Mathe Funktionen Stammfunktion, Integral und Flächenberechnung Flächen- und Volumenberechnung mit Integralen Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen

Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Berechne die zwischen $G_{f}$ und der $x$ -Achse eingeschlossene Fläche für die folgenden Funktionen $f$ :

$f (x) = 2 - x - x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse

$f (x) = 2 - x - x^{2}$

Mit der x-Achse ( $y = 0$ ) gleichsetzen.

$- x^{2} - x + 2$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{1 \pm 3}{- 2}$

$x_{1} = \frac{1 + 3}{- 2} = - 2$

$x_{2} = \frac{1 - 3}{- 2} = 1$

Flächenberechnung

Um die eingeschlossene Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von $f$ und der x-Achse zu berechnen, benötigst du ein Integral.

$A$	$=$	$\int_{- 2}^{1} (- x^{2} - x + 2) dx$
	↓	Bestimme die Stammfunktion.
	$=$	${[- \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x ]}_{- 2}^{1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der rechte Schnittpunkt (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Schnittpunkt (-2) gerechnet.
	$=$	$(- \frac{1^{3}}{3} - \frac{1^{2}}{2} + 2 \cdot 1) - (- \frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2} + 2 \cdot (- 2))$
	↓	Zähler berechnen.
	$=$	$(- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (- \frac{- 8}{3} - \frac{4}{2} - 4)$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$- \frac{9}{3} + \frac{3}{2} + 6$
	$=$	$\frac{9}{2}$
	$=$	$4,5$

$f : x \mapsto x^{2} \cdot (x + 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse

$f (x) = x^{2} \cdot (x + 2)$

Zur Ermittlung der Nullstellen der Funktion, betrachte die beiden Faktoren getrennt voneinander, d.h. setze beide Faktoren gleich Null.

$x^{2}$	$=$	$0$
$x_{1,2}$	$=$	$0$

An der Stelle $x = 0$ ist also eine zweifache Nullstelle.

$x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$x_{3}$	$=$	$- 2$

An der Stelle $x = - 2$ ist eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.

Flächenberechnung

Um die eingeschlossene Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von $f$ und der x-Achse zu berechnen, benötigst du ein Integral. Multipliziere f zuerst aus, um die Intergration zu vereinfachen.

$f (x)$	$=$	$x^{2} \cdot (x + 2)$
	↓	Multipliziere die Faktoren der Funktion aus, um die Funktion leichter integrieren zu können.
	$=$	$x^{3} + 2 x^{2}$

Stelle das bestimmte Integral mit den Nullstellen -2 und 0 als Grenzen auf.

$A$	$=$	$\int_{- 2}^{0} (x^{3} + 2 x^{2}) d x$
	↓	Ermittle die Stammfunktion.
	$=$	${[\frac{1}{4} x^{4} + 2 \cdot \frac{1}{3} x^{3}]}_{- 2}^{0}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Schnittstelle ( $0$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Schnittstelle ( $- 2$ ) gerechnet.
	$=$	$0 - (\frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot 2 {(- 2)}^{3})$
	$=$	$- (\frac{16}{4} - \frac{16}{3})$
	↓	Bilde den Hauptnenner und löse die Klammer auf.
	$=$	$- \frac{48}{12} + \frac{64}{12}$
	↓	Addiere die Summanden.
	$=$	$\frac{16}{12}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$\frac{4}{3}$

Die eingeschlossene Fläche ist $\frac{4}{3}$ Flächeneinheiten groß.

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