Flächeninhalt und bestimmtes Integral

$f (x) = 3 + s i n (x), D_{f} = ℝ$

Berechne $\int_{0}^{1} f (x) dx$ ; $\int_{0}^{π} f (x) dx$ ; $\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} f (x) dx$

Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen $G_{f}$ , der y-Achse und der Geraden $y = 2 π$ im Bereich von $0$ bis $π$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\int_{0}^{1} (3 + \sin x) dx$	$=$	${[3 x - \cos x]}_{0}^{1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze (1) eingesetzt und die Klammer mit der linken Grenze (0) abgezogen.
	$=$	$(3 \cdot 1 - \cos 1) - (3 \cdot 0 - \cos 0)$
	↓	Klammern auflösen, $\cos (0) = 1$
	$=$	$3 - \cos 1 + 1$
	$=$	$4 - \cos 1$
	$\approx$	$3,4597$

$\int_{0}^{π} (3 + \sin x) dx$	$=$	${[3 x - \cos x]}_{0}^{π}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze ( $π$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (0) gerechnet.
	$=$	$(3 \cdot π - \cos π) - (3 \cdot 0 - \cos 0)$
	↓	Klammern auflösen, $\cos 0 = 1; \cos π = - 1$ .
	$=$	$3 \cdot π + 1 + 1$
	$=$	$3 π + 2$
	$\approx$	$11,4248$
	$\approx$

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} (3 + \sin x) dx$	$=$	${[3 x - \cos x]}_{\frac{π}{3}}^{2 π}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze ( $2 π$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze $(\frac{π}{3})$ gerechnet.
	$=$	$(3 \cdot 2 π - \cos (2 π)) - (3 \cdot \frac{π}{3} - \cos \frac{π}{3})$
	↓	Klammern auflösen, $\cos (2 π) = 1; \cos \frac{π}{3} = 0,5$ .
	$=$	$6 π - 1 - π + 0,5$
	$=$	$5 π - 0,5$
	$\approx$	$15,208$

$A$	$=$	$\int_{0}^{π} (2 π - (3 + \sin x)) d x$
	$=$	$\int_{0}^{π} (2 π - 3 - \sin x) d x$
	↓	Integrieren
	$=$	${[2 πx - 3 x + \cos x]}_{0}^{π}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze ( $π$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (0) gerechnet.
	$=$	$(2 π \cdot π - 3 \cdot π + \cos π) - (2 π \cdot 0 - 3 \cdot 0 + \cos 0)$
	↓	Klammern auflösen, $\cos (π) = - 1, \cos (0) = 1$
	$=$	$2 π^{2} - 3 π - 1 - 1$
	$=$	$2 π^{2} - 3 π - 2$
	$\approx$	$8,3144$