Aufgaben zu linearen Funktionen und Geradengleichungen

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade verläuft durch die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

$P_{1} (2 | 1) P_{2} (5 | 4)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = m \cdot x + t$
Wende das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{l} 1) 1 = m \cdot 2 + t \\ 2) 4 = m \cdot 5 + t \end{array}$
$1) - 2) - 3$ $=$ $- 3 m$ $: (- 3)$
$m$ $=$ $1$
Setze m in 1) ein.
$1$ $=$ $1 \cdot 2 + t$ $- 2$
$t$ $=$ $- 1$
Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = x - 1 \Rightarrow f (x) = x - 1$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
$x - 1$ $=$ $0$ $+ 1$
$x_{N}$ $=$ $1$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (1 | 0)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt (t) $\Rightarrow S_{2} (0 | - 1)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
$P_{1} (- 3 | - 2) P_{2} (2 | 3)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} y = m \cdot x + t \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) - 2 = m \cdot (- 3) + t \\ 2) 3 = m \cdot 2 + t \end{array} \end{array}$
$1) - 2) - 5$ $=$ $- 5 m$ $: (- 5)$
$m$ $=$ $1$
↓
Setze m in 2) ein.
$3$ $=$ $2 + t$ $- 2$
$t$ $=$ $1$
↓
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y$ $=$ $x + 1 \Rightarrow f (x) = x + 1$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
$x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$x_{N}$ $=$ $- 1$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (- 1 | 0)$ .
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S (0 | 1)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$
oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

$P_{1} (- 2 | 3) P_{2} (4 | - 1)$

$P_{1} (- 4 | - 1) P_{2} (3 | 1)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
$\begin{array}{l} y = mx + t \end{array}$
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) - 1 = - 4 m + t \\ 2) 1 = 3 m + t \end{array} \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1) - 2)$
$- 2$ $=$ $- 7 m$ $: (- 7)$
$m$ $=$ $\frac{2}{7}$
↓
Setze $m$ in $2)$ ein.
$1$ $=$ $\frac{2}{7} \cdot 3 + t$ $- \frac{6}{7}$
$t$ $=$ $1 - \frac{6}{7}$
$t$ $=$ $\frac{1}{7}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = \frac{2}{7} x + \frac{1}{7} \Rightarrow f (x) = \frac{2}{7} x + \frac{1}{7}$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze $y = 0$ , um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen
$\frac{2}{7} x + \frac{1}{7}$ $=$ $0$ $- \frac{1}{7}$
$\frac{2}{7} x$ $=$ $- \frac{1}{7}$ $: \frac{2}{7}$
$x$ $=$ $\frac{- \frac{1}{7}}{\frac{2}{7}}$
↓
Dividiere die Brüche. $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$ $=$ $- \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{2}$
$x_{N}$ $=$ $- \frac{1}{2}$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (- \frac{1}{2} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S_{2} (0 | \frac{1}{7})$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung sieben nach rechts und zwei nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
$P_{1} (- 3 | \frac{9}{2}) P_{2} (4 | - 1)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
$\begin{array}{l} y = mx + t \end{array}$
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) \frac{9}{2} = - 3 m + t \\ 2) - 1 = 4 m + t \end{array} \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1) - 2) :$
$\frac{11}{2}$ $=$ $- 7 m$ $: (- 7)$
$m$ $=$ $\frac{\frac{11}{2}}{- 7}$
$m$ $=$ $- \frac{11}{14}$
Setze $m$ in $2)$ ein.
$- 1$ $=$ $- \frac{11}{14} \cdot 4 + t$
$- 1$ $=$ $- \frac{44}{14} + t$ $+ \frac{44}{14}$
$\begin{array}{l} t = \frac{30}{14} \end{array}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = - \frac{11}{14} x + \frac{30}{14}$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen.
$- \frac{11}{14} x + \frac{30}{14}$ $=$ $0$ $- \frac{30}{14}$
$- \frac{11}{14} x$ $=$ $- \frac{30}{14}$ $: (- \frac{11}{14})$
↓
Dividiere die Brüche. Das heißt multipliziere mit dem Kehrbruch.
$x$ $=$ $- \frac{30}{14} \cdot (- \frac{14}{11})$
$x_{N}$ $=$ $\frac{30}{11}$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (\frac{30}{11} | 0)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S (0 | \frac{30}{14})$
Zeichnung
Verbinde die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 14 nach rechts und 11 nach unten und verbinde diese beiden Punkte.
$P_{1} (- 4 | - 2) P_{2} (\frac{7}{2} | 4)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
$\begin{array}{l} y = mx + t \end{array}$
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) - 2 = - 4 m + t \\ 2) 4 = 3,5 m + t \end{array} \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1) - 2)$ :
$- 6$ $=$ $- 7,5 m$ $: (- 7,5)$
$m$ $=$ $\frac{- 6}{- 7,5}$
$m$ $=$ $0,8$
↓
Setze $m$ in $1)$ ein.
$- 2$ $=$ $0,8 \cdot (- 4) + t$
$- 2$ $=$ $- 3,2 + t$ $+ 3,2$
$\begin{array}{l} t = 1,2 \end{array}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = 0,8 x + 1,2 \Rightarrow f (x) = 0,8 x + 1,2$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze $y = 0$ , um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen
$0,8 x + 1,2$ $=$ $0$ $- 1,2$
$0,8 x$ $=$ $- 1,2$ $: 0,8$
$x$ $=$ $\frac{- 1,2}{0,8}$
$x_{N} = - 1,5$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (- 1,5 | 0)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S (0 | 1,2)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 0,8 nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann → Was bedeutet das? serlo.org

$1) - 2) - 5$	$=$	$- 5 m$	$: (- 5)$
$m$	$=$	$1$
	↓	Setze m in 2) ein.
$3$	$=$	$2 + t$	$- 2$
$t$	$=$	$1$
	↓	Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y$	$=$	$x + 1 \Rightarrow f (x) = x + 1$

1) - 2)
	↓
$4$	$=$	$- 6 m$	$: (- 6)$
$m$	$=$	$\frac{4}{- 6}$
	↓	Kürze mit 2.
$m$	$=$	$- \frac{2}{3}$
	↓	Setze m in 1) ein
$3$	$=$	$- 2 (- \frac{2}{3}) + t$
	↓	Multipliziere.
$3$	$=$	$\frac{4}{3} + t$	$- \frac{4}{3}$
$t$	$=$	$3 - \frac{4}{3}$
	↓	Subtrahiere.
$t$	$=$	$1 \frac{2}{3}$
	↓	Setze m und t in die allg. Geradengleichung ein.
$y$	$=$	$- \frac{2}{3} x + 1 \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} x + 1 \frac{2}{3}$	$=$	$0$	$- 1 \frac{2}{3}$
$- \frac{2}{3} x$	$=$	$- 1 \frac{2}{3} = - \frac{5}{3}$	$: (- \frac{2}{3})$
$x$	$=$	$\frac{- \frac{5}{3}}{- \frac{2}{3}}$
	↓	Brüche dividieren.
$x_{N}$	$=$	$- \frac{5}{3} \cdot (- \frac{3}{2})$
	$=$	$\frac{5}{2} = 2,5$

$- 2$	$=$	$- 7 m$	$: (- 7)$
$m$	$=$	$\frac{2}{7}$
	↓	Setze $m$ in $2)$ ein.
$1$	$=$	$\frac{2}{7} \cdot 3 + t$	$- \frac{6}{7}$
$t$	$=$	$1 - \frac{6}{7}$
$t$	$=$	$\frac{1}{7}$

$\frac{2}{7} x + \frac{1}{7}$	$=$	$0$	$- \frac{1}{7}$
$\frac{2}{7} x$	$=$	$- \frac{1}{7}$	$: \frac{2}{7}$
$x$	$=$	$\frac{- \frac{1}{7}}{\frac{2}{7}}$
	↓	Dividiere die Brüche. $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$	$=$	$- \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{2}$
$x_{N}$	$=$	$- \frac{1}{2}$

$\frac{11}{2}$	$=$	$- 7 m$	$: (- 7)$
$m$	$=$	$\frac{\frac{11}{2}}{- 7}$
$m$	$=$	$- \frac{11}{14}$

$- 1$	$=$	$- \frac{11}{14} \cdot 4 + t$
$- 1$	$=$	$- \frac{44}{14} + t$	$+ \frac{44}{14}$

$- \frac{11}{14} x + \frac{30}{14}$	$=$	$0$	$- \frac{30}{14}$
$- \frac{11}{14} x$	$=$	$- \frac{30}{14}$	$: (- \frac{11}{14})$
	↓	Dividiere die Brüche. Das heißt multipliziere mit dem Kehrbruch.
$x$	$=$	$- \frac{30}{14} \cdot (- \frac{14}{11})$
$x_{N}$	$=$	$\frac{30}{11}$

$- 6$	$=$	$- 7,5 m$	$: (- 7,5)$
$m$	$=$	$\frac{- 6}{- 7,5}$
$m$	$=$	$0,8$
	↓	Setze $m$ in $1)$ ein.
$- 2$	$=$	$0,8 \cdot (- 4) + t$
$- 2$	$=$	$- 3,2 + t$	$+ 3,2$

$0,8 x + 1,2$	$=$	$0$	$- 1,2$
$0,8 x$	$=$	$- 1,2$	$: 0,8$
$x$	$=$	$\frac{- 1,2}{0,8}$

Aufgaben zu linearen Funktionen und Geradengleichungen

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung