Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Sei die Funktion $f : x \mapsto (x + 1)^{3} - 1$ gegeben. Bestimme die Fläche, die von $f$ und ihrer Umkehrfunktion $f^{- 1}$ eingeschlossen wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion

Lösung 1

Bestimme jetzt die Umkehrfunktion

Bei der Bestimmung der Umkehrfunktion von $f$ wirst du die Umkehrung der dritten Potenz brauchen. Daher gibt es schon mal eine Berechnung dazu.

Damit kennst du die Umkehrung der dritten Potenz: ist $f (x) = x^{3}$ , so ist

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} = x^{1 / 3}$ für $x \geq 0$ und

$f^{- 1} (x) = - \sqrt[3]{- x} = - (- x)^{1 / 3}$ für $x < 0$ .

Berechnung der Umkehrfunktion von $f$

Unterscheide die Fälle $x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 1$ und $x < - 1$ .

Für $x \geq - 1$ hast du

$y$	$=$	${(x + 1)}^{3} - 1$	$+ 1$
$y + 1$	$=$	${(x + 1)}^{3}$	$\sqrt[3]{}$
$\sqrt[3]{y + 1}$	$=$	$x + 1$	$- 1$
$\sqrt[3]{y + 1} - 1$	$=$	$x$
$f^{- 1} (x)$	$=$	$\sqrt[3]{x + 1} - 1$
	$=$	$(x + 1)^{1 / 3} - 1$

Für $x < - 1$ ist entsprechend

$y$	$=$	${(x + 1)}^{3} - 1$	$+ 1$
$y + 1$	$=$	${(x + 1)}^{3}$
	↓	Umkehren wie oben
$- \sqrt[3]{- (y + 1)}$	$=$	$x + 1$	$- 1$
$- \sqrt[3]{- (y + 1)} - 1$	$=$	$x$
$f^{- 1} (x)$	$=$	$- \sqrt[3]{- (x + 1)} - 1$
	$=$	$- (- (x + 1))^{1 / 3} - 1$

Flächenberechnung

Bestimme die Schnittpunkte. Weil ${(\sqrt[3]{x + 1})}^{3} = {(- \sqrt[3]{- (x + 1)})}^{3} = x + 1$ ist, reicht eine Rechnung ab der dritten Zeile:

${(x + 1)}^{3} - 1$	$=$	$\sqrt[3]{x + 1} - 1$	$+ 1$
${(x + 1)}^{3}$	$=$	$\sqrt[3]{x + 1}$	$^{3}$
	↓	Sei $x \neq - 1$ .
${(x + 1)}^{9}$	$=$	$x + 1$	$: (x + 1)$
${(x + 1)}^{8}$	$=$	$1$	$\sqrt[8]{}$
$x + 1$	$=$	$\pm 1$	$- 1$
$x_{1}$	$=$	$0$
$x_{2}$	$=$	$- 2$
	↓	Betrachte den Fall $x = - 1$ .
${(- 1 + 1)}^{3} - 1$	$=$	$\sqrt[3]{- 1 + 1} - 1$
$x_{3}$	$=$	$- 1$

Berechne jetzt die Fläche $A$ zwischen den Graphen von Schnittpunkt zu Schnittpunkt zunächst für $x \geq - 1$ . Für $- 1 \leq x \leq 0$ ist $f (x) \leq f^{- 1} (x)$ .

$A_{1}$	$=$	$\int_{- 1}^{0} \| f (x) - f^{- 1} (x) \| d x$
	$=$	$\int_{- 1}^{0} (\sqrt[3]{x + 1} - 1 - {(x + 1)}^{3} + 1) d x$
	$=$	$\int_{- 1}^{0} ((x + 1)^{1 / 3} - {(x + 1)}^{3}) d x$
	$=$	${[\frac{1}{1 + \frac{1}{3}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} + 1} - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4}]}_{- 1}^{0}$
	$=$	$\frac{3}{4} {(0 + 1)}^{4 / 3} - \frac{1}{4} {(0 + 1)}^{4} - \frac{3}{4} {(- 1 + 1)}^{4 / 3} + \frac{1}{4} {(- 1 + 1)}^{4}$
	$=$	$\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
	$=$	$\frac{1}{2}$

Im Bereich $- 2 \leq x \leq - 1$ ist $f^{- 1} (x) \leq f (x)$ . Wie du sofort durch Ableiten bestätigst, ist $\frac{3}{4} (- (x - 1))^{4 / 3}$ eine Stammfunktion zu $f^{- 1} (x) .$

$A_{2}$	$=$	$\int_{- 2}^{- 1} \| f (x) - f^{- 1} (x) \| d x$
	$=$	$\int_{- 2}^{- 1} {(x + 1)}^{3} - 1 - (- \sqrt[3]{- (x + 1)} - 1) d x$
	$=$	$\int_{- 2}^{- 1} ((x + 1)^{3} + {(- (x + 1))}^{1 / 3}) d x$
	$=$	${[\frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} - \frac{3}{4} {(- (x + 1))}^{4 / 3}]}_{- 2}^{- 1}$
	$=$	$\frac{1}{4} {(- 1 + 1)}^{4} - \frac{3}{4} {(- 1 + 1)}^{4 / 3} - \frac{1}{4} {(- 2 + 1)}^{4} + \frac{3}{4} {(- 2 + 1)}^{4 / 3}$
	$=$	$- \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$
	$=$	$\frac{1}{2}$

Die Gesamtfläche $A$ ist also $A = A_{1} + A_{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

In der Skizze erkennt man den Verlauf der Graphen von $f$ und $f^{- 1}$ .

Lösung 2

Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion gehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden auseinander hervor. Daher müssen ihre Schnittpunkte auf der Winkelhalbierenden $y = x$ liegen und können durch den Schnitt des Graphen von $f$ mit der Geraden $y = x$ berechnet werden. Da die Graphen von $f$ und $f^{- 1}$ die Winkelhalbierende als Symmetrieachse besitzen, ist die Fläche zwischen Ihnen genau doppelt so groß wie die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der Winkelhalbierenden.

Berechnung der Schnittpunkte

$f (x)$	$=$	$x$
	↓	Ausmultiplizieren
$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 - 1$	$=$	$x$	$- x$
	↓	Ordnen
$x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$	$=$	$0$
	↓	x ausklammern
$x (x^{2} + 3 x + 2)$	$=$	$0$
	↓	p-q-Formel oder raten
$x (x + 1) (x + 2)$	$=$	$0$

Die Schnittpunkte sind also $(- 2; - 2)$ , $(- 1; - 1)$ und $(0; 0)$ .

Flächenberechnung

Die Berechnung der Fläche wird wieder in zwei Schritten vorgenommen.

	$A_{1}$
	↓ wegen der Symmetrie wird das Integral verdoppelt
$=$	$2 \| \int_{- 2}^{- 1} ((x + 1)^{3} - 1 - x) d x \|$
$=$	$2 \| {[\frac{1}{4} (x + 1)^{4} - x - \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 2}^{- 1} \|$
$=$	$2 \| \frac{1}{4} (- 1 + 1)^{4} - (- 1) - \frac{1}{2} (- 1)^{2} - \frac{1}{4} (- 2 + 1)^{4} + (- 2) + \frac{1}{2} (- 2)^{2} \|$
$=$	$2 \| 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - 2 + 2 \|$
$=$	$2 \cdot \frac{1}{4}$
$=$	$\frac{1}{2}$

	$A_{2}$
	↓ wie oben
$=$	$2 \| \int_{- 1}^{0} ((x + 1)^{3} - 1 - x) d x \|$
$=$	$2 \| {[\frac{1}{4} (x + 1)^{4} - x - \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 1}^{0} \|$
$=$	$2 \| \frac{1}{4} (0 + 1)^{4} - 0 - \frac{1}{2} 0^{2} - \frac{1}{4} (- 1 + 1)^{4} - 1 + \frac{1}{2} (- 1)^{2} \|$
$=$	$2 \| \frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{2} \|$
$=$	$2 \| - \frac{1}{4} \|$
$=$	$\frac{1}{2}$

Die Gesamtfläche ist wieder $A = A_{1} + A_{2} = 1$ .

Lösung 3

Die Funktion $f$ geht aus $g (x) = x^{3}$ dadurch hervor, dass der Graph um je eine Einheit in $x$ - und $y$ -Richtung verschoben wird. Dieselbe Verschiebung ändert die Winkelhalbierende nicht. Daher ist die Fläche $A$ genauso groß wie die zwischen dem Graphen von $g$ und Ihrer Umkehrfunktion.

Dieselbe Überlegung wie bei Lösung 2 zeigt, dass die Fläche $A$ doppelt so groß ist wie die Fläche zwischen dem Graphen von $g$ und der Winkelhalbierenden.

$g$ ist außerdem punktsymmetrisch zum Ursprung, daher ist die Gesamtfläche viermal so groß wie die Fläche zwischen $g$ und $y = x$ im ersten Quadranten.

Die Schnittpunkte sind $(0; 0)$ und $(1; 1) .$

Der Flächeninhalt unter der Winkelhalbierenden ist $\frac{1}{2}$ .

Der Flächeninhalt unter dem Graphen von $g$ ist $\int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{4} x^{4} |_{0}^{1} = \frac{1}{4}$ .

Die Fläche dazwischen hat den Inhalt $\frac{1}{4}$ , und weil das ein Viertel der Gesamtfläche ist, ist $A = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$ .

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