Aufgaben zu linearen Funktionen, Nullstellen, Achsenschnittpunkten u.a.

Überprüfung mit Skizze

Wähle jeweils einen beliebigen Punkt auf der Geraden, z. B. die y-Achsenabschnitte $(0|-3)$ und $(0|3)$. Gehe von dort $1$ nach rechts und entsprechen der Steigungen $m_g=2$ nach oben und $m_h=-\mathrm{0,5}$ nach unten. Verbinde jeweils die beiden Punkte zu einer Geraden.

Wenn du den Verlauf der Geraden betrachtest und beispielsweise die Lage des Punktes $A$, so siehst du, dass dieser kaum auf der Geraden h, wahrscheinlich aber auf $g$ liegen wird. Ähnlich kannst du bei anderen Punkten entscheiden, ob sich eine rechnerische Überprüfung lohnt: Punkt $D(-102/55)$ kann z. B. nur auf $h$ liegen.

Rechnerische Überprüfung

$A(1|-1)$ in $g$ einsetzen:

Setze die Koordinaten der Punkte in die fragliche Gleichung ein. Also setze $y=-1$ und $x=1$ ein.

$-1=2\cdot 1-3$

Das ist eine wahre Aussage.

⇒ $A$ liegt auf $g$.

$B$ liegt auf keiner der Geraden. Das kann eindeutig der Skizze entnommen werden.

$C$ in $h$ einsetzen:

$5=-\mathrm{0,5}\cdot (-6)+3$

⇒ $5=3+3$

Diese Aussage ist falsch, also liegt $C$ nicht auf $h.$

$D$ in $h$ einsetzen:

$55=-\mathrm{0,5}\cdot (-102)+3$

⇒ $55=51+3$

Diese Aussage ist falsch, also liegt $D$ nicht auf $h$.

$E$ in $g$ einsetzen:

$87=2\cdot 45-3$

Diese Aussage ist richtig, also liegt $E$ auf $g$.

Koordinaten ergänzen

$h:y=-\mathrm{0,5}x+3$ ; P(5|?)

Die gegebene Koordinate des Punktes (die x-Koordinate) wird in die Funktionsgleichung eingesetzt und daraus die fehlende y-Koordinate berechnet.

$y=-\mathrm{0,5}\cdot 5+3=-\mathrm{2,5}+3=\mathrm{0,5}$

⇒ P(5|0,5)

Q: $y=-\mathrm{0,5}\cdot (-\mathrm{3,5})+3=\mathrm{1,75}+3=\mathrm{4,75}$ $\Rightarrow$ Q(-3,5|4,75)

R: $12=-\mathrm{0,5}x+3\Rightarrow \mathrm{0,5}x=-9\Rightarrow x=-18$ $\Rightarrow$ R(-18|12)

S: $-\mathrm{7,5}=-\mathrm{0,5}x+3\Rightarrow \mathrm{0,5}x=\mathrm{10,5}\Rightarrow x=21$ $\Rightarrow$ S(2 1|-7,5).

Beweis für T

T(2,4|1,8)

Die Koordinaten von T in beide Geradengleichungen einsetzen. Wenn die Aussagen wahr sind, liegt T auf den Geraden.

in g:

in h:

$\Rightarrow$ Beide Gleichungen ergeben richtige Aussagen, also liegt der Punkt T auf beiden Geraden.

$\Rightarrow$ T Ist der Schnittpunkt der Geraden