Gemischte Aufgaben zu linearen Funktionen - Geraden

$\text{f}(x):y=m_{f}x+b_f$

Um die Geradengleichung von f zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden f liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $A(0|3)$ und $B(4|2)$. Bestimme mit diesen die Steigung von f mit der Formel.

$${\displaystyle m_f=\frac{2-3}{4-0}=-\frac{1}{4}}$$

Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_f$, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf f liegt, oder abliest, bei welchem Wert f die y-Achse schneidet.

$3=b_f\Rightarrow b_f=3$

Also lautet die Geradengleichung $${\displaystyle \text{f}(x)=-\frac{1}{4}\cdot x+3}$$.

$\text{g}(x):y=m_{g}x+b_g$

Um die Geradengleichung von g zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden g liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $C(-4|0)$ und $D(0|1)$. Bestimme mit diesen die Steigung von g mit der Formel.

$${\displaystyle m_g=\frac{1-0}{0-(-4)}=\frac{1}{4}}$$

Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_g$, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf g liegt, oder abliest, bei welchem Wert g die y-Achse schneidet.

$${\displaystyle 1=b_g\Rightarrow b_g=1}$$

Also lautet die Geradengleichung $${\displaystyle \text{g}(x)=\frac{1}{4}\cdot x+1}$$.

$\text{h}(x):y=m_{h}x+b_h$

Um die Geradengleichung von h zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden h liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $E(-1|0)$ und $A(0|3)$. Bestimme mit diesen die Steigung von h mit der Formel.

$${\displaystyle m_h=\frac{3-0}{0-(-1)}=3}$$

Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_h$, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf h liegt, oder abliest, bei welchem Wert h die y-Achse schneidet.

$3=b_h\Rightarrow b_h=3$

Also lautet die Geradengleichung $${\displaystyle \text{h}(x)=3\cdot x+3}$$.

$\text{i}(x):y=m_{i}x+b_i$

Um die Geradengleichung von i zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden i liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $F(0|-3)$ und $S(6|0)$. Bestimme mit diesen die Steigung von i mit der Formel.

$${\displaystyle m_i=\frac{0-(-3)}{6-0}=\frac{1}{2}}$$

Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_i$, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf i liegt, oder abliest, bei welchem Wert i die y-Achse schneidet.

$-3=b_i\Rightarrow b_i=-3$

Also lautet die Geradengleichung $${\displaystyle \text{i}(x)=\frac{1}{2}\cdot x-3}$$.

Schnittpunkt $P(x_p|y_p)$ von g und h

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach $x$ um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) $$\text{g}(x):y={\displaystyle \frac{1}{4}x+1}$$ und $\text{h}(x):y=3x+3$.

Setz nun $-\frac{8}{11}$ in die Geradengleichung von g oder h ein, um $y_P$ zu bestimmen.

$${\displaystyle y_P=3\cdot (-\frac{8}{11})+3=\frac{9}{11}}$$

Die Geraden g und h schneiden sich also bei $${\displaystyle P(-\frac{8}{11}|\frac{9}{11})}$$.

Die Nullstelle $x_{N_f}$ von f bestimmst du, indem du die Funktionsgleichung $${\displaystyle \text{f}(x):y=-\frac{1}{4}x+3}$$ mit 0 gleichsetzt und nach $x$ umformst.

Die Nullstelle von f ist also 12.

Der Schnittpunkt von h und i und der Schnittpunkt von g und i liegen außerhalb des Bildbereichs.

Schnittpunkt $T(x_T|y_T)$ von h und i

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach $x$ um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) $h(x):y=3x+3$ und $${\displaystyle i(x):y=\frac{1}{2}x-3}$$.

Setz nun $-\frac{12}{5}$ in die Geradengleichung von h oder i ein, um $y_T$ zu bestimmen.

$${\displaystyle y_T=3\cdot (-\frac{12}{5})+3=-\frac{21}{5}}$$

Die Geraden h und i schneiden sich also bei $${\displaystyle T(-\frac{12}{5}|-\frac{21}{5})}$$.

Schnittpunkt $Q(x_Q|y_Q)$ von g und i

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach $x$ um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) $${\displaystyle g(x):y=\frac{1}{4}x+1}$$ und $${\displaystyle i(x):y=\frac{1}{2}x-3}$$.

$${\displaystyle x_Q=16}$$

Setz nun $16$ in die Geradengleichung von g oder i ein, um $y_Q$ zu bestimmen.

$${\displaystyle y_Q=\frac{1}{4}\cdot 16+1=5}$$

Die Geraden g und i schneiden sich also bei $${\displaystyle Q(16|5)}$$.

Es gibt insgesamt 6 Schnittpunkte, nämlich die folgenden:

• f und g

• f und h

• f und i

• g und h

• g und i

• h und i