Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Die Graphen der Funktionen $f (x) = 2 - x^{2}$ und $g (x) = 0,5 x^{2} + 0,5$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

Schraffiere diese Fläche und berechne A.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenbestimmung mit Integralen

$f (x) = 2 - x^{2}$

$g (x) = 0,5 x^{2} + 0,5$

Setze die beiden Funktionen gleich, um ihre Schnittstellen zu erhalten.

$x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

Die Schnittstellen sind also $x = \pm 1.$

Aus der Skizze ersieht man, dass $f$ die obere Funktion ist.

$A$	$=$	$\int_{- 1}^{1} (f (x) - g (x)) d x$
	↓	Bestimme die Fläche, indem über die Differenzfunktion integriert wird. Setze $f (x) - g (x) = 1,5 - 1,5 x^{2}$ ein.
	$=$	$\int_{- 1}^{1} (1,5 - 1,5 x^{2}) d x$
	$=$	${[1,5 x - 0,5 x^{3}]}_{- 1}^{1}$
	↓	Setze die Grenzen ein. Ziehe die untere Grenze von der oberen Grenze ab.
	$=$	$(1,5 \cdot 1 - 0,5 \cdot 1^{3}) - (1,5 \cdot (- 1) - 0,5 \cdot (- 1)^{3})$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$1,5 - 0,5 - (- 1,5 + 0,5)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$1 - (- 1)$
	$=$	$2$

Die eingeschlossene Fläche $A$ zwischen den beiden Funktionen beträgt also $2 FE$ .