Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen

Mit diesen gemischten Übungsaufgaben lernst du das Bestimmen von Flächeninhalten mit Integralen. Schaffst du sie alle?

Sei die Funktion $f : x \mapsto (x + 1)^{3} - 1$ gegeben. Bestimme die Fläche, die von $f$ und ihrer Umkehrfunktion $f^{- 1}$ eingeschlossen wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion

Lösung 1

Bestimme jetzt die Umkehrfunktion

Bei der Bestimmung der Umkehrfunktion von $f$ wirst du die Umkehrung der dritten Potenz brauchen. Daher gibt es schon mal eine Berechnung dazu.

Damit kennst du die Umkehrung der dritten Potenz: ist $f (x) = x^{3}$ , so ist

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} = x^{1 / 3}$ für $x \geq 0$ und

$f^{- 1} (x) = - \sqrt[3]{- x} = - (- x)^{1 / 3}$ für $x < 0$ .

Berechnung der Umkehrfunktion von $f$

Unterscheide die Fälle $x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 1$ und $x < - 1$ .

Für $x \geq - 1$ hast du

$y$	$=$	${(x + 1)}^{3} - 1$	$+ 1$
$y + 1$	$=$	${(x + 1)}^{3}$	$\sqrt[3]{}$
$\sqrt[3]{y + 1}$	$=$	$x + 1$	$- 1$
$\sqrt[3]{y + 1} - 1$	$=$	$x$
$f^{- 1} (x)$	$=$	$\sqrt[3]{x + 1} - 1$
	$=$	$(x + 1)^{1 / 3} - 1$

Für $x < - 1$ ist entsprechend

$y$	$=$	${(x + 1)}^{3} - 1$	$+ 1$
$y + 1$	$=$	${(x + 1)}^{3}$
	↓	Umkehren wie oben
$- \sqrt[3]{- (y + 1)}$	$=$	$x + 1$	$- 1$
$- \sqrt[3]{- (y + 1)} - 1$	$=$	$x$
$f^{- 1} (x)$	$=$	$- \sqrt[3]{- (x + 1)} - 1$
	$=$	$- (- (x + 1))^{1 / 3} - 1$

Flächenberechnung

Bestimme die Schnittpunkte. Weil ${(\sqrt[3]{x + 1})}^{3} = {(- \sqrt[3]{- (x + 1)})}^{3} = x + 1$ ist, reicht eine Rechnung ab der dritten Zeile:

${(x + 1)}^{3} - 1$	$=$	$\sqrt[3]{x + 1} - 1$	$+ 1$
${(x + 1)}^{3}$	$=$	$\sqrt[3]{x + 1}$	$^{3}$
	↓	Sei $x \neq - 1$ .
${(x + 1)}^{9}$	$=$	$x + 1$	$: (x + 1)$
${(x + 1)}^{8}$	$=$	$1$	$\sqrt[8]{}$
$x + 1$	$=$	$\pm 1$	$- 1$
$x_{1}$	$=$	$0$
$x_{2}$	$=$	$- 2$
	↓	Betrachte den Fall $x = - 1$ .
${(- 1 + 1)}^{3} - 1$	$=$	$\sqrt[3]{- 1 + 1} - 1$
$x_{3}$	$=$	$- 1$

Berechne jetzt die Fläche $A$ zwischen den Graphen von Schnittpunkt zu Schnittpunkt zunächst für $x \geq - 1$ . Für $- 1 \leq x \leq 0$ ist $f (x) \leq f^{- 1} (x)$ .

$A_{1}$	$=$	$\int_{- 1}^{0} \| f (x) - f^{- 1} (x) \| d x$
	$=$	$\int_{- 1}^{0} (\sqrt[3]{x + 1} - 1 - {(x + 1)}^{3} + 1) d x$
	$=$	$\int_{- 1}^{0} ((x + 1)^{1 / 3} - {(x + 1)}^{3}) d x$
	$=$	${[\frac{1}{1 + \frac{1}{3}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} + 1} - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4}]}_{- 1}^{0}$
	$=$	$\frac{3}{4} {(0 + 1)}^{4 / 3} - \frac{1}{4} {(0 + 1)}^{4} - \frac{3}{4} {(- 1 + 1)}^{4 / 3} + \frac{1}{4} {(- 1 + 1)}^{4}$
	$=$	$\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
	$=$	$\frac{1}{2}$

Im Bereich $- 2 \leq x \leq - 1$ ist $f^{- 1} (x) \leq f (x)$ . Wie du sofort durch Ableiten bestätigst, ist $\frac{3}{4} (- (x - 1))^{4 / 3}$ eine Stammfunktion zu $f^{- 1} (x) .$

$A_{2}$	$=$	$\int_{- 2}^{- 1} \| f (x) - f^{- 1} (x) \| d x$
	$=$	$\int_{- 2}^{- 1} {(x + 1)}^{3} - 1 - (- \sqrt[3]{- (x + 1)} - 1) d x$
	$=$	$\int_{- 2}^{- 1} ((x + 1)^{3} + {(- (x + 1))}^{1 / 3}) d x$
	$=$	${[\frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} - \frac{3}{4} {(- (x + 1))}^{4 / 3}]}_{- 2}^{- 1}$
	$=$	$\frac{1}{4} {(- 1 + 1)}^{4} - \frac{3}{4} {(- 1 + 1)}^{4 / 3} - \frac{1}{4} {(- 2 + 1)}^{4} + \frac{3}{4} {(- 2 + 1)}^{4 / 3}$
	$=$	$- \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$
	$=$	$\frac{1}{2}$

Die Gesamtfläche $A$ ist also $A = A_{1} + A_{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

In der Skizze erkennt man den Verlauf der Graphen von $f$ und $f^{- 1}$ .

Lösung 2

Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion gehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden auseinander hervor. Daher müssen ihre Schnittpunkte auf der Winkelhalbierenden $y = x$ liegen und können durch den Schnitt des Graphen von $f$ mit der Geraden $y = x$ berechnet werden. Da die Graphen von $f$ und $f^{- 1}$ die Winkelhalbierende als Symmetrieachse besitzen, ist die Fläche zwischen Ihnen genau doppelt so groß wie die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der Winkelhalbierenden.

Berechnung der Schnittpunkte

$f (x)$	$=$	$x$
	↓	Ausmultiplizieren
$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 - 1$	$=$	$x$	$- x$
	↓	Ordnen
$x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$	$=$	$0$
	↓	x ausklammern
$x (x^{2} + 3 x + 2)$	$=$	$0$
	↓	p-q-Formel oder raten
$x (x + 1) (x + 2)$	$=$	$0$

Die Schnittpunkte sind also $(- 2; - 2)$ , $(- 1; - 1)$ und $(0; 0)$ .

Flächenberechnung

Die Berechnung der Fläche wird wieder in zwei Schritten vorgenommen.

	$A_{1}$
	↓ wegen der Symmetrie wird das Integral verdoppelt
$=$	$2 \| \int_{- 2}^{- 1} ((x + 1)^{3} - 1 - x) d x \|$
$=$	$2 \| {[\frac{1}{4} (x + 1)^{4} - x - \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 2}^{- 1} \|$
$=$	$2 \| \frac{1}{4} (- 1 + 1)^{4} - (- 1) - \frac{1}{2} (- 1)^{2} - \frac{1}{4} (- 2 + 1)^{4} + (- 2) + \frac{1}{2} (- 2)^{2} \|$
$=$	$2 \| 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - 2 + 2 \|$
$=$	$2 \cdot \frac{1}{4}$
$=$	$\frac{1}{2}$

	$A_{2}$
	↓ wie oben
$=$	$2 \| \int_{- 1}^{0} ((x + 1)^{3} - 1 - x) d x \|$
$=$	$2 \| {[\frac{1}{4} (x + 1)^{4} - x - \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 1}^{0} \|$
$=$	$2 \| \frac{1}{4} (0 + 1)^{4} - 0 - \frac{1}{2} 0^{2} - \frac{1}{4} (- 1 + 1)^{4} - 1 + \frac{1}{2} (- 1)^{2} \|$
$=$	$2 \| \frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{2} \|$
$=$	$2 \| - \frac{1}{4} \|$
$=$	$\frac{1}{2}$

Die Gesamtfläche ist wieder $A = A_{1} + A_{2} = 1$ .

Lösung 3

Die Funktion $f$ geht aus $g (x) = x^{3}$ dadurch hervor, dass der Graph um je eine Einheit in $x$ - und $y$ -Richtung verschoben wird. Dieselbe Verschiebung ändert die Winkelhalbierende nicht. Daher ist die Fläche $A$ genauso groß wie die zwischen dem Graphen von $g$ und Ihrer Umkehrfunktion.

Dieselbe Überlegung wie bei Lösung 2 zeigt, dass die Fläche $A$ doppelt so groß ist wie die Fläche zwischen dem Graphen von $g$ und der Winkelhalbierenden.

$g$ ist außerdem punktsymmetrisch zum Ursprung, daher ist die Gesamtfläche viermal so groß wie die Fläche zwischen $g$ und $y = x$ im ersten Quadranten.

Die Schnittpunkte sind $(0; 0)$ und $(1; 1) .$

Der Flächeninhalt unter der Winkelhalbierenden ist $\frac{1}{2}$ .

Der Flächeninhalt unter dem Graphen von $g$ ist $\int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{4} x^{4} |_{0}^{1} = \frac{1}{4}$ .

Die Fläche dazwischen hat den Inhalt $\frac{1}{4}$ , und weil das ein Viertel der Gesamtfläche ist, ist $A = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$ .

2
raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen.

Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt $H O P = (0 | 1)$ und dem Tiefpunkt $T I P = (2 | - 3)$ .
Bestimme die jeweiligen Funktionsterme und die Schnittpunkte der Graphen.

Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?
Berechne nun A.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgabe
Funktionsterme bestimmen
Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades $f (x)$ mit dem Hochpunkt $HP (0 | 1)$ (hier ist $f^{'} (x) = 0$ ) und dem Tiefpunkt $TP (2 | - 3)$ (hier ist $f^{'} (x) = 0$ ). Trage diese Informationen in eine Tabelle ein.
x
f(x)
f'(x)
(I)
0
1
(II)
0
0
(III)
2
-3
(IV)
2
0
Die allgemeine Funktion $3.$ Grades lautet:
$f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ und die erste Ableitung ist dann:
$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$
Nach der Tabelle ergibt die Gleichung $(I)$ :
$1 = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 + d \Rightarrow d = 1$
Gleichung $(I I)$ ergibt: $0 = 3 a \cdot 0 + 2 b \cdot 0 + c \Rightarrow c = 0$
Gleichung $(I I I)$ ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:
$- 3 = a \cdot 2^{3} + b \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2 + 1$ $\Rightarrow - 3 = 8 a + 4 b + 1 \Rightarrow - 4 = 8 a + 4 b$ $\Rightarrow - 1 = 2 a + b \Rightarrow b = - 1 - 2 a$
Gleichung $(I V)$ ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:
$0 = 3 a \cdot 2^{2} + 2 b \cdot 2 + 0 \Rightarrow 0 = 12 a + 4 b \Rightarrow 0 = 3 a + b$
Das Ergebnis aus Gleichung $(I I I)$ $b = - 1 - 2 a$ in $(I V)$ $0 = 3 a + b$ eingesetzt ergibt:
$0 = 3 a + (- 1 - 2 a) = 3 a - 1 - 2 a = a - 1 \Rightarrow a = 1$
Mit $a = 1$ folgt in $(I I I) :$ $b = - 1 - 2 \cdot 1 = - 3$
Antwort: Die Funktion $3.$ Grades lautet: $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$
Zum "blauen Graphen" gehört eine lineare Funktion $g (x)$ . Aus der Abbildung kannst du die Steigung $m = 1$ und den $y$ -Achsenabschnitt $t = - 2$ ablesen: $\Rightarrow g (x) = x - 2$
Antwort: Die Gleichung der linearen Funktion lautet: $g (x) = x - 2$
Bestimmung der Schnittpunkte der beiden Graphen
"Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen". Deshalb können die Schnittpunkte aus der Abbildung abgelesen werden.
Antwort: Die Schnittpunkte haben folgende Koordinaten: $S_{1} (- 1 | - 3); S_{2} (1 | - 1); S_{3} (3 | 1)$
Wie kannst du den gesamten Inhalt $A$ der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?
Flächeninhalt:
$A = A_{1} + A_{2} = \int_{- 1}^{1} (f (x) - g (x)) d x + \int_{1}^{3} (g (x) - f (x)) d x$
Berechnung von $A$ :
$f (x) - g (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1 - (x - 2) = x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$
$g (x) - f (x) = - (f (x) - g (x)) = - (x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) = - x^{3} + 3 x^{2} + x - 3$
$A_{1} = \int_{- 1}^{1} (x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) d x = {[\frac{1}{4} \cdot x^{4} - x^{3} - \frac{1}{2} \cdot x^{2} + 3 x]}_{- 1}^{1}$
$= (\frac{1}{4} - 1 - \frac{1}{2} + 3) - (\frac{1}{4} - (- 1) - \frac{1}{2} + 3 \cdot (- 1)) = 1,75 - (- 2,25) = 4$
$A_{2} = \int_{1}^{3} (- x^{3} + 3 x^{2} + x - 3) d x = {[- \frac{1}{4} \cdot x^{4} + x^{3} + \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 3 x]}_{1}^{3}$
$= (- \frac{1}{4} \cdot 3^{4} + 3^{3} + \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3) - (- \frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3) = 2,25 - (- 1,75) = 4$
$A_{g e s a m t} = A_{1} + A_{2} = 4 + 4 = 8$
Antwort: Der von den beiden Graphen eingeschlossene Flächeninhalt beträgt $8 FE$ .
3
raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Die Parabel mit dem Scheitel $S = (- 2 | - 3)$ und der Graph der Funktion f mit $f (x) = 1 + 0,5 \cdot x^{3}$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

Bestimme den zur Parabel gehörenden Funktionsterm und alle Schnittpunkte.
Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben? Berechne nun A.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechnung des zur Parabel gehörenden Funktionsterms
Gegeben ist der Scheitel $S (- 2 | - 3)$ der Parabel. Benutze die Scheitelpunktsform.
$g (x) = a \cdot (x + 2)^{2} - 3$
Setze den aus der Abbildung abgelesenen Schnittpunkt mit der y-Achse $S_{y} (0 | - 1)$ ein.
$g (0) = - 1$
$\Rightarrow g (0) = a \cdot (0 + 2)^{2} - 3 = 4 a - 3 = - 1 \Rightarrow 4 a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$
$g (x) = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)^{2} - 3 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x + 4) - 3 = \frac{1}{2} \cdot x^{2} + 2 x - 1$
Antwort: Die Parabel hat die Funktionsgleichung $g (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{2} + 2 x - 1$
Berechnung aller Schnittpunkte
Setze $f (x) = g (x)$ .
$1 + \frac{1}{2} \cdot x^{3}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot x^{2} + 2 x - 1$ $- \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 2 x + 1$
↓
Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\frac{1}{2} \cdot x^{3} - \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 2 x + 2$ $=$ $0$ $\cdot 2$
$x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ $=$ $0$
Du hast eine Gleichung $3.$ Grades erhalten. Die Lösung erfolgt durch Polynomdivision.
Eine Lösung ist leicht zu finden (probieren):
Setze $x = 1$ in die Gleichung ein $\Rightarrow 1^{3} - 1^{2} - 4 \cdot 1 + 4 = 0 ✓$
Teile nun $(x^{3} - x^{2} - 4 x + 4)$ durch den Linearfaktor $(x - 1)$ :
$\begin{array}{l} (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) : (x - 1) = x^{2} - 4 \\ - (x^{3} - x^{2}) \\ 0 + 0 - 4 x + 4 \\ - (- 4 x + 4) \\ 0 + 0 \end{array}$
Die verbleibende Gleichung $x^{2} - 4 = 0$ hat die beiden Lösungen $x_{2,3} = \pm 2$ .
Berechne die Funktionswerte:
$f (1) = 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{3} = 1,5$
$f (- 2) = - 3$ (siehe gegebenen Scheitelpunkt)
$f (2) = 1 + \frac{1}{2} \cdot 2^{3} = 5$
Antwort: Die drei Schnittpunktskoordinaten lauten: $S_{1} (1 | 1,5); S_{2} (- 2 | - 3); S_{3} (2 | 5)$
Wie kannst du $A$ als bestimmtes Integral schreiben?
Da drei Schnittpunkte existieren, gibt es zwei Flächen, die die beiden Graphen einschließen. (In der obigen Abbildung ist die zweite Fläche nicht sehr deutlich erkennbar.)
$A = A_{1} + A_{2} = \int_{- 2}^{1} (f (x) - g (x)) d x + \int_{1}^{2} (g (x) - f (x)) d x$
Berechnung von $A_{1}$
Die $2.$ Zeile bei der Schnittpunktsberechnung ergibt:
$f (x) - g (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{3} - \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 2 x + 2$
$A_{1} = \int_{- 2}^{1} (f (x) - g (x)) d x$
Setze $f (x) - g (x)$ ein:
$A = \int_{- 2}^{1} (\frac{1}{2} \cdot x^{3} - \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 2 x + 2) d x = {[\frac{1}{8} \cdot x^{4} - \frac{1}{6} \cdot x^{3} - x^{2} + 2 x]}_{- 2}^{1}$
$= (\frac{1}{8} - \frac{1}{6} - 1 + 2) - (\frac{1}{8} \cdot (- 2)^{4} - \frac{1}{6} \cdot (- 2)^{3} - (- 2)^{2} + 2 \cdot (- 2))$
$= (- \frac{1}{24} + 1) - (2 + \frac{8}{6} - 4 - 4) = - \frac{1}{24} + 1 - 2 - \frac{8}{6} + 8 = - \frac{8}{6} - \frac{1}{24} + 7 = 7 - \frac{33}{24} = \frac{45}{8}$
Berechnung von $A_{2}$
$A_{2} = \int_{1}^{2} (g (x) - f (x)) d x$
$g (x) - f (x) = - (f (x) - g (x) = - (\frac{1}{2} \cdot x^{3} - \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 2 x + 2) = - \frac{1}{2} \cdot x^{3} + \frac{1}{2} \cdot x^{2} + 2 x - 2$
Setze $g (x) - f (x)$ ein:
$A_{2} = \int_{1}^{2} (- \frac{1}{2} \cdot x^{3} + \frac{1}{2} \cdot x^{2} + 2 x - 2) d x = {[- \frac{1}{8} \cdot x^{4} + \frac{1}{6} \cdot x^{3} + x^{2} - 2 x]}_{1}^{2}$
$= (- 2 + \frac{8}{6} + 4 - 4) - (- \frac{1}{8} + \frac{1}{6} + 1 - 2)$
$= (- 2 + \frac{8}{6}) - (- \frac{1}{8} + \frac{1}{6} - 1) = - 2 + \frac{8}{6} + \frac{1}{8} - \frac{1}{6} + 1 = - 1 + \frac{7}{6} + \frac{1}{8} = \frac{- 24 + 28 + 3}{24} = \frac{7}{24}$
$A = A_{1} + A_{2} = \frac{45}{8} + \frac{7}{24} = \frac{71}{12} \approx 5,92$
Antwort: Die beiden Graphen schließen eine Fläche mit dem Inhalt $A = \frac{71}{12} \approx 5,92 FE$ ein.
Zur Veranschaulichung eine Abbildung, in der die beiden Flächen deutlich erkennbar sind.

	x	f(x)	f'(x)
(I)	0	1
(II)	0		0
(III)	2	-3
(IV)	2		0

Gerade g und Parabel f im Koordinatensystem

Die abgebildete Parabel $f$ und Gerade $g$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt $A$ ein.

Schraffiere diese Fläche.

Bestimme die Funktionsterme von $f$ und $g$ und die beiden Schnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ der Graphen.

Gib $A$ als bestimmtes Integral an und berechne dann $A$ .

Graphen von f und g im Koordinatensystem

Die Graphen der Funktionen $f (x) = 2 - x^{2}$ und $g (x) = 0,5 x^{2} + 0,5$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

Schraffiere diese Fläche und berechne A.

6
raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Das Bild zeigt die Graphen der beiden Funktionen $f (x) = 0,5 x^{2} + 2$ und $g (x) = - 0,5 x + 1$ .
Man erkennt: $f (x) > g (x)$ für alle $x \in ℝ$ .
Berechne den Inhalt A der Fläche zwischen den beiden Graphen und den Grenzen $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 1,5$ .
Zeichne diese Fläche ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Um diese Aufgabe zu lösen, muss die Differenzfunktion $f (x) - g (x)$ gebildet werden. Für diese erhalten wir:
$f (x) - g (x) = 0,5 x^{2} + 2 - (- 0,5 x + 1)$
$= 0,5 x^{2} + 2 + 0,5 x - 1 = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 1$ .
Die Fläche zwischen der $x -$ Achse und dieser Funktion gibt uns den Flächeninhalt für die Fläche zwischen den beiden gegebenen Funktionen. Dadurch wird auch deutlich, dass die untere von der oberen Funktion subtrahiert werden muss. Würde man die obere von der unteren Funktion subtrahieren, so würden wir ein negatives Ergebnis für die Fläche erhalten, was offensichtlich nicht sein kann.
Da die Differenzfunktion im Intervall $[- 1; 1,5]$ keine Nullstellen besitzt, kann sofort das Integral von $- 1$ bis $1,5$ berechnet werden.
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1,5} (\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 1) d x \\ = & {[\frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} + x]}_{- 1}^{3 / 2} \\ = & (\frac{1}{6} \cdot \frac{27}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} + \frac{3}{2}) - (\frac{1}{6} (- 1) + \frac{1}{4} \cdot 1 - 1) \\ = & \frac{9}{16} + \frac{9}{16} + \frac{3}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{4} + 1 \\ = & \frac{27 + 27 + 72 + 8 - 12 + 48}{48} \\ = & \frac{170}{48} \\ = & \frac{85}{24} \end{aligned}$
7
$f (x) = \frac{1}{9} x^{4} - \frac{8}{9} x^{3} + 2 x^{2}, D_{f} = ℝ$
Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das $G_{f}$ und die x-Achse einschließen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: uneigentliches Integral
Nullstellen berechnen
Berechne zunächst die Nullstellen der Funktion $f (x) = \frac{1}{9} x^{4} - \frac{8}{9} x^{3} + 2 x^{2}$ .
$0$ $=$ $f (x)$
$0$ $=$ $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{8}{9} x^{3} + 2 x^{2}$
↓
$x^{2}$ ausklammern.
$0$ $=$ $x^{2} \cdot (\frac{1}{9} x^{2} - \frac{8}{9} x^{1} + 2)$
Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei $x = 0$ .
Im Weiteren wird nur das Innere der Klammer betrachtet.
$0 = \frac{1}{9} x^{2} - \frac{8}{9} x^{1} + 2$
Um zu testen, ob weitere Nullstellen existieren, bestimmst du z.B. die Diskriminante. Wenn die Diskriminate negativ ist, gibt es keine weiteren Nullstellen.
$D$ $=$ ${(- \frac{8}{9})}^{2} - 4 \cdot \frac{1}{9} \cdot 2$
↓
Ausmultiplizieren
$=$ $\frac{64}{81} - \frac{8}{9}$
↓
Brüche subtrahieren.
$=$ $- \frac{8}{81}$
$\Rightarrow$ Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine weiteren Nullstellen
$\Rightarrow$ Da es nur eine (doppelte) Nullstelle gibt, die Funktionswerte nicht-negativ sind und die Funktion $\lim_{x \to + \infty}$ gegen + $\infty$ strebt, ist das Integral $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x$ und somit die Fläche zwischen Graph und x-Achse unendlich groß.
zusätzlicher Graph der Funktion
Die blaue Fläche zeigt, dass der Flächeninhalt, der vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird, unendlich ist.

$f_{t} (x) = - \frac{1}{9} (t - 3) x^{2} + t, D_{f_{t}} = ℝ, t \in ℝ$

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen der x-Achse und $G_{f_{t}}$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

$f_{t} (x)$	$=$	$- \frac{1}{9} (t - 3) x^{2} + t$
	↓	Setze die Funktion $f_{t}$ gleich 0.
$0$	$=$	$- \frac{1}{9} (t - 3) x^{2} + t$
	↓	Man löst die Klammer auf.
$0$	$=$	$- \frac{t \cdot x^{2}}{9} + \frac{3 \cdot x^{2}}{9} + t$	$- t; \cdot 9$
$- 9 \cdot t$	$=$	$- t \cdot x^{2} + 3 \cdot x^{2}$
	↓	$x^{2}$ ausklammern.
$- 9 \cdot t$	$=$	$x^{2} \cdot (- t + 3)$
	↓	$\| : (- t + 3)$ für alle $t \neq 3.$ Sonderfall: $t = 3$ $\Rightarrow$ $f_{3} = 3$ konstant ohne Nullstelle.
$x^{2}$	$=$	$\frac{- 9 \cdot t}{- t + 3}$
	↓	Ziehe die Wurzel, um die Nullstellen zu bestimmen.
$x$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}$
	↓	Die Wurzel ist nur für nicht negativen Radikanten definiert. Dieser ist positiv, wenn $t > 3$ oder $t < 0$ ist. Für diesen Fall existieren also zwei Nullstellen.

Falls $t = 0$ ist, gibt es lediglich eine Nullstelle.

Eine Fläche wird also nur im Fall $t > 3$ oder $t < 0$ eingeschlossen. Diese wird dann mit einem bestimmten Integral bestimmt.

$A^{'}$	$=$	$\int_{- \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}} (- \frac{t \cdot x^{2}}{9} + \frac{3 \cdot x^{2}}{9} + t) d x$
	↓	Nun wird die gesuchte Fläche $A = \| A^{'} \|$ mittels Integration bestimmt.
	$=$	${[- \frac{t \cdot x^{3}}{9 \cdot 3} + \frac{3 \cdot x^{3}}{9 \cdot 3} + t x]}_{- \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}$
	$=$	${[- \frac{t \cdot x^{3}}{27} + \frac{x^{3}}{9} + t x]}_{- \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}$
	$=$	$\begin{array}{l} (- \frac{t \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3}}{27} + \frac{{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3}}{9} + t \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}) \\ - (- \frac{t \cdot {(- \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}})}^{3}}{27} + \frac{{(- \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}})}^{3}}{9} + t (- \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}})) \end{array}$
	↓	In den nächsten Schritten werden Klammern aufgelöst, Hauptnenner (27) gebildet und alle Elemente auf diesen erweitert.
	$=$	$\frac{- t \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3} + 3 \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3} + 27 \cdot t \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} - t \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3} + 3 \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3} + 27 \cdot t \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}{27}$
	$=$	$\frac{- 2 \cdot t \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3} + 6 \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3} + 54 \cdot t \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}{27}$
	↓	Man fasst die Summanden, wenn möglich, zusammen.
	$=$	$\frac{- 2 \cdot t \cdot (\frac{9 \cdot t}{t - 3}) \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} + 6 \cdot (\frac{9 \cdot t}{t - 3}) \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} + 54 \cdot t \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}{27}$
	↓	Klammere $\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}$ aus.
	$=$	$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} (- 2 \cdot t \cdot (\frac{9 \cdot t}{t - 3}) + 6 \cdot (\frac{9 \cdot t}{t - 3}) + 54 \cdot t)}{27}$
	↓	Fasse zusammen und erweitere den letzten Term.
	$=$	$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} (\frac{- 18 \cdot t^{2}}{t - 3} + \frac{54 \cdot t}{t - 3} + \frac{54 \cdot t \cdot (t - 3}{t - 3})}{27}$
	↓	Fasse die Bruchterme zusammen.
	$=$	$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} (\frac{- 18 \cdot t^{2} + 54 \cdot t + 54 \cdot t^{2} - 162 \cdot t}{t - 3})}{27}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} (\frac{36 \cdot t^{2} - 108 \cdot t}{t - 3})}{27}$
	↓	Klammere $36 \cdot t$ aus.
	$=$	$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} \cdot 36 \cdot t (\frac{t - 3}{t - 3})}{27}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\frac{4}{3} \cdot t \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}$

Die eingeschlossene Fläche beträgt $A (t) = | \frac{4}{3} \cdot t \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} | FE$

Diese eingeschlossene Fläche ist ein bestimmtes Integral, falls $t \in ℝ \ [0; 3]$ .

Anschaulich schließen $f$ und die x-Achse für $t \in [0; 3]$ keine Fläche ein.

Die folgenden zwei Abbildungen gehören nicht zur Aufgabenstellung, sie dienen nur zur Veranschaulichung.

Eine Fläche wird nur im Fall $t > 3$ oder $t < 0$ eingeschlossen.

Zum Beispiel erhält man für $t = 4$ die Funktion $f_{4} (x) = - \frac{1}{9} x^{2} + 4$

Die eingeschlossene Fläche liegt oberhalb der x-Achse und ist somit positiv. Die Fläche beträgt dann:

$A (4)$	$=$	$\frac{4}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4 - 3}}$
	$=$	$\frac{16}{3} \cdot \sqrt{\frac{36}{1}}$
	$=$	$\frac{16 \cdot 6}{3}$
	$=$	$32 FE$

Für $t = - 2,4$ erhält man die Funktion

$f_{- 2,4} (x)$	$=$	$- \frac{1}{9} (- 2,4 - 3) x^{2} - 2,4$
	$=$	$0,6 x^{2} - 2,4$

Die eingeschlossene Fläche liegt unterhalb der x-Achse. Deshalb wird der Betrag verwendet. Die Fläche beträgt dann:

$A (- 2,4)$	$=$	$\| \frac{4}{3} \cdot (- 2,4) \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot (- 2,4)}{- 2,4 - 3}} \|$
	$=$	$\| - 3,2 \cdot \sqrt{\frac{- 21,6}{- 5,4}} \|$
	↓	Berechne den Bruch.
	$=$	$\| - 3,2 \cdot \sqrt{4} \|$
	↓	Ziehe die Wurzel und fasse zusammen.
	$=$	$\| - 6,4 \|$
	$=$	$6,4 FE$

$f (x) = \frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x, D_{f} = ℝ$

Bestimme die Gleichung der Ursprungsgeraden, die $G_{f}$ im Hochpunkt schneidet, und berechne den Inhalt der Fläche, die von $G_{f}$ und der Geraden eingeschlossen ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale

Hochpunkt bestimmen

Als erstes musst du den Hochpunkt bestimmen. Dafür benötigst du die erste und zweite Ableitung.

Ableitungen bilden

$f (x) = \frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x$

$f^{'} (x) = \frac{9}{8} x^{2} - \frac{3}{2}$

$f^{''} (x) = \frac{18}{8} x = \frac{9}{4} x$

Extremwerte bestimmen

Die Extremwerte von $f$ bestimmst du, indem du die erste Ableitung $f^{'} (x)$ mit 0 gleichsetzt.

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{9}{8} x^{2} - \frac{3}{2}$
$0$	$=$	$\frac{9}{8} x^{2} - \frac{3}{2}$	$+ \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2}$	$=$	$\frac{9}{8} x^{2}$	$: \frac{9}{8}$
$\frac{4}{3}$	$=$	$x^{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$	$=$	$x$
	↓	$\sqrt{4} = 2$ kannst du noch aus der Wurzel ziehen.
$\pm 2 \sqrt{\frac{1}{3}}$	$=$	$x$

Art der Extrema bestimmen

Um die Art der Extrema zu bestimmen, musst du die Nullstellen der ersten Ableitung, in die 2. Ableitung einsetzen.

1. Extremstelle $x = 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

$f^{''} (x) = \frac{9}{4} x$

$f^{''} (2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})$	$=$	$\frac{9}{4} \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$
	$=$	$\frac{9}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$
	$>$	$0$

$f$ hat einen Tiefpunkt an der Stelle $x = 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$ , da die zweite Ableitung größer als $0$ ist.

2. Extremstelle: $x = - 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

$f^{''} (x) = \frac{9}{4} x$

$f^{''} (- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})$	$=$	$\frac{9}{4} \cdot (- 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$
	$=$	$- \frac{9}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$
	$<$	$0$

$f$ hat einen Hochpunkt an der Stelle $x = - 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$ , da die zweite Ableitung kleiner $0$ ist.

y-Koordinaten bestimmen

Um die y-Koordinate des Hochpunkts zu bestimmen, musst du $x = - 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$ in $f (x)$ einsetzen.

$f (x) = \frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x$

$f (- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})$	$=$	$\frac{3}{8} \cdot {(- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})$
	↓	Löse die Potenzen auf.
	$=$	$- \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$- \sqrt{\frac{1}{3}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$
	$=$	$2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$
	$\approx$	$1,155$

Der Hochpunkt hat also die Koordinaten $H (- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} | 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})$

Ursprungsgerade aufstellen

Nun kannst du die Ursprungsgerade aufstellen. Dafür benötigst du die Steigung der Geraden.

Steigung bestimmen

Die Steigung der Ursprungsgeraden bestimmt sich als Quotient der y-Koordinate und x-Koordinate des Hochpunktes.

$m$	$=$	$\frac{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}{- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}$
	↓	Mit $\sqrt{\frac{1}{3}} \neq 0$ kürzen .
	$=$	$- 1$

Gleichung aufstellen

Steigung $m$ und y-Achsenabschnitt $t$ in die allgemeine Geradengleichung $y = m x + t$ einsetzen.

$m = - 1$ , $t = 0$ , da eine Ursprungsgerade betrachtet wird.

$y (x) = - x$

Schnittpunkte bestimmen

Jetzt bestimmst du die Schnittpunkte der Ursprungsgerade mit dem Graphen von $f$ .

$f (x) = \frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x$

$y (x) = - x$

Setze beide Funktionen werden gleich.

$f (x)$	$=$	$y (x)$
$- x$	$=$	$\frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x$	$+ x$
$0$	$=$	$\frac{3}{8} x^{3} - \frac{1}{2} x$
	↓	x ausklammern.
	$=$	$x \cdot (\frac{3}{8} x^{2} - \frac{1}{2})$
	$=$	$x \cdot (x - 2 \sqrt{\frac{1}{3}}) \cdot (x + 2 \sqrt{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{8}$

$\Rightarrow$ Ein Schnittpunkt liegt bei 0, die anderen beiden Schnittpunkte beim Hoch- bzw. Tiefpunkt der Funktion.

Obere Funktionen ermitteln

Es existieren also drei Schnittpunkte der beiden Funktionen. So betrachtet man also die beiden Intervalle $I_{1} =] - 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}; 0 [$ und $I_{2} =] 0; 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} [$ zwischen den Schnittpunkten.

Ein Punkt, der zwischen den beiden Schnittpunkten liegt, wird in beide Funktionen eingesetzt. Um zu ermitteln, welche Funktion in den einzelnen Intervallen höhere oder gleich hohe Funktionswerte besitzt, wird ein Punkt, der zwischen je zwei benachbarten Schnittpunkten liegt, also ein Punkt aus $I_{1}$ bzw. $I_{2}$ in beide Funktionen eingesetzt.

Bei dieser Aufgabe nutzt man die Punktsymmetrie von $f (x) - y (x)$ , um sich die Bestimmung der oberen Funktion und eine schwierigere Integration zu sparen.

Gewählt wird also beispielsweise der Punkt $x_{0} = - 0,5 \in I_{1}$ .

$f (x) = \frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x$

$f (- 0,5) = \frac{3}{8} \cdot {(- 0,5)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 0,5) \approx 0,70$

$y (x) = - x$

$y (- 0,5) = 0,5$

$\Rightarrow$ Da $f$ den höheren Funktionswert bei $x_{0}$ besitzt und sich $x_{0}$ zwischen zwei Schnittpunkten befindet, ist sie in ganz $I_{1}$ die obere Funktion.

$\Rightarrow$ In $I_{2}$ ist $y$ aufgrund der Punktsymmetrie von $y$ und $f$ die obere Funktion.

Fläche berechnen

Zunächst wird das Integral aufgestellt, die Grenzen sind dabei ja zwei benachbarte Schnittpunkte.Hier sollen Flächen berechnet werden und dabei lassen sich Eigenschaften der punktsymmetrischen Funktionen nutzen.

Für eine punktsymmetrische Funktion $g$ gilt, dass $\int_{- a}^{a} g (x) d x = 0, m i t a \in ℝ$ .

Also berechnet sich die Gesamtfläche $A$ als $2 \cdot | \int_{- a}^{0} g (x) d x |, m i t a \in ℝ$ .

Man kann hier, da vorher die obere Funktion bestimmt wurde, bei richtigem Ansatz auf die Betragsstriche verzichten.

$A$	$=$	$2 \cdot \int_{- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}^{0} ((\frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x) - (- x)) dx$
	↓	Löse die inneren Klammern auf und fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$2 \cdot \int_{- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}^{0} (\frac{3}{8} x^{3} - \frac{1}{2} x) dx$
	↓	Integriere den Ausdruck.
	$=$	$2 \cdot {[\frac{3}{8 \cdot 4} x^{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2}]}_{- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}^{0}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$2 \cdot {[\frac{3}{32} x^{4} - \frac{1}{4} x^{2}]}_{- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}^{0}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze $0$ eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze $- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$ gerechnet.
	$=$	$2 \cdot [(\frac{3}{32} {(0)}^{4} - \frac{1}{4} {(0)}^{2}) - (\frac{3}{32} {((- 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})}^{4} - \frac{1}{4} {((- 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})}^{2})]$
	↓	Innere Klammern ausmultiplizieren.
	$=$	$- 2 \cdot (\frac{3}{32} {((- 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})}^{4} - \frac{1}{4} {((- 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})}^{2})$
	↓	Potenzen ausmultiplizieren.
	$=$	$- 2 \cdot (\frac{3}{32} \cdot \frac{16}{9} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3})$
	$=$	$- 2 \cdot (\frac{1}{6} - \frac{1}{3})$
	$=$	$- 2 \cdot (- \frac{1}{6})$
	$=$	$\frac{1}{3}$

$\Rightarrow$ Die Gesamtfläche $A$ beträgt also $\frac{1}{3}$ FE.

Bestimme die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.

$f : x \mapsto x^{2} - 4 x + 1$ ;

$g : x \mapsto - x^{2} + 6 x - 7$ ; $D_{f} = D_{g} = ℝ$

$a (x) = 6 - \frac{1}{24} x^{2}, D_{a} = ℝ$

Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen $G_{a}$ und der x-Achse.

Berechne die zwischen $G_{f}$ und der $x$ -Achse eingeschlossene Fläche für die folgenden Funktionen $f$ :

$f (x) = 2 - x - x^{2}$

$f : x \mapsto x^{2} \cdot (x + 2)$

$f (x) = 3 + s i n (x), D_{f} = ℝ$

Berechne $\int_{0}^{1} f (x) dx$ ; $\int_{0}^{π} f (x) dx$ ; $\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} f (x) dx$

Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen $G_{f}$ , der y-Achse und der Geraden $y = 2 π$ im Bereich von $0$ bis $π$

14
Gegeben ist der Graph $G_{f}$ einer integrierbaren Funktion $f$ .
Bestimme graphisch näherungsweise den Flächeninhalt, den die Funktion mit der x-Achse einschließt.

Durch Abzählen erhältst du links von der y-Achse:
6 ganze Kästchen
2 fast ganze Kästchen und
3 ungefähr gedrittelte Kästchen
Macht insgesamt ca. 9 Kästchen und damit auf beiden Seiten der y-Achse ca. 18 Kästchen. Da 4 Kästchen den Flächeninhalt von 1 cm² besitzen, hast du für die Fläche unter dem Graphen $\frac{18}{4} = 4.5$ . Näherungslösungen mit einer Abweichung von $\pm 0,25$ sind ebenfalls richtig.

Gib näherungsweise zwei Nullstellen der Integralfunktion
$F : x \mapsto \int_{- 1}^{x} f (t) d t$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrationsgrenze
Die erste Nullstelle liegt bei der ersten Integrationsgrenze: $x_{1} = - 1$ . Für eine zweite Nullstelle muss die Fläche über der x-Achse genau so groß sein, wie die Fläche unter der x-Achse. Anhand der Kästchen siehst du, dass das ungefähr bei $x = - 2$ der Fall ist.

Das stilisierte Fischlogo des Marineclubs soll neu lackiert werden. Dazu braucht der Maler die Fläche des Logos.

Die orangefarbene Randfunktion ist gegeben durch $g (x) = - \frac{x}{2} \cdot \sqrt{x + 2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: partielle Integration

$A_{g e s a m t} = A_{1} + A_{2}$

Zur Flächenberechnung benötigst du eine Stammfunktion $G (x)$ der Funktion $g (x) = - \frac{x}{2} \cdot \sqrt{x + 2}$ :

$G (x) = \int_{}^{} (- \frac{x}{2}) \cdot \sqrt{x + 2} d x = - \frac{1}{2} \int_{}^{} x \cdot \sqrt{x + 2} d x$

Das Integral kann mit partieller Integration berechnet werden. (Der Vorfaktor wird zunächst nicht berücksichtigt.)

Die partielle Integration berechnet mit folgender Formel das Integral über ein Produkt von zwei Funktionen: $\int_{}^{} u^{'} (x) \cdot v (x) d x = u (x) \cdot v (x) - \int_{}^{} u (x) \cdot v^{'} (x) d x$

Es soll das Integral $\int_{}^{} \sqrt{x + 2} \cdot x d x$ berechnet werden.

Setze dazu $u^{'} (x) = \sqrt{x + 2}$ und $v (x) = x$

Berechne nun $u (x)$ durch Integration von $\sqrt{x + 2}$

$u^{'} (x)$	$=$	$\sqrt{x + 2}$
	↓	Schreibe die Wurzel als Potenz.
	$=$	$(x + 2)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Integriere über $x$ .
$u (x)$	$=$	$\int_{}^{} (x + 2)^{\frac{^{1}}{2}} d x$
	↓	Wende die Regel für Potenzfunktionen an.
	$=$	$\frac{(x + 2)^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{(x + 2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}$
	$=$	$\frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}}$

Somit ist $u (x) = \frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}}$ und $v^{'} (x) = 1$ .

Nun kann die partielle Integration durchgeführt werden.

$\int_{}^{} u^{'} (x) \cdot v (x) d x$	$=$	$u (x) \cdot v (x) - \int_{}^{} u (x) \cdot v^{'} (x) d x$
	↓	Setze $u (x) = \frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}}$ und $v (x) = x$ und $v^{'} (x) = 1$ ein.
$\int_{}^{} \sqrt{x + 2} \cdot x d x$	$=$	$\frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot x - \int_{}^{} \frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d x$

Berechne nun das hintere Integral durch Anwendung der Regel für Potenzfunktionen:

$\int_{}^{} \frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d x = \frac{2}{3} \int_{}^{} (x + 2)^{\frac{3}{2}} d x$

$\frac{2}{3} \int_{}^{} (x + 2)^{\frac{3}{2}} d x$	$=$	$\frac{2}{3} (\frac{(x + 2)^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1})$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{2}{3} (\frac{(x + 2)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}})$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{4}{15} (x + 2)^{\frac{5}{2}}$

Damit folgt für die Berechnung von $\int_{}^{} \sqrt{x + 2} \cdot x d x$ :

$\int_{}^{} \sqrt{x + 2} \cdot x d x$	$=$	$\frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot x - \frac{4}{15} (x + 2)^{\frac{5}{2}}$
	↓	Vereinfache die rechte Seite durch Ausklammern von $(x + 2)^{\frac{3}{2}}$ .
	$=$	$(x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{2}{3} \cdot x - \frac{4}{15} \cdot (x + 2))$
	↓	Vereinfache die hintere Klammer.
	$=$	$(x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{2}{3} \cdot x - \frac{4}{15} \cdot x - \frac{8}{15})$
	$=$	$(x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{10}{15} \cdot x - \frac{4}{15} \cdot x - \frac{8}{15})$
	$=$	$(x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{6}{15} \cdot x - \frac{8}{15})$
	↓	Klammere $\frac{2}{15}$ aus.
	$=$	$\frac{2}{15} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 x - 4)$

Eine Stammfunktion lautet somit:

$G (x) = - \frac{1}{2} \int_{}^{} x \cdot \sqrt{x + 2} d x = - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 x - 4)$

G (x) = - \frac{1}{15} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 x - 4)

Berechne nun die Fläche $A_{1}$ :

Die Integrationsgrenzen werden der Abbildung entnommen. Die untere Grenze ist $x = - 2$ und die obere Grenze ist $x = 0$ .

$A_{1} = 2 \cdot \int_{- 2}^{0} x \cdot \sqrt{x + 2} d x$

$\int_{- 2}^{0} x \cdot \sqrt{x + 2} d x$	$=$	${[- \frac{1}{15} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 x - 4)]}_{- 2}^{0}$
	↓	Setze die Grenzen ein.
	$=$	$(- \frac{1}{15} \cdot (0 + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 \cdot 0 - 4)) - (- \frac{1}{15} \cdot (- 2 + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 \cdot (- 2) - 4))$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$(- \frac{1}{15} \cdot 2^{\frac{3}{2}} \cdot (- 4)) - (- \frac{1}{15} \cdot 0^{\frac{3}{2}} \cdot (- 6 - 4))$
	↓	Vereinfache. Wegen $0^{\frac{^{3}}{2}} = 0$ entfällt die hintere Klammer. $2^{\frac{^{3}}{2}} = 2 \cdot \sqrt{2}$
	$=$	$\frac{4}{15} \cdot 2 \cdot \sqrt{2}$
	$=$	$\frac{8}{15} \cdot \sqrt{2}$

Die Fläche $A_{1}$ ist dann $2 \cdot \frac{8}{15} \cdot \sqrt{2} = \frac{16}{15} \cdot \sqrt{2} m^{2}$ .

Berechne nun die Fläche $A_{2}$ :

Die Integrationsgrenzen werden der Abbildung entnommen. Die untere Grenze ist $x = 0$ und die obere Grenze ist $x = 1$ . Hier verläuft $g (x)$ unterhalb der x-Achse. Deshalb wird der Betrag des Integrals berechnet:

$A_{2} = 2 \cdot | \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{x + 2} d x |$

$\int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{x + 2} d x$	$=$	${[- \frac{1}{15} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 x - 4)]}_{0}^{1}$
	↓	Setze die Grenzen ein.
	$=$	$(- \frac{1}{15} \cdot (1 + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 \cdot 1 - 4)) - (- \frac{1}{15} \cdot (0 + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 \cdot 0 - 4))$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$(- \frac{1}{15} \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot (- 1)) - (- \frac{1}{15} \cdot (2)^{\frac{3}{2}} \cdot (- 4))$
	↓	Vereinfache. $3^{\frac{^{3}}{2}} = 3 \cdot \sqrt{3}$ und $2^{\frac{^{3}}{2}} = 2 \cdot \sqrt{2}$ .
	$=$	$(\frac{1}{15} \cdot 3 \cdot \sqrt{3}) - (\frac{4}{15} \cdot 2 \cdot \sqrt{2})$
	↓	Kürze und vereinfache.
	$=$	$\frac{1}{5} \cdot \sqrt{3} - \frac{8}{15} \cdot \sqrt{2}$

Die Fläche $A_{2}$ kann nun angegeben werden:

$A_{2} = 2 \cdot | \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{x + 2} d x |$ $\Rightarrow$

$A_{2} = 2 \cdot | \frac{1}{5} \cdot \sqrt{3} - \frac{8}{15} \cdot \sqrt{2} |$

$| \frac{1}{5} \cdot \sqrt{3} - \frac{8}{15} \cdot \sqrt{2} | = - (\frac{1}{5} \cdot \sqrt{3} - \frac{8}{15} \cdot \sqrt{2}) = (\frac{8}{15} \cdot \sqrt{2} - \frac{1}{5} \cdot \sqrt{3})$

$A_{2} = 2 \cdot (\frac{8}{15} \cdot \sqrt{2} - \frac{1}{5} \cdot \sqrt{3}) = \frac{16}{15} \cdot \sqrt{2} - \frac{2}{5} \cdot \sqrt{3}$

Die Fläche $A_{2}$ ist dann $(\frac{16}{15} \cdot \sqrt{2} - \frac{2}{5} \cdot \sqrt{3}) m^{2}$ .

$A_{g e s a m t} = A_{1} + A_{2} = \frac{16}{15} \cdot \sqrt{2} + \frac{16}{15} \cdot \sqrt{2} - \frac{2}{5} \cdot \sqrt{3}$

$A_{g e s a m t} = \frac{32}{15} \cdot \sqrt{2} - \frac{2}{5} \cdot \sqrt{3}$

$A_{g e s a m t} \approx 2,32 m^{2}$

Der Maler muss eine Fläche von etwa $2,32 m^{2}$ lackieren.

Gegeben sind die beiden Funktionen $f_{a} (x) = a - \frac{x^{2}}{a}$ und $g_{a} (x) = a^{3} - a x^{2}$ mit $a > 1$ .

Berechne das Flächenstück $A (a)$ oberhalb der x-Achse, das von den Graphen der beiden Funktionen $f_{a}$ und $g_{a}$ begrenzt wird.

Wie groß ist der eingeschlossene Flächeninhalt, wenn $a = 3$ ist?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenbestimmung mit Integralen
Es ist $A (a) = \frac{4}{3} a^{2} (a^{2} - 1)$ .
$A (a)$ $=$ $\frac{4}{3} a^{2} (a^{2} - 1)$
↓
Setze $a = 3$ ein.
$=$ $\frac{4}{3} \cdot 3^{2} \cdot (3^{2} - 1)$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{4}{3} \cdot 9 \cdot (9 - 1)$
↓
Kürze mit $3$ .
$=$ $12 \cdot 8$
$=$ $96$
Der eingeschlossene Flächeninhalt zwischen $g_{3}$ und $f_{3}$ beträgt $96 FE$ .
Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

17
Gegeben sind die Funktionen
$f (x) = \frac{1}{6} x^{3} - 2 x^{2} + 6 x$
und
$g (x) = m · x$
mit $0 < m < 6$ . Die beiden Funktionsgraphen und die senkrechte Gerade $x = 6$ schließen im ersten Quadranten eine Fläche ein, die aus zwei Teilflächen besteht. Skizzieren Sie den Sachverhalt und bestimmen Sie m so, dass die beiden Teilflächen die gleichen Flächeninhalte besitzen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Skizze des Sachverhalts:
Die beiden Teilflächen sollen die gleichen Flächeninhalte besitzen.
Berechnet werden muss das Integral von $0$ bis $6$ über die Differenz der beiden Funktionen. Setzt man dieses Integral gleich null, dann müssen die beiden Teilflächen gleich groß sein.
$\int_{0}^{6} (f (x) - g (x)) d x = 0$
$\int_{0}^{6} (\frac{1}{6} x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - m \cdot x) d x = {[\frac{1}{24} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2} - \frac{m}{2} x^{2}]}_{0}^{6} = 0$
Setze die obere Grenze ein (die untere Grenze eingesetzt ergibt den Wert $0$ ):
$\frac{1}{24} \cdot 6^{4} - \frac{2}{3} \cdot 6^{3} + 3 \cdot 6^{2} - \frac{m}{2} \cdot 6^{2} = 0$
$54 - 144 + 108 - 18 m = 0 \Rightarrow 18 - 18 m = 0 \Rightarrow m = 1$
Für $m = 1$ besitzen die beiden Teilflächen den gleichen Flächeninhalt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
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$- 1$	$=$	$a \cdot (- 2)^{2} + 3$	$- 3$
	↓	Löse nach $a$ auf.
$- 4$	$=$	$4 a^{}$	$: 4$
$- 1$	$=$	$a$

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 1$ und $q = - 2$ ein.
	$=$	$- \frac{1}{2} \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}$
	$=$	$- \frac{1}{2} \pm \sqrt{2,25}$
	$=$	$- 0,5 \pm 1,5$

$\int_{0}^{1} (3 + \sin x) dx$	$=$	${[3 x - \cos x]}_{0}^{1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze (1) eingesetzt und die Klammer mit der linken Grenze (0) abgezogen.
	$=$	$(3 \cdot 1 - \cos 1) - (3 \cdot 0 - \cos 0)$
	↓	Klammern auflösen, $\cos (0) = 1$
	$=$	$3 - \cos 1 + 1$
	$=$	$4 - \cos 1$
	$\approx$	$3,4597$

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} (3 + \sin x) dx$	$=$	${[3 x - \cos x]}_{\frac{π}{3}}^{2 π}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze ( $2 π$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze $(\frac{π}{3})$ gerechnet.
	$=$	$(3 \cdot 2 π - \cos (2 π)) - (3 \cdot \frac{π}{3} - \cos \frac{π}{3})$
	↓	Klammern auflösen, $\cos (2 π) = 1; \cos \frac{π}{3} = 0,5$ .
	$=$	$6 π - 1 - π + 0,5$
	$=$	$5 π - 0,5$
	$\approx$	$15,208$

$1 + \frac{1}{2} \cdot x^{3}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot x^{2} + 2 x - 1$	$- \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 2 x + 1$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\frac{1}{2} \cdot x^{3} - \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 2 x + 2$	$=$	$0$	$\cdot 2$
$x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$	$=$	$0$

$- x^{2} + 3$	$=$	$x + 1$	$+ x^{2}$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$3$	$=$	$x^{2} + x + 1$	$- 3$
$0$	$=$	$x^{2} + x - 2$

$A$	$=$	$\int_{- 2}^{1} (f (x) - g (x)) d x$
	↓	Setze $f (x)$ und $g (x)$ ein.
	$=$	$\int_{- 2}^{1} (- x^{2} + 3 - (x + 1)) d x$
	↓	Löse die Klammer auf und fasse zusammen.
	$=$	$\int_{- 2}^{1} (- x^{2} - x + 2)) d x$
	$=$	${[- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{- 2}^{1}$
	$=$	$(- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1) - (- \frac{1}{3} \cdot (- 2)^{3} - \frac{1}{2} \cdot (- 2)^{2} + 2 \cdot (- 2))$
	↓	Löse die Klammern auf
	$=$	$- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{8}{3} + 2 + 4$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$8 - \frac{9}{3} - 0,5$
	$=$	$8 - 3 - 0,5$
	$=$	$4,5$

$f (x)$	$=$	$g (x)$
	↓	Gleichung umformen.
$2 - x^{2}$	$=$	$0,5 x^{2} + 0,5$	$- 0,5 x^{2}$
$2 - 1,5 x^{2}$	$=$	$0,5$	$- 2$
$- 1,5 x^{2}$	$=$	$- 1,5$	$: (- 1,5)$
$x^{2}$	$=$	$1$

$A$	$=$	$\int_{- 1}^{1} (f (x) - g (x)) d x$
	↓	Bestimme die Fläche, indem über die Differenzfunktion integriert wird. Setze $f (x) - g (x) = 1,5 - 1,5 x^{2}$ ein.
	$=$	$\int_{- 1}^{1} (1,5 - 1,5 x^{2}) d x$
	$=$	${[1,5 x - 0,5 x^{3}]}_{- 1}^{1}$
	↓	Setze die Grenzen ein. Ziehe die untere Grenze von der oberen Grenze ab.
	$=$	$(1,5 \cdot 1 - 0,5 \cdot 1^{3}) - (1,5 \cdot (- 1) - 0,5 \cdot (- 1)^{3})$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$1,5 - 0,5 - (- 1,5 + 0,5)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$1 - (- 1)$
	$=$	$2$

$0$	$=$	$f (x)$
$0$	$=$	$\frac{1}{9} x^{4} - \frac{8}{9} x^{3} + 2 x^{2}$
	↓	$x^{2}$ ausklammern.
$0$	$=$	$x^{2} \cdot (\frac{1}{9} x^{2} - \frac{8}{9} x^{1} + 2)$

$D$	$=$	${(- \frac{8}{9})}^{2} - 4 \cdot \frac{1}{9} \cdot 2$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{64}{81} - \frac{8}{9}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$- \frac{8}{81}$

$f (x)$	$=$	$g (x)$
$x^{2} - 4 x + 1$	$=$	$- x^{2} + 6 x - 7$
	↓	Umformen.
$2 x^{2} - 10 x + 8$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$
	$=$	$\frac{10 \pm \sqrt{36}}{4}$
	$=$	$\frac{10 \pm 6}{4}$

$A$	$=$	$\int_{1}^{4} ((- x^{2} + 6 x - 7) - (x^{2} - 4 x + 1)) d x$
	$=$	$\int_{1}^{4} (- x^{2} + 6 x - 7 - x^{2} + 4 x - 1) d x$
	↓	Löse auf und fasse zusammen.
	$=$	$\int_{1}^{4} (- 2 x^{2} + 10 x - 8) d x$
	↓	Integriere
	$=$	${[- \frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{2} x^{2} - 8 x]}_{1}^{4}$
	$=$	$(- \frac{2}{3} \cdot {(4)}^{3} + \frac{10}{2} \cdot {(4)}^{2} - 8 \cdot (4)) - (- \frac{2}{3} \cdot {(1)}^{3} + \frac{10}{2} \cdot {(1)}^{2} - 8 \cdot (1))$
	$=$	$(- \frac{2}{3} \cdot 64 + \frac{10}{2} \cdot 16 - 32) - (- \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{10}{2} \cdot 1 - 8)$
	$=$	$- \frac{128}{3} + 48 + \frac{2}{3} + 3$
	$=$	$9$

$a (x)$	$=$	$6 - \frac{1}{24} x^{2}$
	↓	Setze die Funktion $a$ mit 0 gleich.
$0$	$=$	$6 - \frac{1}{24} x^{2}$	$+ \frac{1}{24} x^{2}$
$\frac{1}{24} x^{2}$	$=$	$6$	$\cdot 24$
$x^{2}$	$=$	$144$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$x$	$=$	$\pm 12$

$A (x)$	$=$	$\int_{- 12}^{12} (6 - \frac{1}{24} x^{2}) d x$
	↓	Integriere.
	$=$	${[6 x - \frac{1}{24 \cdot 3} x^{3}]}_{- 12}^{12}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze (12) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (-12) gerechnet.
	$=$	$(6 \cdot 12 - \frac{1}{24 \cdot 3} \cdot 12^{3}) - (6 \cdot (- 12) - \frac{1}{24 \cdot 3} \cdot {(- 12)}^{3})$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$72 - \frac{1728}{72} + 72 - \frac{1728}{72}$
	↓	Der Bruch lässt sich mit 72 kürzen.
	$=$	$72 - 24 + 72 - 24$
	$=$	$96$

$- x^{2} - x + 2$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{1 \pm 3}{- 2}$

$A$	$=$	$\int_{- 2}^{1} (- x^{2} - x + 2) dx$
	↓	Bestimme die Stammfunktion.
	$=$	${[- \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x ]}_{- 2}^{1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der rechte Schnittpunkt (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Schnittpunkt (-2) gerechnet.
	$=$	$(- \frac{1^{3}}{3} - \frac{1^{2}}{2} + 2 \cdot 1) - (- \frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2} + 2 \cdot (- 2))$
	↓	Zähler berechnen.
	$=$	$(- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (- \frac{- 8}{3} - \frac{4}{2} - 4)$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$- \frac{9}{3} + \frac{3}{2} + 6$
	$=$	$\frac{9}{2}$
	$=$	$4,5$

$f (x)$	$=$	$x^{2} \cdot (x + 2)$
	↓	Multipliziere die Faktoren der Funktion aus, um die Funktion leichter integrieren zu können.
	$=$	$x^{3} + 2 x^{2}$

$A$	$=$	$\int_{- 2}^{0} (x^{3} + 2 x^{2}) d x$
	↓	Ermittle die Stammfunktion.
	$=$	${[\frac{1}{4} x^{4} + 2 \cdot \frac{1}{3} x^{3}]}_{- 2}^{0}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Schnittstelle ( $0$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Schnittstelle ( $- 2$ ) gerechnet.
	$=$	$0 - (\frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot 2 {(- 2)}^{3})$
	$=$	$- (\frac{16}{4} - \frac{16}{3})$
	↓	Bilde den Hauptnenner und löse die Klammer auf.
	$=$	$- \frac{48}{12} + \frac{64}{12}$
	↓	Addiere die Summanden.
	$=$	$\frac{16}{12}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$\frac{4}{3}$

$\int_{0}^{π} (3 + \sin x) dx$	$=$	${[3 x - \cos x]}_{0}^{π}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze ( $π$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (0) gerechnet.
	$=$	$(3 \cdot π - \cos π) - (3 \cdot 0 - \cos 0)$
	↓	Klammern auflösen, $\cos 0 = 1; \cos π = - 1$ .
	$=$	$3 \cdot π + 1 + 1$
	$=$	$3 π + 2$
	$\approx$	$11,4248$
	$\approx$

$A$	$=$	$\int_{0}^{π} (2 π - (3 + \sin x)) d x$
	$=$	$\int_{0}^{π} (2 π - 3 - \sin x) d x$
	↓	Integrieren
	$=$	${[2 πx - 3 x + \cos x]}_{0}^{π}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze ( $π$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (0) gerechnet.
	$=$	$(2 π \cdot π - 3 \cdot π + \cos π) - (2 π \cdot 0 - 3 \cdot 0 + \cos 0)$
	↓	Klammern auflösen, $\cos (π) = - 1, \cos (0) = 1$
	$=$	$2 π^{2} - 3 π - 1 - 1$
	$=$	$2 π^{2} - 3 π - 2$
	$\approx$	$8,3144$

$f_{a} (x)$	$=$	$g_{a} (x)$
$a - \frac{x^{2}}{a}$	$=$	$a^{3} - a x^{2}$	$\cdot a$
	↓	Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite.
$a^{2} - x^{2}$	$=$	$a^{4} - a^{2} x^{2}$	$+ a^{2} x^{2}$
$a^{2} - x^{2} + a^{2} x^{2}$	$=$	$a^{4}$	$- a^{2}$
$- x^{2} + a^{2} x^{2}$	$=$	$a^{4} - a^{2}$
	↓	Klammere auf der linken Seite $x^{2}$ aus. Klammere auf der rechen Seite $a^{2}$ aus.
$x^{2} (a^{2} - 1)$	$=$	$a^{2} (a^{2} - 1)$	$: (a^{2} - 1)$
	↓	Da $a > 1$ ist, kann durch $(a^{2} - 1)$ geteilt werden.
$x^{2}$	$=$	$\frac{a^{2} (a^{2} - 1)}{(a^{2} - 1)}$
	↓	Kürze.
$x^{2}$	$=$	$a^{2}$

$f_{a} (- a)$	$=$	$- a - \frac{(- a)^{2}}{- a}$
	$=$	$- a - \frac{a^{2}}{- a}$
	$=$	$- a + a$
	$=$	$0$

$A (a)$	$=$	$2 \cdot \int_{0}^{a} (g_{a} (x) - f_{a} (x)) d x$
	↓	Setze $g_{a} (x) - f_{a} (x) = a^{3} - a x^{2} - a + \frac{x^{2}}{a}$ ein.
	$=$	$2 \cdot \int_{0}^{a} (a^{3} - a x^{2} - a + \frac{x^{2}}{a}) d x$
	$=$	$2 \cdot {[a^{3} x - a \frac{x^{3}}{3} - a x + \frac{x^{3}}{3 a}]}_{0}^{a}$
	↓	Setze die Grenzen ein. Ziehe die untere Grenze von der oberen Grenze ab.
	$=$	$2 \cdot ((a^{4} - \frac{a^{4}}{3} - a^{2} + \frac{a^{3}}{3 a}) - (0 - 0 - 0 + 0))$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$2 \cdot (\frac{2}{3} a^{4} - \frac{2}{3} a^{2})$
	↓	Klammere $\frac{2}{3} a^{2}$ aus.
	$=$	$\frac{4}{3} a^{2} (a^{2} - 1)$

Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen

Lösung 1

Flächenberechnung

Lösung 2

Lösung 3

Funktionsterme bestimmen

Bestimmung der Schnittpunkte der beiden Graphen

Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?

Flächeninhalt:

Berechnung von A:

Berechnung des zur Parabel gehörenden Funktionsterms

Berechnung aller Schnittpunkte

Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben?

Berechnung von A1

Berechnung von A2

Schraffiere diese Fläche

Funktionsterme von f und g

Berechnung der beiden Schnittpunkte S1 und S2 der Graphen

Gib A als bestimmtes Integral an

Schraffiere diese Fläche

Schnittpunkte berechnen

Flächenbestimmung

Nullstellen berechnen

zusätzlicher Graph der Funktion

Hochpunkt bestimmen

Ableitungen bilden

Extremwerte bestimmen

Art der Extrema bestimmen

y-Koordinaten bestimmen

Ursprungsgerade aufstellen

Steigung bestimmen

Gleichung aufstellen

Schnittpunkte bestimmen

Obere Funktionen ermitteln

Fläche berechnen

Schnittpunkte berechnen

Fläche berechnen

Nullstellen berechnen

Flächenstück bestimmen

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse

Flächenberechnung

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse

Flächenberechnung

Integral von 0 bis 1

Integral von 0 bis π

Integral von π3bis 2π

Schnittpunkte berechnen

Flächenbestimmung mit Integralen

Skizze des Sachverhalts:

Wie kannst du den gesamten Inhalt $A$ der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?

Berechnung von $A$ :

Wie kannst du $A$ als bestimmtes Integral schreiben?

Berechnung von $A_{1}$

Berechnung von $A_{2}$

Berechnung der beiden Schnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ der Graphen

Integral von $0$ bis $1$

Integral von $0$ bis $π$

Integral von $\frac{π}{3}$ bis $2 π$

$A (a)$	$=$	$\frac{4}{3} a^{2} (a^{2} - 1)$
	↓	Setze $a = 3$ ein.
	$=$	$\frac{4}{3} \cdot 3^{2} \cdot (3^{2} - 1)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{4}{3} \cdot 9 \cdot (9 - 1)$
	↓	Kürze mit $3$ .
	$=$	$12 \cdot 8$
	$=$	$96$