Flächeninhalt und bestimmtes Integral

$f (x) = \frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x, D_{f} = ℝ$

Bestimme die Gleichung der Ursprungsgeraden, die $G_{f}$ im Hochpunkt schneidet, und berechne den Inhalt der Fläche, die von $G_{f}$ und der Geraden eingeschlossen ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale

Hochpunkt bestimmen

Als erstes musst du den Hochpunkt bestimmen. Dafür benötigst du die erste und zweite Ableitung.

Ableitungen bilden

$f (x) = \frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x$

$f^{'} (x) = \frac{9}{8} x^{2} - \frac{3}{2}$

$f^{''} (x) = \frac{18}{8} x = \frac{9}{4} x$

Extremwerte bestimmen

Die Extremwerte von $f$ bestimmst du, indem du die erste Ableitung $f^{'} (x)$ mit 0 gleichsetzt.

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{9}{8} x^{2} - \frac{3}{2}$
$0$	$=$	$\frac{9}{8} x^{2} - \frac{3}{2}$	$+ \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2}$	$=$	$\frac{9}{8} x^{2}$	$: \frac{9}{8}$
$\frac{4}{3}$	$=$	$x^{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$	$=$	$x$
	↓	$\sqrt{4} = 2$ kannst du noch aus der Wurzel ziehen.
$\pm 2 \sqrt{\frac{1}{3}}$	$=$	$x$

Art der Extrema bestimmen

Um die Art der Extrema zu bestimmen, musst du die Nullstellen der ersten Ableitung, in die 2. Ableitung einsetzen.

1. Extremstelle $x = 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

$f^{''} (x) = \frac{9}{4} x$

$f^{''} (2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})$	$=$	$\frac{9}{4} \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$
	$=$	$\frac{9}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$
	$>$	$0$

$f$ hat einen Tiefpunkt an der Stelle $x = 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$ , da die zweite Ableitung größer als $0$ ist.

2. Extremstelle: $x = - 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

$f^{''} (x) = \frac{9}{4} x$

$f^{''} (- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})$	$=$	$\frac{9}{4} \cdot (- 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$
	$=$	$- \frac{9}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$
	$<$	$0$

$f$ hat einen Hochpunkt an der Stelle $x = - 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$ , da die zweite Ableitung kleiner $0$ ist.

y-Koordinaten bestimmen

Um die y-Koordinate des Hochpunkts zu bestimmen, musst du $x = - 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$ in $f (x)$ einsetzen.

$f (x) = \frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x$

$f (- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})$	$=$	$\frac{3}{8} \cdot {(- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})$
	↓	Löse die Potenzen auf.
	$=$	$- \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$- \sqrt{\frac{1}{3}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$
	$=$	$2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$
	$\approx$	$1,155$

Der Hochpunkt hat also die Koordinaten $H (- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} | 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})$

Ursprungsgerade aufstellen

Nun kannst du die Ursprungsgerade aufstellen. Dafür benötigst du die Steigung der Geraden.

Steigung bestimmen

Die Steigung der Ursprungsgeraden bestimmt sich als Quotient der y-Koordinate und x-Koordinate des Hochpunktes.

$m$	$=$	$\frac{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}{- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}$
	↓	Mit $\sqrt{\frac{1}{3}} \neq 0$ kürzen .
	$=$	$- 1$

Gleichung aufstellen

Steigung $m$ und y-Achsenabschnitt $t$ in die allgemeine Geradengleichung $y = m x + t$ einsetzen.

$m = - 1$ , $t = 0$ , da eine Ursprungsgerade betrachtet wird.

$y (x) = - x$

Schnittpunkte bestimmen

Jetzt bestimmst du die Schnittpunkte der Ursprungsgerade mit dem Graphen von $f$ .

$f (x) = \frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x$

$y (x) = - x$

Setze beide Funktionen werden gleich.

$f (x)$	$=$	$y (x)$
$- x$	$=$	$\frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x$	$+ x$
$0$	$=$	$\frac{3}{8} x^{3} - \frac{1}{2} x$
	↓	x ausklammern.
	$=$	$x \cdot (\frac{3}{8} x^{2} - \frac{1}{2})$
	$=$	$x \cdot (x - 2 \sqrt{\frac{1}{3}}) \cdot (x + 2 \sqrt{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{8}$

$\Rightarrow$ Ein Schnittpunkt liegt bei 0, die anderen beiden Schnittpunkte beim Hoch- bzw. Tiefpunkt der Funktion.

Obere Funktionen ermitteln

Es existieren also drei Schnittpunkte der beiden Funktionen. So betrachtet man also die beiden Intervalle $I_{1} =] - 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}; 0 [$ und $I_{2} =] 0; 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} [$ zwischen den Schnittpunkten.

Ein Punkt, der zwischen den beiden Schnittpunkten liegt, wird in beide Funktionen eingesetzt. Um zu ermitteln, welche Funktion in den einzelnen Intervallen höhere oder gleich hohe Funktionswerte besitzt, wird ein Punkt, der zwischen je zwei benachbarten Schnittpunkten liegt, also ein Punkt aus $I_{1}$ bzw. $I_{2}$ in beide Funktionen eingesetzt.

Bei dieser Aufgabe nutzt man die Punktsymmetrie von $f (x) - y (x)$ , um sich die Bestimmung der oberen Funktion und eine schwierigere Integration zu sparen.

Gewählt wird also beispielsweise der Punkt $x_{0} = - 0,5 \in I_{1}$ .

$f (x) = \frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x$

$f (- 0,5) = \frac{3}{8} \cdot {(- 0,5)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 0,5) \approx 0,70$

$y (x) = - x$

$y (- 0,5) = 0,5$

$\Rightarrow$ Da $f$ den höheren Funktionswert bei $x_{0}$ besitzt und sich $x_{0}$ zwischen zwei Schnittpunkten befindet, ist sie in ganz $I_{1}$ die obere Funktion.

$\Rightarrow$ In $I_{2}$ ist $y$ aufgrund der Punktsymmetrie von $y$ und $f$ die obere Funktion.

Fläche berechnen

Zunächst wird das Integral aufgestellt, die Grenzen sind dabei ja zwei benachbarte Schnittpunkte.Hier sollen Flächen berechnet werden und dabei lassen sich Eigenschaften der punktsymmetrischen Funktionen nutzen.

Für eine punktsymmetrische Funktion $g$ gilt, dass $\int_{- a}^{a} g (x) d x = 0, m i t a \in ℝ$ .

Also berechnet sich die Gesamtfläche $A$ als $2 \cdot | \int_{- a}^{0} g (x) d x |, m i t a \in ℝ$ .

Man kann hier, da vorher die obere Funktion bestimmt wurde, bei richtigem Ansatz auf die Betragsstriche verzichten.

$A$	$=$	$2 \cdot \int_{- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}^{0} ((\frac{3}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x) - (- x)) dx$
	↓	Löse die inneren Klammern auf und fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$2 \cdot \int_{- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}^{0} (\frac{3}{8} x^{3} - \frac{1}{2} x) dx$
	↓	Integriere den Ausdruck.
	$=$	$2 \cdot {[\frac{3}{8 \cdot 4} x^{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2}]}_{- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}^{0}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$2 \cdot {[\frac{3}{32} x^{4} - \frac{1}{4} x^{2}]}_{- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}^{0}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze $0$ eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze $- 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$ gerechnet.
	$=$	$2 \cdot [(\frac{3}{32} {(0)}^{4} - \frac{1}{4} {(0)}^{2}) - (\frac{3}{32} {((- 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})}^{4} - \frac{1}{4} {((- 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})}^{2})]$
	↓	Innere Klammern ausmultiplizieren.
	$=$	$- 2 \cdot (\frac{3}{32} {((- 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})}^{4} - \frac{1}{4} {((- 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{3}})}^{2})$
	↓	Potenzen ausmultiplizieren.
	$=$	$- 2 \cdot (\frac{3}{32} \cdot \frac{16}{9} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3})$
	$=$	$- 2 \cdot (\frac{1}{6} - \frac{1}{3})$
	$=$	$- 2 \cdot (- \frac{1}{6})$
	$=$	$\frac{1}{3}$

$\Rightarrow$ Die Gesamtfläche $A$ beträgt also $\frac{1}{3}$ FE.

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