Aufgaben zu Geradengleichungen, Nullstellen und Schnittpunkten

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Bestimme den Schnittpunkt beider Geraden und zeichne diesen in ein Koordinatensystem.
Gib den Schnittpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).
$f (x) = - 3 x + \frac{5}{4}; g (x) = - x - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte linearer Funktionen
Setze die Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
$- 3 x + \frac{5}{4}$ $=$ $- x - 1$ $+ 3 x + 1$
$- x + 3 x$ $=$ $\frac{5}{4} + 1$
↓
Addiere
$2 x$ $=$ $\frac{9}{4}$ $: 2$
$x$ $=$ $\frac{9}{8} = 1,125$
Setze $x$ in eine der beiden Geraden ein. Hier zum Beispiel $g :$
$y$ $=$ $- \frac{9}{8} - 1$
↓
Subtrahiere
$y$ $=$ $- 2,125$
$\Rightarrow S (1,125 / - 2,125)$
Zeichnung

$f : 2 y - x = 3; g (x) = - \frac{1}{2} x + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte linearer Funktionen
Setze die Funktionen f(x) und g(x) gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
Löse zunächst die Funktion f nach y auf.
$2 y - x$ $=$ $3$ $+ x$
$2 y$ $=$ $3 + x$ $: 2$
$y$ $=$ $\frac{3}{2} + \frac{x}{2}$
Setze nun f und g gleich
$\frac{3}{2} + \frac{x}{2}$ $=$ $- \frac{1}{2} x + 4$ $+ \frac{x}{2} - 1,5$
$\frac{x}{2} + \frac{x}{2}$ $=$ $4 - 1,5$
↓
Addiere und subtrahiere
$x$ $=$ $2,5$
Setze x in eine der beiden Geradengleichungen ein, hier zum Beispiel f:
$y$ $=$ $\frac{3}{2} + \frac{2,5}{2}$
↓
Addiere
$y$ $=$ $2,75$
$\Rightarrow S (2,5 / 2,75)$

$f (x) = - \frac{2}{3} x - 1; g (x) = \frac{1}{6} x - 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte linearer Funktionen
Setze die Funktionen f(x) und g(x) gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
$- \frac{2}{3} x - 1$ $=$ $\frac{1}{6} x - 4$ $+ \frac{2}{3} x + 4$
$\frac{1}{6} x + \frac{2}{3} x$ $=$ $- 1 + 4$
↓
Addiere.
$\frac{5}{6} x$ $=$ $3$ $: \frac{5}{6}$
$x$ $=$ $3 : \frac{5}{6}$
↓
Dividiere durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert
$x$ $=$ $3 \cdot \frac{6}{5}$
↓
Multipliziere.
$x$ $=$ $\frac{18}{5}$
Setze x in eine der beiden Geraden ein, hier zum Beispiel g:
$y$ $=$ $\frac{1}{6} \cdot \frac{18}{5} - 4$
↓
Multipliziere.
$y$ $=$ $\frac{3}{5} - 4$
↓
Subtrahiere
$y$ $=$ $- 3,4$
$\Rightarrow S (3,6 / - 3,4)$

$f : x = 2; g (x) = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte linearer Funktionen
Setze $x = 2$ in $g (x)$ ein.
$y$ $=$ $- \frac{3}{4} \cdot 2 - \frac{3}{2}$
↓
Multipliziere.
$y$ $=$ $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$
↓
Subtrahiere.
$y$ $=$ $- \frac{6}{2}$
↓
Dividiere.
$y$ $=$ $- 3$
$\Rightarrow S (2 / - 3)$

Geradenschnittpunkte berechnen.

Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden $g_{1} (x)$ und $g_{2} (x)$ . Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem.

Gib den Schnittpunkt in das Eingabefeld ein: "S(1;3)" oder S(1|3)" zum Beispiel.

$g_{1} (x) = \frac{1}{2} x + 2 g_{2} (x) = - \frac{1}{2} x + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkte berechnen
Setze dafür $g_{1} (x)$ und $g_{2} (x)$ gleich.
$\frac{1}{2} x + 2$ $=$ $- \frac{1}{2} x + 4$ $| + \frac{1}{2} x - 2$
$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x$ $=$ $4 - 2$
$x_{S}$ $=$ $2$
↓
Setze x in $g_{1} (x)$ ein.
$y$ $=$ $1 + 2$
$y_{S}$ $=$ $3$
$\Rightarrow S (x_{S} | y_{S}) = S (2 | 3)$
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.
$g_{1} (x) = 2 x - 1 g_{2} (x) = - 2 x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkt berechnen
Setze $g_{1} (x)$ und $g_{2} (x)$ gleich.
$2 x - 1$ $=$ $- 2 x + 1$ $+ 2 x + 1$
$2 x + 2 x$ $=$ $1 + 1$
$4 x$ $=$ $2$ $: 4$
$x_{S}$ $=$ $\frac{1}{2}$
↓
Setze x in $g_{1} (x)$ ein.
$y$ $=$ $2 \cdot \frac{1}{2} - 1$
$y$ $=$ $1 - 1$
$y_{S}$ $=$ $0$
$\Rightarrow S (x_{S} | y_{S}) = S (\frac{1}{2} | 0)$
$\Rightarrow S$ ist der Schnittpunkt der Geraden.
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.
$g_{1} (x) = \frac{3}{4} x - 4 g_{2} (x) = - \frac{1}{2} x - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkt berechnen
Setze $g_{1} (x)$ und $g_{2} (x)$ gleich.
$g_{1} (x)$ $=$ $g_{2} (x)$
$\frac{3}{4} x - 4$ $=$ $- \frac{1}{2} x - 1$ $+ \frac{1}{2} x + 4$
$\frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x$ $=$ $- 1 + 4$
$1,25 x$ $=$ $3$ $1,25$
$x$ $=$ $\frac{3}{1,25}$
$x_{S}$ $=$ $2,4$
↓
Setze $x_{S}$ in $g_{1} (x)$ ein.
$y$ $=$ $\frac{3}{4} \cdot 2,4 - 4$
$y$ $=$ $1,8 - 4$
$y_{S}$ $=$ $- 2,2$
$\Rightarrow S (x_{S} | y_{S}) = S (2,4 | - 2,2)$
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.
$g_{1} (x) = - \frac{1}{2} x + 2 g_{2} (x) = \frac{1}{2} x + 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkt berechnen
Setze $g_{1} (x)$ und $g_{2} (x)$ gleich.
$g_{1} (x)$ $=$ $g_{2} (x)$
$- \frac{1}{2} x + 2$ $=$ $\frac{1}{2} x + 3$ $| + \frac{1}{2} x - 3$
$2 - 3$ $=$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x$
$x_{S}$ $=$ $- 1$
↓
Setze $x_{S}$ in $g_{1} (x)$ ein.
$y$ $=$ $- \frac{1}{2} \cdot (- 1) + 2$
$y$ $=$ $\frac{1}{2} + 2$
$y_{S}$ $=$ $2,5$
$\Rightarrow S (x_{S} | y_{S}) = S (- 1 | 2,5)$
$\Rightarrow S$ ist der Schnittpunkt der Geraden.
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.

$g_{1} (x) = \frac{2}{3} x + 2 g_{2} (x) = \frac{1}{2} x + 3$

$g_{1} (x) = \frac{3}{4} x + 1 g_{2} (x) = \frac{1}{2} x + 2$

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Bestimme die Gleichung der Geraden g, die parallel zur Geraden h ist und durch den Punkt P geht.
h: $y = 3 x - 2$ ; P(1|0)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
$y = 3 x - 2$ ; P(1|0)
Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
$m = 3$
Geradengleichung aufstellen
Setze m (3) und P(1|0) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$0$ $=$ $3 \cdot 1 + t$ $- 3$
↓
Gleichung nach t auflösen.
$t$ $=$ $- 3$
Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$\Rightarrow$ Geradengleichung: $y = 3 x - 3$

h: $y = x - 4$ ; P(1|2)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
$y = x - 4$ ; P(1|2)
Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
$m = 1$
Gleichung aufstellen
Setze m (1) und P(1|2) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$2$ $=$ $1 + t$ $ - 1$
↓
Gleichung nach t auflösen.
$ t$ $=$ $1$
Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$\Rightarrow$ Geradengleichung: $y = x + 1$

h: $y = 4 x$ ; P(5|18)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
$y = 4 x$ ; P(5|18)
Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
$m = 4$
Gleichung aufstellen
Setze m (4) und P(5|18) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$18$ $=$ $4 \cdot 5 + t$ $- 20$
↓
Gleichung nach t auflösen.
$t$ $=$ $- 2$
Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$\Rightarrow$ Geradengleichung: $y = 4 x - 2$

h: $y = - 2 x + 1$ ; P(-1|4)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
$y = - 2 x + 1$ ; P(-1|4)
Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
$m = - 2$
Gleichung aufstellen
Setze m (-2) und P(-1|4) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$4$ $=$ $- 2 \cdot (- 1) + t$ $- 2$
↓
Gleichung nach t auflösen.
$t$ $=$ $2$
Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$\Rightarrow$ Geradengleichung: $y = - 2 x + 2$
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zeichne die Graphen folgender Geraden mit dem Schnittpunkt mit der y-Achse und dem Steigungsdreieck. Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse und überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen.
$f (x) = 2 x - 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = 2 x - 5$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 5)$
$\Rightarrow m_{f} = 2$
Berechne nun den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$2 x - 5$ $=$ $0$ $+ 5$
$2 x$ $=$ $5$ $: 2$
$x_{0}$ $=$ $2,5$
$\Rightarrow P_{x} (2,5 | 0)$

$f (x) = - x - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - x - 3$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 3)$
$\Rightarrow m_{f} = - 1$
$- x - 3$ $=$ $0$ $+ x$
$- 3$ $=$ $x_{0}$
$\Rightarrow P_{x} (- 3 | 0)$

$f (x) = \frac{1}{2} x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = \frac{1}{2} x + 1$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | 1)$
$\Rightarrow m_{f} = \frac{1}{2}$
Berechne nun den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\frac{1}{2} x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$\frac{1}{2} x$ $=$ $- 1$ $\cdot 2$
$x_{0}$ $=$ $- 2$
$\Rightarrow P_{x} (- 2 | 0)$

$f (x) = - \frac{1}{2} x - 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - \frac{1}{2} x - 2$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 2)$
$\Rightarrow m_{f} = - \frac{1}{2}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$- \frac{1}{2} x - 2$ $=$ $0$ $+ 2$
$- \frac{1}{2} x$ $=$ $2$ $\cdot (- 2)$
$x_{0}$ $=$ $- 4$
$\Rightarrow P_{x} (- 4 | 0)$

$f (x) = \frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = \frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - \frac{1}{2})$
$\Rightarrow m_{f} = \frac{1}{3}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$ $=$ $0$ $+ \frac{1}{2}$
$\frac{1}{3} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot 3$
$x_{0}$ $=$ $\frac{3}{2}$
$\Rightarrow P_{x} (\frac{3}{2} | 0)$

$f (x) = - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | \frac{3}{2})$
$\Rightarrow m_{f} = - \frac{1}{4}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$- \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$ $=$ $0$ $- \frac{3}{2}$
$- \frac{1}{4} x$ $=$ $- \frac{3}{2}$ $\cdot (- 4)$
$x_{0}$ $=$ $6$
$\Rightarrow P_{x} (6 | 0)$

$f (x) = \frac{2}{3} x + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = \frac{2}{3} x + 2$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | 2)$
$\Rightarrow m_{f} = \frac{2}{3}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\frac{2}{3} x + 2$ $=$ $0$ $- 2$
$\frac{2}{3} x$ $=$ $- 2$ $: \frac{2}{3}$
$x_{0}$ $=$ $- 3$
$\Rightarrow P_{x} (- 3 | 0)$

$f (x) = - \frac{3}{4} x - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - \frac{3}{4} x - 1$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 1)$
$\Rightarrow m_{f} = - \frac{3}{4}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$- \frac{3}{4} x - 1$ $=$ $0$ $+ 1$
$- \frac{3}{4} x$ $=$ $1$ $: (- \frac{3}{4})$
$x_{0}$ $=$ $- \frac{4}{3}$
$\Rightarrow P_{x} (- \frac{4}{3} | 0)$

$f (x) = - 3 x + \frac{5}{10}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - 3 x + \frac{5}{10}$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | \frac{5}{10})$
$\Rightarrow m_{f} = - 3$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$- 3 x + \frac{5}{10}$ $=$ $0$ $- \frac{5}{10}$
$- 3 x$ $=$ $- \frac{1}{2}$ $: (- 3)$
$x_{0}$ $=$ $\frac{1}{6}$
$\Rightarrow P_{x} (\frac{1}{6} | 0)$

$f (x) = \frac{5}{7} x - \frac{12}{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = \frac{5}{7} x - \frac{12}{4} = \frac{5}{7} x - 3$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 3)$
$\Rightarrow m_{f} = \frac{5}{7}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\frac{5}{7} x - 3$ $=$ $0$ $+ 3$
$\frac{5}{7} x$ $=$ $3$ $: \frac{5}{7}$
$x_{0}$ $=$ $\frac{21}{5}$
$\Rightarrow P_{x} (\frac{21}{5} | 0)$

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade hat die Steigung $a_{1}$ und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

$a_{1} = \frac{1}{2}$ $P (4 | - 2)$

$a_{1} = \frac{3}{4} P (1 | - 3)$

$a_{1} = 2 P (3 | - 1)$

$a_{1} = \frac{4}{5} P (\frac{3}{2} | 4)$

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Betrachte folgende Graphen.
Bestimme die Funktionsgleichungen von allen 4 Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
$f (x) : y = m_{f} x + b_{f}$
Um die Geradengleichung von f zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden f liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $A (0 | 3)$ und $B (4 | 2)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von f mit der Formel.
$m_{f} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$
Setz die Werte ein.
$m_{f} = \frac{2 - 3}{4 - 0} = - \frac{1}{4}$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{f}$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf f liegt, oder abliest, bei welchem Wert f die y-Achse schneidet.
$f (x) : y = m_{f} x + b_{f}$
Setz zum Beispiel $A$ ein.
$3 = - \frac{1}{4} \cdot 0 + b_{f}$
Vereinfache.
$3 = b_{f} \Rightarrow b_{f} = 3$
Also lautet die Geradengleichung $f (x) = - \frac{1}{4} \cdot x + 3$ .
$g (x) : y = m_{g} x + b_{g}$
Um die Geradengleichung von g zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden g liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $C (- 4 | 0)$ und $D (0 | 1)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von g mit der Formel.
$m_{g} = \frac{y_{D} - y_{C}}{x_{D} - x_{C}}$
Setz die Werte ein.
$m_{g} = \frac{1 - 0}{0 - (- 4)} = \frac{1}{4}$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{g}$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf g liegt, oder abliest, bei welchem Wert g die y-Achse schneidet.
$g (x) : y = m_{g} x + b_{g}$
Setz zum Beispiel $D$ ein.
$1 = \frac{1}{4} \cdot 0 + b_{g}$
Vereinfache.
$1 = b_{g} \Rightarrow b_{g} = 1$
Also lautet die Geradengleichung $g (x) = \frac{1}{4} \cdot x + 1$ .
$h (x) : y = m_{h} x + b_{h}$
Um die Geradengleichung von h zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden h liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $E (- 1 | 0)$ und $A (0 | 3)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von h mit der Formel.
$m_{h} = \frac{y_{A} - y_{E}}{x_{A} - x_{E}}$
Setz die Werte ein.
$m_{h} = \frac{3 - 0}{0 - (- 1)} = 3$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{h}$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf h liegt, oder abliest, bei welchem Wert h die y-Achse schneidet.
$h (x) : y = m_{h} x + b_{h}$
Setz zum Beispiel $A$ ein.
$3 = 3 \cdot 0 + b_{h}$
Vereinfache.
$3 = b_{h} \Rightarrow b_{h} = 3$
Also lautet die Geradengleichung $h (x) = 3 \cdot x + 3$ .
$i (x) : y = m_{i} x + b_{i}$
Um die Geradengleichung von i zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden i liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $F (0 | - 3)$ und $S (6 | 0)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von i mit der Formel.
$m_{i} = \frac{y_{S} - y_{F}}{x_{S} - x_{F}}$
Setz die Werte ein.
$m_{i} = \frac{0 - (- 3)}{6 - 0} = \frac{1}{2}$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{i}$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf i liegt, oder abliest, bei welchem Wert i die y-Achse schneidet.
$i (x) : y = m_{i} x + b_{i}$
Setz zum Beispiel $F$ ein.
$- 3 = \frac{1}{2} \cdot 0 + b_{i}$
Vereinfache.
$- 3 = b_{i} \Rightarrow b_{i} = - 3$
Also lautet die Geradengleichung $i (x) = \frac{1}{2} \cdot x - 3$ .

Bestimme den Schnittpunkt von g und h , sowie die Nullstelle von f.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Schnittpunkt $P (x_{p} | y_{p})$ von g und h
Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach $x$ um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) $g (x) : y = \frac{1}{4} x + 1$ und $h (x) : y = 3 x + 3$ .
$\frac{1}{4} x_{P} + 1$ $=$ $3 x_{P} + 3$ $- 3 x_{p} - 1$
↓
Subtrahiere $3 x_{P}$ und 1.
$- \frac{11}{4} x_{P}$ $=$ $2$ $\div (- \frac{11}{4})$
↓
Dividiere durch $- \frac{11}{4}$ .
$x_{p}$ $=$ $- \frac{8}{11}$
Setz nun $- \frac{8}{11}$ in die Geradengleichung von g oder h ein, um $y_{P}$ zu bestimmen.
$h (x_{P}) : y_{P} = 3 \cdot x_{P} + 3$
Setz $x_{P}$ ein.
$y_{P} = 3 \cdot (- \frac{8}{11}) + 3 = \frac{9}{11}$
Die Geraden g und h schneiden sich also bei $P (- \frac{8}{11} | \frac{9}{11})$ .
Die Nullstelle $x_{N_{f}}$ von f bestimmst du, indem du die Funktionsgleichung $f (x) : y = - \frac{1}{4} x + 3$ mit 0 gleichsetzt und nach $x$ umformst.
$- \frac{1}{4} x_{N_{f}} + 3$ $=$ $0$ $- 3$
$- \frac{1}{4} x_{N_{f}}$ $=$ $- 3$ $: \frac{1}{4}$
$x_{N_{f}}$ $=$ $12$
Die Nullstelle von f ist also 12.

Berechne die beiden Schnittpunkte, die außerhalbdes Bildbereichs liegen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Der Schnittpunkt von h und i und der Schnittpunkt von g und i liegen außerhalb des Bildbereichs.
Schnittpunkt $T (x_{T} | y_{T})$ von h und i
Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach $x$ um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) $h (x) : y = 3 x + 3$ und $i (x) : y = \frac{1}{2} x - 3$ .
$3 x_{T} + 3$ $=$ $\frac{1}{2} x_{T} - 3$ $- \frac{1}{2} x - 3$
$\frac{5}{2} x_{T}$ $=$ $- 6$ $: \frac{5}{2}$
$x_{T}$ $=$ $- \frac{12}{5}$
Setz nun $- \frac{12}{5}$ in die Geradengleichung von h oder i ein, um $y_{T}$ zu bestimmen.
$h (x_{T}) : y_{T} = 3 \cdot x_{T} + 3$
Setz $x_{T}$ ein.
$y_{T} = 3 \cdot (- \frac{12}{5}) + 3 = - \frac{21}{5}$
Die Geraden h und i schneiden sich also bei $T (- \frac{12}{5} | - \frac{21}{5})$ .
Schnittpunkt $Q (x_{Q} | y_{Q})$ von g und i
Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach $x$ um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) $g (x) : y = \frac{1}{4} x + 1$ und $i (x) : y = \frac{1}{2} x - 3$ .
$\frac{1}{4} x_{Q} + 1$ $=$ $\frac{1}{2} x_{Q} - 3$ $- \frac{1}{2} x - 1$
$- \frac{1}{4} x_{Q}$ $=$ $- 4$ $: (- \frac{1}{4})$
$x_{Q} = 16$
Setz nun $16$ in die Geradengleichung von g oder i ein, um $y_{Q}$ zu bestimmen.
$g (x_{Q}) : y_{Q} = \frac{1}{4} \cdot x_{Q} + 1$
Setz $x_{Q}$ ein.
$y_{Q} = \frac{1}{4} \cdot 16 + 1 = 5$
Die Geraden g und i schneiden sich also bei $Q (16 | 5)$ .

Wie viele Schnittpunkte gibt es höchstens bei vier Geraden, die jeweils nicht parallel sind?
Schnittpunkte kann es höchstens geben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Es gibt insgesamt 6 Schnittpunkte, nämlich die folgenden:
f und g
f und h
f und i
g und h
g und i
h und i
7
Löse die folgenden Aufgaben.
Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte $P (0 | 3)$ und $Q (2 | - 3)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: allgemeine Geradengleichung
Gegeben: Punkt $P (0 | 3)$ und Punkt $Q (2 | - 3)$
Setze die x-Werte (erste Koordinate) und die y-Werte (zweite Koordinate) in die allgemeine Geradengleichung ein.
$3 = m \cdot 0 + t$
$- 3 = m \cdot 2 + t$
Bei der ersten Gleichung kannst du sofort ablesen, dass $t = 3$ . Dieses $t$ kannst du in die zweite Gleichung einsetzen, um $m$ auszurechnen.
$- 3$ $=$ $m \cdot 2 + 3$ $- 3$
$- 6$ $=$ $m \cdot 2$ $: 2$
$- 3$ $=$ $m$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = - 3 x + 3$

Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte $P (1 | 3)$ und $Q (3 | - 1)$ auf.

Gegeben: Punkt $P (1 | 3)$ und $Q (3 | - 1)$
Berechne die Differenz der beiden x-Werte und der beiden y-Werte, um die Steigung zu bestimmen.
x-Werte: $3 - 1 = 2$
y-Werte: $- 1 - 3 = - 4$
Während der x-Wert um $2$ steigt, nimmt der y-Wert um $4$ ab. Dividiere den y-Wert durch den x-Wert, um die Steigung auszurechnen.
$m = \frac{- 4}{2} = - 2$
Setze m, den x-Wert und den y-Wert eines der Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein, um $t$ zu bestimmen.
$3$ $=$ $- 2 \cdot 1 + t$
$3$ $=$ $- 2 + t$ $+ 2$
$t$ $=$ $5$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein, um die Gleichung der Funktion aufzustellen.
$y = - 2 x + 5$

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade verläuft durch die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

$P_{1} (2 | 1) P_{2} (5 | 4)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = m \cdot x + t$
Wende das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{l} 1) 1 = m \cdot 2 + t \\ 2) 4 = m \cdot 5 + t \end{array}$
$1) - 2) - 3$ $=$ $- 3 m$ $: (- 3)$
$m$ $=$ $1$
Setze m in 1) ein.
$1$ $=$ $1 \cdot 2 + t$ $- 2$
$t$ $=$ $- 1$
Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = x - 1 \Rightarrow f (x) = x - 1$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
$x - 1$ $=$ $0$ $+ 1$
$x_{N}$ $=$ $1$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (1 | 0)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt (t) $\Rightarrow S_{2} (0 | - 1)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
$P_{1} (- 3 | - 2) P_{2} (2 | 3)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} y = m \cdot x + t \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) - 2 = m \cdot (- 3) + t \\ 2) 3 = m \cdot 2 + t \end{array} \end{array}$
$1) - 2) - 5$ $=$ $- 5 m$ $: (- 5)$
$m$ $=$ $1$
↓
Setze m in 2) ein.
$3$ $=$ $2 + t$ $- 2$
$t$ $=$ $1$
↓
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y$ $=$ $x + 1 \Rightarrow f (x) = x + 1$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
$x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$x_{N}$ $=$ $- 1$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (- 1 | 0)$ .
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S (0 | 1)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$
oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

$P_{1} (- 2 | 3) P_{2} (4 | - 1)$

$P_{1} (- 4 | - 1) P_{2} (3 | 1)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
$\begin{array}{l} y = mx + t \end{array}$
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) - 1 = - 4 m + t \\ 2) 1 = 3 m + t \end{array} \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1) - 2)$
$- 2$ $=$ $- 7 m$ $: (- 7)$
$m$ $=$ $\frac{2}{7}$
↓
Setze $m$ in $2)$ ein.
$1$ $=$ $\frac{2}{7} \cdot 3 + t$ $- \frac{6}{7}$
$t$ $=$ $1 - \frac{6}{7}$
$t$ $=$ $\frac{1}{7}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = \frac{2}{7} x + \frac{1}{7} \Rightarrow f (x) = \frac{2}{7} x + \frac{1}{7}$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze $y = 0$ , um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen
$\frac{2}{7} x + \frac{1}{7}$ $=$ $0$ $- \frac{1}{7}$
$\frac{2}{7} x$ $=$ $- \frac{1}{7}$ $: \frac{2}{7}$
$x$ $=$ $\frac{- \frac{1}{7}}{\frac{2}{7}}$
↓
Dividiere die Brüche. $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$ $=$ $- \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{2}$
$x_{N}$ $=$ $- \frac{1}{2}$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (- \frac{1}{2} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S_{2} (0 | \frac{1}{7})$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung sieben nach rechts und zwei nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
$P_{1} (- 3 | \frac{9}{2}) P_{2} (4 | - 1)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
$\begin{array}{l} y = mx + t \end{array}$
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) \frac{9}{2} = - 3 m + t \\ 2) - 1 = 4 m + t \end{array} \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1) - 2) :$
$\frac{11}{2}$ $=$ $- 7 m$ $: (- 7)$
$m$ $=$ $\frac{\frac{11}{2}}{- 7}$
$m$ $=$ $- \frac{11}{14}$
Setze $m$ in $2)$ ein.
$- 1$ $=$ $- \frac{11}{14} \cdot 4 + t$
$- 1$ $=$ $- \frac{44}{14} + t$ $+ \frac{44}{14}$
$\begin{array}{l} t = \frac{30}{14} \end{array}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = - \frac{11}{14} x + \frac{30}{14}$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen.
$- \frac{11}{14} x + \frac{30}{14}$ $=$ $0$ $- \frac{30}{14}$
$- \frac{11}{14} x$ $=$ $- \frac{30}{14}$ $: (- \frac{11}{14})$
↓
Dividiere die Brüche. Das heißt multipliziere mit dem Kehrbruch.
$x$ $=$ $- \frac{30}{14} \cdot (- \frac{14}{11})$
$x_{N}$ $=$ $\frac{30}{11}$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (\frac{30}{11} | 0)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S (0 | \frac{30}{14})$
Zeichnung
Verbinde die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 14 nach rechts und 11 nach unten und verbinde diese beiden Punkte.
$P_{1} (- 4 | - 2) P_{2} (\frac{7}{2} | 4)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
$\begin{array}{l} y = mx + t \end{array}$
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) - 2 = - 4 m + t \\ 2) 4 = 3,5 m + t \end{array} \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1) - 2)$ :
$- 6$ $=$ $- 7,5 m$ $: (- 7,5)$
$m$ $=$ $\frac{- 6}{- 7,5}$
$m$ $=$ $0,8$
↓
Setze $m$ in $1)$ ein.
$- 2$ $=$ $0,8 \cdot (- 4) + t$
$- 2$ $=$ $- 3,2 + t$ $+ 3,2$
$\begin{array}{l} t = 1,2 \end{array}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = 0,8 x + 1,2 \Rightarrow f (x) = 0,8 x + 1,2$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze $y = 0$ , um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen
$0,8 x + 1,2$ $=$ $0$ $- 1,2$
$0,8 x$ $=$ $- 1,2$ $: 0,8$
$x$ $=$ $\frac{- 1,2}{0,8}$
$x_{N} = - 1,5$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (- 1,5 | 0)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S (0 | 1,2)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 0,8 nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

9
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte $P (0 | 3)$ und $Q (2 | - 3)$ ? Wie lautet also die Funktionsgleichung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Steigung
Bestimme die Steigung $m$ .
$m = \frac{△ y}{△ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
Setze die beiden Punkte in die Formel für die Steigung ein.
$m = \frac{3 - (- 3)}{0 - 2} = \frac{6}{- 2} = - 3$
Funktionsgleichung
Bestimme die Funktionsgleichung.
$y = m \cdot x + t$
Setze m in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = - 3 x + t$
Setze einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung ein.
$3 = - 3 \cdot 0 + t$
$t = 3$
Setze t in die Funktionsgleichung ein.
$\Rightarrow f (x) = - 3 x + 3$

Zeichne die Geraden $y = 3 x - 2$ und $y = - \frac{3}{4} x + 1$ in ein Koordinatensystem. Bestimme die Nullstellen und den Schnittpunkt der Geraden.

11
Zeichne die folgenden Geraden und gib den Funktionsterm an.
$G_{f}$ hat die Steigung $\frac{3}{4}$ und schneidet die y-Achse bei $- 2$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
Funktionsterm aufstellen
$m = \frac{3}{4}; t = - 2$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung $y = m x + t$ ein.
$\Rightarrow y = \frac{3}{4} x - 2$
Gerade zeichnen
Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden, z. B. den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse $(0 | - 2)$ . Gehe von dort $1$ nach rechts und entsprechend der Steigung $m = \frac{3}{4}$ nach oben (Alternativ auch die vierfache Länge, um Brüche zu vermeiden: $4$ nach rechts und $3$ nach oben). Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.

$G_{f}$ hat die Steigung $0$ und schneidet die y-Achse bei $3$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
Funktionsterm aufstellen
$m = 0; t = 3$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung $y = m x + t$ ein.
$\Rightarrow y = 3$
Gerade zeichnen
Die Gerade verläuft durch den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse $(0 | 3)$ parallel zur $x$ -Achse, da die Gerade die Steigung $0$ hat.

$G_{f}$ geht durch den Punkt $P (- 3 | - 2)$ und ist parallel zur $x$ -Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
Funktionsterm aufstellen
Da die Gerade parallel zur $x$ -Achse liegt, ist ihre Steigung $0$ $\Rightarrow m = 0$ .
Die Gerade geht durch den Punkt $(- 3 | - 2)$ . Da die Steigung $0$ ist, hat die Gerade bei $x = 0$ den y-Wert $- 2$ .
Ihr $y$ -Achsenabschnitt liegt also bei $- 2 \Rightarrow t = - 2.$
$m = 0; t = - 2$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Funktion $y = m x + t$ ein.
$y = - 2$
Gerade zeichnen
Die Gerade verläuft durch den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse $(0 | - 2)$ parallel zur $x$ -Achse, da die Gerade die Steigung $0$ hat.

$G_{f}$ geht durch den Punkt $P (- 4 | 2)$ und ist parallel zur $y$ -Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
Funktionsterm aufstellen
Diese Gerade kann nicht durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden. Die Steigung wäre unendlich groß.

Wir können die Gerade aber trotzdem zeichnen.
Gerade zeichnen
Die Gerade verläuft durch den Punkt $(- 4 | 2)$ parallel zur $y$ -Achse.
12
Bestimme von folgenden Geraden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
$y = - 2 x + 3,5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & - 2 x + 3,5 & | + 2 x \\ 2 x & = & 3,5 & | : 2 \\ x & = & 1,75 \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (1,75 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = - 2 \cdot 0 + 3,5$
$y = 3,5$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | 3,5)$ .

$y = 5 x - 7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & 5 x - 7 & | + 7 \\ 5 x & = & 7 & | : 5 \\ x & = & \frac{7}{5} = 1,4 \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (1,4 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = 5 \cdot 0 - 7$
$y = - 7$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | - 7)$ .

$y = \frac{3}{2} x + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & \frac{3}{2} x + 2 & | - 2 \\ \frac{3}{2} x & = & - 2 & | \cdot \frac{2}{3} \\ x & = & - \frac{4}{3} \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (- \frac{4}{3} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = \frac{3}{2} \cdot 0 + 2$
$y = 2$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | 2)$ .

$y = - \frac{2}{5} x + \frac{5}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & - \frac{2}{5} x + \frac{5}{2} & | + \frac{2}{5} x \\ \frac{2}{5} x & = & \frac{5}{2} & | \cdot \frac{5}{2} \\ x & = & \frac{25}{4} = 6,25 \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (6,25 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = - \frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{5}{2}$
$y = \frac{5}{2} = 2,5$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | 2,5)$ .

$y = 2 (x - \frac{2}{3})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Klammer auflösen
Um eine allgemeine Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ zu erhalten, multipliziere die Klammer aus.
$y = 2 (x - \frac{2}{3})$
$y = 2 x - \frac{4}{3}$
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & 2 x - \frac{4}{3} & | + \frac{4}{3} \\ 2 x & = & \frac{4}{3} & | : 2 \\ x & = & \frac{2}{3} \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} ( \frac{2}{3} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein und löse nach $x$ auf.
$y = 2 \cdot 0 - \frac{4}{3}$
$y = - \frac{4}{3}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | - \frac{4}{3})$ .

$y = - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Gleichung umstellen
Um eine allgemeine Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ zu erhalten, vertausche auf der rechten Seite beide Elemente.
$y = - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x$
$= - \frac{1}{2} x - \frac{4}{3}$
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x & | + \frac{1}{2} x \\ \frac{1}{2} x & = & - \frac{4}{3} & | \cdot 2 \\ x & = & - \frac{8}{3} = - 2 \frac{2}{3} \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} ( - \frac{8}{3} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = - \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{4}{3}$
$y = - \frac{4}{3}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | - \frac{4}{3})$ .
13
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Prüfe, ob die Geraden $g, h, i$ durch einen Punkt verlaufen.
$g (x) = x + 1; h : 2 y + x + 4 = 0; i : 3 y - 5 x = 7$
Ja sie verlaufen durch einen Punkt.
Nein, sie verlaufen nicht durch einen Punkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Geraden
Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form $y = m x + t$ .
Gerade g:
$g (x) = x + 1$
$\Leftrightarrow y = x + 1$
Gerade h:
$2 y + x + 4 = 0$
$\Leftrightarrow 2 y = - x - 4$
$\Leftrightarrow y = - \frac{1}{2} x - 2$
Gerade i:
$3 y - 5 x = 7$
$\Leftrightarrow 3 y = 5 x + 7$
$\Leftrightarrow y = \frac{5}{3} x + \frac{7}{3}$
Bestimme den Schnittpunkt von g und h
Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
$x + 1$ $=$ $- \frac{1}{2} x - 2$ $+ \frac{1}{2} x - 1$
↓
Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$x + \frac{1}{2} x$ $=$ $- 2 - 1$
↓
Fasse zusammen.
$\frac{3}{2} x$ $=$ $- 3$ $: \frac{3}{2}$
$x$ $=$ $- 2$
Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
$y = - 2 + 1 = - 1$
Der Schnittpunkt ist $S_{g h} (- 2 | - 1) .$
Bestimme den Schnittpunkt von g und i
Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
$x + 1$ $=$ $\frac{5}{3} x + \frac{7}{3}$ $- \frac{5}{3} x - 1$
↓
Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$x - \frac{5}{3} x$ $=$ $\frac{7}{3} - 1$
↓
Fasse zusammen.
$- \frac{2}{3} x$ $=$ $\frac{4}{3}$ $: (- \frac{2}{3})$
$x$ $=$ $- 2$
Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
$y = - 2 + 1 = - 1$
Der Schnittpunkt ist $S_{g i} (- 2 | - 1) .$
Da sich $g$ mit $h$ und mit $i$ im selben Punkt schneidet, schneiden sich auch $h$ und $i$ in diesem Punkt. Die Geraden laufen also alle durch den Punkt $(- 2 | - 1)$ .

$g (x) = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}; h (x) = - \frac{2}{3} x + 2; i : 2 x - y = 3$
Ja sie verlaufen durch einen Punkt.
Nein, sie verlaufen nicht durch einen Punkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Geraden
Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form $y = m x + t$ .
Gerade g:
$g (x) = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$
Gerade h:
$h (x) = - \frac{2}{3} x + 2$
$\Leftrightarrow y = - \frac{2}{3} x + 2$
Gerade i:
$2 x - y = 3$
$\Leftrightarrow y = 2 x - 3$
Bestimme den Schnittpunkt von g und h
Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
$\frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$ $=$ $- \frac{2}{3} x + 2$ $+ \frac{2}{3} x - \frac{3}{2}$
↓
Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\frac{1}{6} x + \frac{2}{3} x$ $=$ $2 - \frac{3}{2}$
↓
Fasse zusammen.
$\frac{5}{6} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $: \frac{5}{6}$
$x$ $=$ $\frac{3}{5}$
Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
$y = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{2}$
$= \frac{1}{10} + \frac{3}{2} = \frac{16}{10}$
$= \frac{8}{5}$
Der Schnittpunkt ist $S_{g h} (\frac{3}{5} | \frac{8}{5}) .$
Bestimme den Schnittpunkt von g und i
Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
$\frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$ $=$ $2 x - 3$ $- 2 x - \frac{3}{2}$
↓
Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\frac{1}{6} x - 2 x$ $=$ $- 3 - \frac{3}{2}$
↓
Fasse zusammen.
$- \frac{11}{6} x$ $=$ $- \frac{9}{2}$ $: (- \frac{11}{6})$
$x$ $=$ $\frac{9}{2} \cdot \frac{6}{11} = \frac{27}{11}$
Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
$y = \frac{1}{6} \cdot \frac{27}{11} + \frac{3}{2}$
$= \frac{9}{22} + \frac{3}{2} = \frac{42}{22}$
$= \frac{21}{11}$
Der Schnittpunkt ist $S_{g i} (\frac{27}{11} | \frac{21}{11}) .$
Damit schneidet die Gerade $g$ die Gerade $h$ in einem anderen Punkt als die Gerade $i$ . Also laufen die Geraden nicht durch einen Punkt.
14
Stelle die Funktionsgleichung für die Gerade durch die Punkte P(-25|30) und Q(55|-30) auf und berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung ermitteln
P(-25|30); Q(55|-30)
Ermittle die Steigung m der allgemeinen Geradengleichung mithilfe des Differenzenqotienten .
$m = \frac{30 - (- 30)}{- 25 - 55} = \frac{60}{- 80} = - \frac{3}{4}$
Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. P(-25|30) in die allgemeine Geradengleichung ein.
$30 = \frac{- 3}{4} (- 25) + t$
Vereinfache: $\frac{- 3}{4} (- 25) = \frac{- 3 (- 25)}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4} = \frac{75}{4}$
$30$ $=$ $\frac{75}{4} + t$ $- \frac{75}{4}$
↓
Löse nach t auf.
$t$ $=$ $30 - \frac{75}{4}$
$t$ $=$ $\frac{45}{4}$
↓
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\Rightarrow y = - \frac{3}{4} x + \frac{45}{4}$
Schnittpunkt mit der x-Achse
An der Schnittstelle mit der x-Achse ist der y-Wert 0.
$0 = \frac{- 3}{4} x + \frac{45}{4}$
Nach x auflösen. Stelle dafür das x alleine durch: $| \cdot \frac{- 4}{3}$
Beachte, dass bei beide Summanden multipliziert werden müssen.
$0 = \frac{(- 3) (- 4)}{4 \cdot 3} x + \frac{45 (- 4)}{4 \cdot 3}$
$\frac{(- 3) (- 4)}{4 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 4}{12} = \frac{12}{12} = 1$
$0 = x + \frac{- 180}{12}$
$0 = x - 15$
Addiere 15
$x = 15$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei S(15|0).
15
Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch …
den Punkt $P (- 3 | 4)$ geht und parallel ist zur $x$ -Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Parallel zur $x$ -Achse, das heißt die gleiche Steigung wie die $x$ -Achse, also $m = 0$ .
$m$ und $P$ in die allgemeine Geradengeleichung einsetzen.
$\begin{array}{rcl} 4 & = & 0 \cdot (- 3) + t \\ 4 & = & t \end{array}$
Zur Geradengleichung zusammensetzen.
$y = 0 \cdot x + 4 = 4$

den Punkt $Q (2 | 5)$ geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 2.Quadranten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Parallel zur Winkelhalbierenden des 2. Quadranten bedeutet gleiche Steigung.
Die Steigung der Winkelhalbierenden des 2. Quadranten ist -1
$\Rightarrow m = - 1$
$m$ in die Geradengleichung einsetzen und damit $t$ berechnen.
$\begin{array}{rcl} 5 & = & - 2 + t & | + 2 \\ t & = & 7 \end{array}$
$m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung einsetzen.
$y = - 1 \cdot x + 7 = - x + 7$

den Punkt $R (- 4 | 2)$ geht und parallel ist zur $y$ -Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Parallel zur $y$ -Achse, d.h. keine Funktionsgleichung, da einem $x$ -Wert unendlich viele $y$ -Werte zugeordnet werden. Die Gerade kann also nur als der $x$ -Wert von $R$ beschrieben werden.
$\Rightarrow x = - 4$

den Punkt $S (2 | - 3)$ geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 1.Quadranten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten bedeutet die gleiche Steigung.
Die Steigung der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten ist 1.
$\Rightarrow m = 1$
Setze m und S in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
$\begin{array}{rcl} - 3 & = & 2 + t & | - 2 \\ t & = & - 5 \end{array}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\Rightarrow y = x - 5$

den Ursprung geht und parallel ist zur Geraden $AB$ mit $A (- 72 | - 60)$ und $B (- 24 | - 20)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Durch den Ursprung, das heißt $y$ -Achsenabschnitt $t = 0$
Parallel zur Geraden $AB$ , bedeutet die gesuchte Gerade hat die gleiche Steigung wie $AB$ .
$A (- 72 | - 60); B (- 24 | - 20)$
Berechne die Steigung $m$ mithilfe des Differenzenquotienten .
$m = \frac{- 20 - (- 60)}{- 24 - (- 72)} = \frac{40}{48} = \frac{5}{6}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\Rightarrow y = \frac{5}{6} x$
16
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Prüfen Sie, ob die Gerade durch $P_{1}$ und $P_{2}$ eine Ursprungsgerade ist.
$P_{1} (2 | 4); P_{2} (- 1,5 | - 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
Setze die beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein:
$y = mx + t$
$\begin{aligned} 1) & 4 & = & 2 m + t \\ 2) & - 3 & = & - 1,5 m + t & | \cdot (- 1) \end{aligned}$
$\begin{aligned} 1) & 4 & = & 2 m + t \\ 2) & 3 & = & 1,5 m - t \end{aligned}$
Wende das Additionsverfahren an.
Berechne $1) + 2)$ .
$7$ $=$ $3,5 m$ $: 3,5$
$m$ $=$ $\frac{7}{3,5}$
$m$ $=$ $2$
Setze m in eine der beiden Funktionen ein.
$4$ $=$ $2 \cdot 2 + t$
$4$ $=$ $4 + t$ $- 4$
$t$ $=$ $4 - 4$
$t$ $=$ $0$
$y = 2 x$
Die Gerade durch $P_{1}$ und $P_{2}$ ist eine Ursprungsgerade, da für $x = 0$ der y-Wert gleich $0$ ist.

$P_{1} (- 1 | 3,5); P_{2} (2 | - 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
Setze die beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein:
$y = m x + t$
$\begin{array}{l} 1) 3,5 = - 1 m + t \\ 2) - 2 = 2 m + t \end{array}$
Löse das lineare Gleichungssysten zum Beispiel mit dem Additionsverfahren.
Multipliziere dafür zunächst die Gleichung $1)$ auf beiden Seiten mit $(- 1)$
$\begin{array}{l} 1) - 3,5 = m - t \\ 2) - 2 = 2 m + t \end{array}$
Berechne $1) + 2)$
$- 5,5$ $=$ $3 m$
$- \frac{11}{2}$ $=$ $3 m$ $: 3$
$- \frac{11}{2 \cdot 3}$ $=$ $m$
$- \frac{11}{6}$ $=$ $m$
Setze $m$ in eine der beiden Gleichungen ein
$- 2$ $=$ $2 \cdot (- \frac{11}{6}) + t$
$- 2$ $=$ $- \frac{11}{3} + t$ $+ \frac{11}{3}$
$- \frac{6}{3} + \frac{11}{3}$ $=$ $t$
$- \frac{5}{3}$ $=$ $t$
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung.
$m = - \frac{11}{6}; t = \frac{5}{3}$
$y = - \frac{11}{6} \cdot x + \frac{5}{3}$
Die Gerade durch $P_{1}$ und $P_{2}$ ist keine Ursprungsgerade, da für $x = 0$ der y-Wert gleich $\frac{5}{3}$ ist.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zwei Geraden $f (x)$ und $g (x)$ schneiden sich auf der x-Achse in x=4.
Bestimmen Sie mögliche Funktionsterme.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Für diese Aufgabe gibt es keine eindeutige Lösung. Gesucht sind zwei verschiedenen lineare Funktionen, die beide durch den Punkt (4|0) laufen.
Ein sehr einfaches Beispiel wäre $f (x) = 0$ , also die x-Achse und $g (x) = x - 4$ . $f (x)$ läuft offensichtlich durch (4|0). Für g(x) lässt sich das auch sehr einfach überprüfen: $g (4) = 4 - 4 = 0$ .
Andere mögliche Funktionen sind: $y = - x + 4$ , $y = 2 x - 8$ (allgemein $y = a x - 4 a$ für beliebige a)
Überlege durch welchen Punkt beide Geraden gehen müssen.
Bestimme zwei verschiedene Funktionen, die durch diesen Punkt gehen.
18
Funktiongleichung bestimmen.
Eine Gerade hat den y-Achsenabschnitt $t$ und verläuft durch den Punkt $P$ . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) und zeichnen Sie den Graphen.
$t = - 1$ $P = (2 | 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung:
$y = m \cdot x + t$
Setze $t$ in die Geradengleichung ein.
$f (x) = m \cdot x - 1$
Setze nun den Punkt $P$ in $f (x)$ ein.
$3 = m \cdot 2 - 1$
Löse nach m auf.
$m = (3 + 1) : 2 = 2$
$f (x) = 2 x - 1$
Zeichnung:

$t = 3$ $P (- 4 | - 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung:
$y = m \cdot x + t$
Setze $t$ in die Geradengleichung ein.
$f (x) = m \cdot x + 3$
Setze nun den Punkt $P$ in $f (x)$ ein.
$- 3 = m \cdot (- 4) + 3$
Löse nach $m$ auf.
$m = \frac{- 6}{- 4} = \frac{3}{2}$
$f (x) = \frac{3}{2} x + 3$
Zeichnung:
19
Stelle die Gleichung der Geraden durch die zwei Punkte auf und zeichne sie.
$P (2 | 0)$ und $Q (- 2 | 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Geradengleichung ermitteln
$P (2 | 0); Q (- 2 | 2)$
Ermittle die Steigung $m$ der allgemeinen Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ mithilfe des Differenzenqotienten .
$m = \frac{2 - 0}{- 2 - 2} = \frac{2}{- 4} = - \frac{1}{2}$
Setze $m$ und die Koordinaten eines Punktes z. B. $P (2 | 0)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
$0 = - \frac{1}{2} \cdot 2 + t | + \frac{1}{2} \cdot 2$
$t = 1$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\Rightarrow$ $y = - \frac{1}{2} x + 1$
Gerade zeichnen
Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P (2 | 0)$ und $Q (- 2 | 2)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.

$P (0,5 | 1,5)$ und $Q (5 | 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Geradengleichung ermitteln
$P (0,5 | 1,5); Q (5 | 3)$
Ermittle die Steigung $m$ der allgemeinen Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ mithilfe des Differenzenqotienten.
$m = \frac{3 - 1,5}{5 - 0,5} = \frac{1,5}{4,5} = \frac{1}{3}$
Setze $m$ und die Koordinaten eines Punktes z. B. $Q (5 | 3)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
$3 = \frac{1}{3} \cdot 5 + t | - \frac{1}{3} \cdot 5$
$t = \frac{4}{3}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\Rightarrow$ $y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$
Gerade zeichnen
Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P (0,5 | 1,5)$ und $Q (5 | 3)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.

$P (- 2 | 1)$ und $Q (6 | 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Geradengleichung ermitteln
$P (- 2 | 1)$ ; $Q (6 | 4)$
Ermittle die Steigung $m$ der allgemeinen Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ mithilfe des Differenzenqotienten .
$m = \frac{4 - 1}{6 - (- 2)} = \frac{3}{8}$
Setze $m$ und die Koordinaten eines Punktes z. B. $P (- 2 | 1)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
$1 = \frac{3}{8} \cdot (- 2) + t$
$1 = - \frac{6}{8} + t$
$1 = - \frac{3}{4} + t | + \frac{3}{4}$
$t = \frac{7}{4}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\Rightarrow$ $y = \frac{3}{8} x + \frac{7}{4}$
Gerade zeichnen
Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P (- 2 | 1)$ und $Q (6 | 4)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.

$P (- 4 | 1)$ und $Q (1 | - 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Geradengleichung ermitteln
$P (- 4 | 1)$ ; $Q (1 | - 1)$
Ermittle die Steigung $m$ der allgemeinen Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ mithilfe des Differenzenqotienten.
$m = \frac{- 1 - 1}{1 - (- 4)} = - \frac{2}{5}$
Setze $m$ und die Koordinaten eines Punktes z. B. $P (- 4 | 1)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
$1 = - \frac{2}{5} \cdot (- 4) + t$
$1 = \frac{8}{5} + t | - \frac{8}{5}$
$t = - \frac{3}{5}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\Rightarrow$ $y = - \frac{2}{5} x - \frac{3}{5}$
Gerade zeichnen
Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P (- 4 | 1)$ und $Q (1 | - 1)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
20
Gegeben sind die Geraden $g : y = 2 x - 3$ und $h : y = - 0,5 x + 3$ .
Überprüfe, ob die Punkte $A (1 | - 1)$ , $B (0,5 | 1,5)$ , $C (- 6 | 5)$ , $D (- 102 | 55)$ und $E (45 | 87)$ auf einer der Geraden liegen.
$A$ liegt auf einer der Geraden.
$B$ liegt auf keiner der Geraden.
$C$ liegt auf keiner der Geraden.
$D$ liegt auf einer der Geraden.
$E$ liegt auf einer der Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Überprüfung mit Skizze
Wähle jeweils einen beliebigen Punkt auf der Geraden, z. B. die y-Achsenabschnitte $(0 | - 3)$ und $(0 | 3)$ . Gehe von dort $1$ nach rechts und entsprechen der Steigungen $m_{g} = 2$ nach oben und $m_{h} = - 0,5$ nach unten. Verbinde jeweils die beiden Punkte zu einer Geraden.
Wenn du den Verlauf der Geraden betrachtest und beispielsweise die Lage des Punktes $A$ , so siehst du, dass dieser kaum auf der Geraden h, wahrscheinlich aber auf $g$ liegen wird. Ähnlich kannst du bei anderen Punkten entscheiden, ob sich eine rechnerische Überprüfung lohnt: Punkt $D (- 102 / 55)$ kann z. B. nur auf $h$ liegen.
Rechnerische Überprüfung
$A (1 | - 1)$ in $g$ einsetzen:
Setze die Koordinaten der Punkte in die fragliche Gleichung ein. Also setze $y = - 1$ und $x = 1$ ein.
$- 1 = 2 \cdot 1 - 3$
Das ist eine wahre Aussage.
⇒ $A$ liegt auf $g$ .
$B$ liegt auf keiner der Geraden. Das kann eindeutig der Skizze entnommen werden.
$C$ in $h$ einsetzen:
$5 = - 0,5 \cdot (- 6) + 3$
⇒ $5 = 3 + 3$
Diese Aussage ist falsch, also liegt $C$ nicht auf $h .$
$D$ in $h$ einsetzen:
$55 = - 0,5 \cdot (- 102) + 3$
⇒ $55 = 51 + 3$
Diese Aussage ist falsch, also liegt $D$ nicht auf $h$ .
$E$ in $g$ einsetzen:
$87 = 2 \cdot 45 - 3$
Diese Aussage ist richtig, also liegt $E$ auf $g$ .

Ergänze die Koordinaten so, dass die Punkte auf h liegen: P(5 | ?) , Q(-3,5 | ?) , R(? | 12) , S(? | -7,5).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Koordinaten ergänzen
$h : y = - 0,5 x + 3$ ; P(5|?)
Die gegebene Koordinate des Punktes (die x-Koordinate) wird in die Funktionsgleichung eingesetzt und daraus die fehlende y-Koordinate berechnet.
$y = - 0,5 \cdot 5 + 3 = - 2,5 + 3 = 0,5$
⇒ P(5|0,5)
Q: $y = - 0,5 \cdot (- 3,5) + 3 = 1,75 + 3 = 4,75$ $\Rightarrow$ Q(-3,5|4,75)
R: $12 = - 0,5 x + 3 \Rightarrow 0,5 x = - 9 \Rightarrow x = - 18$ $\Rightarrow$ R(-18|12)
S: $- 7,5 = - 0,5 x + 3 \Rightarrow 0,5 x = 10,5 \Rightarrow x = 21$ $\Rightarrow$ S(2 1|-7,5).

Zeige, dass T(2,4|1,8) auf beiden Geraden liegt. Was bedeutet dies?
$T$ liegt auf beiden Geraden. Das hat nichts zu bedeuten.
$T$ liegt gar nicht auf beiden Geraden.
$T$ liegt auf beiden Geraden. Damit muss $T$ ein Schnittpunkt sein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Beweis für T
T(2,4|1,8)
Die Koordinaten von T in beide Geradengleichungen einsetzen. Wenn die Aussagen wahr sind, liegt T auf den Geraden.
in g:
$1,8$ $=$ $2 \cdot 2,4 - 3$
$1,8$ $=$ $4,8 - 3$
$1,8$ $=$ $1,8$
in h:
$1,8$ $=$ $- 0,5 \cdot 2,4 + 3$
$1,8$ $=$ $- 1,2 + 3$
$1,8$ $=$ $1,8$
$\Rightarrow$ Beide Gleichungen ergeben richtige Aussagen, also liegt der Punkt T auf beiden Geraden.
$\Rightarrow$ T Ist der Schnittpunkt der Geraden

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$- 3 x + \frac{5}{4}$	$=$	$- x - 1$	$+ 3 x + 1$
$- x + 3 x$	$=$	$\frac{5}{4} + 1$
	↓	Addiere
$2 x$	$=$	$\frac{9}{4}$	$: 2$
$x$	$=$	$\frac{9}{8} = 1,125$

$2 y - x$	$=$	$3$	$+ x$
$2 y$	$=$	$3 + x$	$: 2$
$y$	$=$	$\frac{3}{2} + \frac{x}{2}$

$\frac{3}{2} + \frac{x}{2}$	$=$	$- \frac{1}{2} x + 4$	$+ \frac{x}{2} - 1,5$
$\frac{x}{2} + \frac{x}{2}$	$=$	$4 - 1,5$
	↓	Addiere und subtrahiere
$x$	$=$	$2,5$

$- \frac{2}{3} x - 1$	$=$	$\frac{1}{6} x - 4$	$+ \frac{2}{3} x + 4$
$\frac{1}{6} x + \frac{2}{3} x$	$=$	$- 1 + 4$
	↓	Addiere.
$\frac{5}{6} x$	$=$	$3$	$: \frac{5}{6}$
$x$	$=$	$3 : \frac{5}{6}$
	↓	Dividiere durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert
$x$	$=$	$3 \cdot \frac{6}{5}$
	↓	Multipliziere.
$x$	$=$	$\frac{18}{5}$

$y$	$=$	$\frac{1}{6} \cdot \frac{18}{5} - 4$
	↓	Multipliziere.
$y$	$=$	$\frac{3}{5} - 4$
	↓	Subtrahiere
$y$	$=$	$- 3,4$

$y$	$=$	$- \frac{3}{4} \cdot 2 - \frac{3}{2}$
	↓	Multipliziere.
$y$	$=$	$- \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$
	↓	Subtrahiere.
$y$	$=$	$- \frac{6}{2}$
	↓	Dividiere.
$y$	$=$	$- 3$

$\frac{1}{2} x + 2$	$=$	$- \frac{1}{2} x + 4$	$\| + \frac{1}{2} x - 2$
$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x$	$=$	$4 - 2$
$x_{S}$	$=$	$2$
	↓	Setze x in $g_{1} (x)$ ein.
$y$	$=$	$1 + 2$
$y_{S}$	$=$	$3$

$2 x - 1$	$=$	$- 2 x + 1$	$+ 2 x + 1$
$2 x + 2 x$	$=$	$1 + 1$
$4 x$	$=$	$2$	$: 4$
$x_{S}$	$=$	$\frac{1}{2}$
	↓	Setze x in $g_{1} (x)$ ein.
$y$	$=$	$2 \cdot \frac{1}{2} - 1$
$y$	$=$	$1 - 1$
$y_{S}$	$=$	$0$

$g_{1} (x)$	$=$	$g_{2} (x)$
$\frac{3}{4} x - 4$	$=$	$- \frac{1}{2} x - 1$	$+ \frac{1}{2} x + 4$
$\frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x$	$=$	$- 1 + 4$
$1,25 x$	$=$	$3$	$1,25$
$x$	$=$	$\frac{3}{1,25}$
$x_{S}$	$=$	$2,4$
	↓	Setze $x_{S}$ in $g_{1} (x)$ ein.
$y$	$=$	$\frac{3}{4} \cdot 2,4 - 4$
$y$	$=$	$1,8 - 4$
$y_{S}$	$=$	$- 2,2$

$g_{1} (x)$	$=$	$g_{2} (x)$
$- \frac{1}{2} x + 2$	$=$	$\frac{1}{2} x + 3$	$\| + \frac{1}{2} x - 3$
$2 - 3$	$=$	$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x$
$x_{S}$	$=$	$- 1$
	↓	Setze $x_{S}$ in $g_{1} (x)$ ein.
$y$	$=$	$- \frac{1}{2} \cdot (- 1) + 2$
$y$	$=$	$\frac{1}{2} + 2$
$y_{S}$	$=$	$2,5$

$2$	$=$	$1 + t$	$ - 1$
	↓	Gleichung nach t auflösen.
$ t$	$=$	$1$

$18$	$=$	$4 \cdot 5 + t$	$- 20$
	↓	Gleichung nach t auflösen.
$t$	$=$	$- 2$

$4$	$=$	$- 2 \cdot (- 1) + t$	$- 2$
	↓	Gleichung nach t auflösen.
$t$	$=$	$2$

$\frac{2}{3} x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$\frac{2}{3} x$	$=$	$- 2$	$: \frac{2}{3}$
$x_{0}$	$=$	$- 3$

$\frac{2}{3} x + 2$	$=$	$\frac{1}{2} x + 3$	$- \frac{1}{2} x - 2$
$\frac{2}{3} x - \frac{1}{2} x$	$=$	$3 - 2$
	↓	Bringe die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.
$\frac{4}{6} x - \frac{3}{6} x$	$=$	$3 - 2$
$\frac{1}{6} x$	$=$	$1$	$: \frac{1}{6}$
$x$	$=$	$\frac{1}{\frac{1}{6}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x_{S}$	$=$	$6$

$\frac{3}{4} x + 1$	$=$	$\frac{1}{2} x + 2$	$- \frac{1}{2} x - 1$
$\frac{3}{4} x - \frac{1}{2} x$	$=$	$2 - 1$
	↓	Bringe die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner .
$\frac{3}{4} x - \frac{2}{4} x$	$=$	$2 - 1$
$\frac{1}{4} x$	$=$	$1$	$: \frac{1}{4}$
$x$	$=$	$\frac{1}{\frac{1}{4}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x_{S}$	$=$	$4$

$0$	$=$	$3 \cdot 1 + t$	$- 3$
	↓	Gleichung nach t auflösen.
$t$	$=$	$- 3$

$\frac{1}{2} x + 1$	$=$	$0$	$- 1$
$\frac{1}{2} x$	$=$	$- 1$	$\cdot 2$
$x_{0}$	$=$	$- 2$

$- \frac{1}{2} x - 2$	$=$	$0$	$+ 2$
$- \frac{1}{2} x$	$=$	$2$	$\cdot (- 2)$
$x_{0}$	$=$	$- 4$

$\frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$	$=$	$0$	$+ \frac{1}{2}$
$\frac{1}{3} x$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\cdot 3$
$x_{0}$	$=$	$\frac{3}{2}$

$- \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$	$=$	$0$	$- \frac{3}{2}$
$- \frac{1}{4} x$	$=$	$- \frac{3}{2}$	$\cdot (- 4)$
$x_{0}$	$=$	$6$

$- \frac{3}{4} x - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
$- \frac{3}{4} x$	$=$	$1$	$: (- \frac{3}{4})$
$x_{0}$	$=$	$- \frac{4}{3}$

$- 3 x + \frac{5}{10}$	$=$	$0$	$- \frac{5}{10}$
$- 3 x$	$=$	$- \frac{1}{2}$	$: (- 3)$
$x_{0}$	$=$	$\frac{1}{6}$

$\frac{5}{7} x - 3$	$=$	$0$	$+ 3$
$\frac{5}{7} x$	$=$	$3$	$: \frac{5}{7}$
$x_{0}$	$=$	$\frac{21}{5}$

Aufgaben zu Geradengleichungen, Nullstellen und Schnittpunkten

Zeichnung

Geradenschnittpunkte berechnen

Zeichnung

Geradenschnittpunkt berechnen

Zeichnung

Geradenschnittpunkt berechnen

Zeichnung

Geradenschnittpunkt berechnen

Zeichnung

Geradenschnittpunkt berechnen

Zeichnung

Geradenschnittpunkt berechnen

Zeichnung

Geradengleichung aufstellen

Gleichung aufstellen

Gleichung aufstellen

Gleichung aufstellen

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse

Bestimmung des Schnittpunkts mit der x-Achse

Zeichnung

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichung

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

f(x):y=mfx+bf

g(x):y=mgx+bg

h(x):y=mhx+bh

i(x):y=mix+bi

Schnittpunkt P(xp|yp) von g und h

Schnittpunkt T(xT|yT) von h und i

Schnittpunkt Q(xQ|yQ) von g und i

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

Steigung

Funktionsgleichung

Zeichne die Graphen

Bestimmung der Nullstellen

Bestimmung des Schnittpunkts

Funktionsterm aufstellen

Gerade zeichnen

Funktionsterm aufstellen

Gerade zeichnen

Funktionsterm aufstellen

Gerade zeichnen

Funktionsterm aufstellen

Gerade zeichnen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Klammer auflösen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f (x) : y = m_{f} x + b_{f}$

$g (x) : y = m_{g} x + b_{g}$

$h (x) : y = m_{h} x + b_{h}$

$i (x) : y = m_{i} x + b_{i}$

Schnittpunkt $P (x_{p} | y_{p})$ von g und h

Schnittpunkt $T (x_{T} | y_{T})$ von h und i

Schnittpunkt $Q (x_{Q} | y_{Q})$ von g und i

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	Setze $a_{1} = \frac{1}{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x + t$
	↓	Setze P in f(x) ein.
$- 2$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 + t$	$- 2$
	↓	löse nach t auf
$t$	$=$	$- 4$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$f (x)$	$=$	$0$
	↓	Gesucht ist hier ein x mit f(x) =0 und somit y=0 ist. Setze Funktionsgleichung gleich 0.
$\frac{1}{2} x - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$\frac{1}{2} x$	$=$	$4$	$: \frac{1}{2}$
$x$	$=$	$\frac{4}{\frac{1}{2}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$	$=$	$4 \cdot 2$
$x$	$=$	$8$

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze $a_{2} = \frac{3}{4}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$\frac{3}{4} x + t$
	↓	Setze P(1/-3) in f(x) ein.
$- 3$	$=$	$\frac{3}{4} \cdot 1 + t$
	↓	Multipliziere
$- 3$	$=$	$\frac{3}{4} + t$	$- \frac{3}{4}$
$t$	$=$	$- 3 - \frac{3}{4}$
	↓	Addiere
$t$	$=$	$- 3,75$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$\frac{3}{4} x - 3,75$	$=$	$0$	$+ 3,75$
$\frac{3}{4} x$	$=$	$3,75$	$: \frac{3}{4}$
$x$	$=$	$3,75 : \frac{3}{4}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$	$=$	$3,75 \cdot \frac{4}{3}$
	↓	Multiplikation
$x$	$=$	$5$

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze $a_{3} = 2$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$2 x + t$
	↓	Setze P(3/-1) in f(x) ein.
$- 1$	$=$	$2 \cdot 3 + t$
	↓	Multipliziere
$- 1$	$=$	$6 + t$	$- 6$
$t$	$=$	$- 1 - 6$
	↓	Subtrahiere
$t$	$=$	$- 7$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$2 x - 7$	$=$	$0$	$+ 7$
$2 x$	$=$	$7$	$: 2$
$x$	$=$	$7 : 2$
	↓	Dividiere
$x$	$=$	$3,5$

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze $a_{4} = \frac{4}{5}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$\frac{4}{5} x + t$
	↓	Setze $P (\frac{3}{2} \| 4)$ in f(x) ein.
$4$	$=$	$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} + t$
	↓	Kürze den Bruch mit 2.
$4$	$=$	$\frac{2}{5} \cdot 3 + t$
	↓	Multipliziere
$4$	$=$	$\frac{6}{5} + t$	$- \frac{6}{5}$
$t$	$=$	$4 - \frac{6}{5}$
	↓	Schreibe 4 als Bruch mit 4 im Nenner.
$t$	$=$	$\frac{20}{5} - \frac{6}{5}$
	↓	Subtrahiere
$t$	$=$	$\frac{14}{5}$
$t$	$=$	$2,8$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$\frac{4}{5} x + 2,8$	$=$	$0$	$- 2,8$
$\frac{4}{5} x$	$=$	$- 2,8$	$: \frac{4}{5}$
$x$	$=$	$- 2,8 : \frac{4}{5}$
	↓	Dividiere
$x$	$=$	$- \frac{7}{2}$
$x$	$=$	$- 3,5$

$\frac{1}{4} x_{P} + 1$	$=$	$3 x_{P} + 3$	$- 3 x_{p} - 1$
	↓	Subtrahiere $3 x_{P}$ und 1.
$- \frac{11}{4} x_{P}$	$=$	$2$	$\div (- \frac{11}{4})$
	↓	Dividiere durch $- \frac{11}{4}$ .
$x_{p}$	$=$	$- \frac{8}{11}$

$- \frac{1}{4} x_{N_{f}} + 3$	$=$	$0$	$- 3$
$- \frac{1}{4} x_{N_{f}}$	$=$	$- 3$	$: \frac{1}{4}$
$x_{N_{f}}$	$=$	$12$