Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Berechnung des zur Parabel gehörenden Funktionsterms

Gegeben ist der Scheitel $\mathrm{S}(-2|-3)$ der Parabel. Benutze die Scheitelpunktsform.

$g(x)=a\cdot (x+2{)}^2-3$

Setze den aus der Abbildung abgelesenen Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y(0|-1)$ ein.

$g(0)=-1$

$\Rightarrow g(0)=a\cdot (0+2{)}^2-3=4a-3=-1\Rightarrow 4a=2\Rightarrow a=\frac{1}{2}$

$g(x)=\frac{1}{2}\cdot (x+2{)}^2-3=\frac{1}{2}\cdot (x^2+4x+4)-3=\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-1$

Antwort: Die Parabel hat die Funktionsgleichung $g(x)=\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-1$

Berechnung aller Schnittpunkte

Setze $f(x)=g(x)$.

Du hast eine Gleichung $3.$ Grades erhalten. Die Lösung erfolgt durch Polynomdivision.

Eine Lösung ist leicht zu finden (probieren):

Setze $x=1$ in die Gleichung ein$\Rightarrow 1^3-1^2-4\cdot 1+4=0✓$

Teile nun $(x^3-x^2-4x+4)$ durch den Linearfaktor $(x-1)$:

$\begin{array}{l}(x^3-x^2-4x+4):(x-1)=x^2-4\\ -\underline{(x^3-x^2)}\\ 0+0-4x+4\\ \phantom{(x^3}-\underline{(-4x+4)}\\ \phantom{(x^3-x^2-4}0+0\end{array}$

Die verbleibende Gleichung $x^2-4=0$ hat die beiden Lösungen $x_{\mathrm{2,3}}=\pm 2$.

Berechne die Funktionswerte:

$f(1)=1+\frac{1}{2}\cdot 1^3=\mathrm{1,5}$

$f(-2)=-3$ (siehe gegebenen Scheitelpunkt)

$f(2)=1+\frac{1}{2}\cdot 2^3=5$

Antwort: Die drei Schnittpunktskoordinaten lauten: $S_1(1|\mathrm{1,5});S_2(-2|-3);S_3(2|5)$

Wie kannst du $A$ als bestimmtes Integral schreiben?

Da drei Schnittpunkte existieren, gibt es zwei Flächen, die die beiden Graphen einschließen. (In der obigen Abbildung ist die zweite Fläche nicht sehr deutlich erkennbar.)

$A=A_1+A_2={\int }_{-2}^1(f(x)-g(x))\mathrm{d}x+{\int }_1^2(g(x)-f(x))\mathrm{d}x$

Berechnung von $A_1$

Die $2.$ Zeile bei der Schnittpunktsberechnung ergibt:

$f(x)-g(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2$

$A_1={\int }_{-2}^1(f(x)-g(x))\mathrm{d}x$

Setze $f(x)-g(x)$ ein:

$A={\int }_{-2}^1(\frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2)\mathrm{d}x={[\frac{1}{8}\cdot x^4-\frac{1}{6}\cdot x^3-x^2+2x]}_{-2}^1$

$=(\frac{1}{8}-\frac{1}{6}-1+2)-(\frac{1}{8}\cdot (-2{)}^4-\frac{1}{6}\cdot (-2{)}^3-(-2{)}^2+2\cdot (-2))$

$=(-\frac{1}{24}+1)-(2+\frac{8}{6}-4-4)=-\frac{1}{24}+1-2-\frac{8}{6}+8=-\frac{8}{6}-\frac{1}{24}+7=7-\frac{33}{24}=\frac{45}{8}$

Berechnung von $A_2$

$A_2={\int }_1^2(g(x)-f(x))\mathrm{d}x$

$g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x)=-(\frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2)=-\frac{1}{2}\cdot x^3+\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-2$

Setze $g(x)-f(x)$ ein:

$A_2={\int }_1^2(-\frac{1}{2}\cdot x^3+\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-2)\mathrm{d}x={[-\frac{1}{8}\cdot x^4+\frac{1}{6}\cdot x^3+x^2-2x]}_1^2$

$=(-2+\frac{8}{6}+4-4)-(-\frac{1}{8}+\frac{1}{6}+1-2)$

$=(-2+\frac{8}{6})-(-\frac{1}{8}+\frac{1}{6}-1)=-2+\frac{8}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{6}+1=-1+\frac{7}{6}+\frac{1}{8}=\frac{-24+28+3}{24}=\frac{7}{24}$

$A=A_1+A_2=\frac{45}{8}+\frac{7}{24}=\frac{71}{12}\approx \mathrm{5,92}$

Antwort: Die beiden Graphen schließen eine Fläche mit dem Inhalt $A=\frac{71}{12}\approx \mathrm{5,92}\mathrm{FE}$ ein.

Zur Veranschaulichung eine Abbildung, in der die beiden Flächen deutlich erkennbar sind.