Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen

Um diese Aufgabe zu lösen, muss die Differenzfunktion $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ gebildet werden. Für diese erhalten wir:

$f\left(x\right)-g\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^2+2-(-\mathrm{0,5}x+1)$

$${\displaystyle =\mathrm{0,5}{x}^2+2+\mathrm{0,5}x-1=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+1}$$.

Die Fläche zwischen der $x-$Achse und dieser Funktion gibt uns den Flächeninhalt für die Fläche zwischen den beiden gegebenen Funktionen. Dadurch wird auch deutlich, dass die untere von der oberen Funktion subtrahiert werden muss. Würde man die obere von der unteren Funktion subtrahieren, so würden wir ein negatives Ergebnis für die Fläche erhalten, was offensichtlich nicht sein kann.

Da die Differenzfunktion im Intervall $[-1;\mathrm{1,5}]$ keine Nullstellen besitzt, kann sofort das Integral von $-1$ bis $\mathrm{1,5}$ berechnet werden.

$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_{-1}^{\mathrm{1,5}}(\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+1)dx}\\ =& {\displaystyle {[\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{4}{x}^2+x]}_{-1}^{3/2}}\\ =& (\frac{1}{6}\cdot \frac{27}{8}+\frac{1}{4}\cdot \frac{9}{4}+\frac{3}{2})-(\frac{1}{6}(-1)+\frac{1}{4}\cdot 1-1)\\ =& \frac{9}{16}+\frac{9}{16}+\frac{3}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}+1\\ =& \frac{27+27+72+8-12+48}{48}\\ =& \frac{170}{48}\\ =& \frac{85}{24}\end{array}$$