^{3} + 15)}{(3 x)^{2}}$
	↓	Löse die Klammern auf
	$=$	$\frac{18 x^{3} - 6 x^{3} + 15}{9 x^{2}}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen
	$=$	$\frac{12 x^{3} + 15}{9 x^{2}}$
	↓	Klammere den Faktor $3$ im Zähler und im Nenner aus
	$=$	$\frac{3 \cdot (4 x^{3} + 5)}{3 \cdot 3 \cdot x^{2}}$
	↓	Kürze mit den Bruch mit $3$
	$=$	$\frac{4 x^{3} + 5}{3 x^{2}}$

Die Ableitung von $f (x)$ ist $f^{'} (x) = \frac{4 x^{3} + 5}{3 x^{2}}$ .

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