Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen

Gegeben sind die beiden Funktionen $f_{a} (x) = a - \frac{x^{2}}{a}$ und $g_{a} (x) = a^{3} - a x^{2}$ mit $a > 1$ .

Berechne das Flächenstück $A (a)$ oberhalb der x-Achse, das von den Graphen der beiden Funktionen $f_{a}$ und $g_{a}$ begrenzt wird.

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$f_{a} (x)$	$=$	$g_{a} (x)$
$a - \frac{x^{2}}{a}$	$=$	$a^{3} - a x^{2}$	$\cdot a$
	↓	Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite.
$a^{2} - x^{2}$	$=$	$a^{4} - a^{2} x^{2}$	$+ a^{2} x^{2}$
$a^{2} - x^{2} + a^{2} x^{2}$	$=$	$a^{4}$	$- a^{2}$
$- x^{2} + a^{2} x^{2}$	$=$	$a^{4} - a^{2}$
	↓	Klammere auf der linken Seite $x^{2}$ aus. Klammere auf der rechen Seite $a^{2}$ aus.
$x^{2} (a^{2} - 1)$	$=$	$a^{2} (a^{2} - 1)$	$: (a^{2} - 1)$
	↓	Da $a > 1$ ist, kann durch $(a^{2} - 1)$ geteilt werden.
$x^{2}$	$=$	$\frac{a^{2} (a^{2} - 1)}{(a^{2} - 1)}$
	↓	Kürze.
$x^{2}$	$=$	$a^{2}$

$A (a)$	$=$	$2 \cdot \int_{0}^{a} (g_{a} (x) - f_{a} (x)) d x$
	↓	Setze $g_{a} (x) - f_{a} (x) = a^{3} - a x^{2} - a + \frac{x^{2}}{a}$ ein.
	$=$	$2 \cdot \int_{0}^{a} (a^{3} - a x^{2} - a + \frac{x^{2}}{a}) d x$
	$=$	$2 \cdot {[a^{3} x - a \frac{x^{3}}{3} - a x + \frac{x^{3}}{3 a}]}_{0}^{a}$
	↓	Setze die Grenzen ein. Ziehe die untere Grenze von der oberen Grenze ab.
	$=$	$2 \cdot ((a^{4} - \frac{a^{4}}{3} - a^{2} + \frac{a^{3}}{3 a}) - (0 - 0 - 0 + 0))$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$2 \cdot (\frac{2}{3} a^{4} - \frac{2}{3} a^{2})$
	↓	Klammere $\frac{2}{3} a^{2}$ aus.
	$=$	$\frac{4}{3} a^{2} (a^{2} - 1)$