Aufgaben zur Konstruktion von geometrischen Objekten

Hier findest du Aufgaben zur Konstruktion von Strecken, Winkeln und Formen. Schaffst du sie alle?

1
Teile die Strecken im angegebenen Verhältnis und bestimme die Längen der Teilstrecken.
$A B = 10 c m$ im Verhältnis 1:4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilung von Strecken
Schritt 1
Zeichne eine Gerade durch den Punkt A
Schritt 2
Zeichne einen Kreis um A mit irgendeinem Radius r und markiere den Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden.
Schritt 3
Zeichne einen Kreis mit gleich großem Radius um den gerade erhaltenen Schnittpunkt. Wiederhole dies so oft bis du insgesamt 4+1=5 Schnittpunkte hast.
Schritt 4
Verbinde den letzten Schnittpunkt mit dem Punkt B.
Schritt 5
Konstruiere eine Parallele zu der eben gezeichneten Strecke durch den 1. Schnittpunkt. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Strecke [AB] ist der Punkt T, der die Strecke im Verhältnis 1:4 teilt.
Die Länge der Teilstrecken $T A$ und $T B$ berechnet man mit der Formel: $T A = \frac{a}{a + b} \cdot A B$ und $T B = \frac{b}{a + b} \cdot A B$
$a = 1$ , $b = 4$ und $A B = 10 c m$
$T A = \frac{1}{1 + 4} \cdot 10 c m = \frac{1}{5} \cdot 10 c m = 2 c m$
$T B = \frac{4}{1 + 4} \cdot 10 c m = \frac{4}{5} \cdot 10 c m = 8 c m$

$C D = 12 c m$ im Verhältnis 4:2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilung von Strecken
Schritt 1
Zeichne eine Gerade durch den Punkt C
Schritt 2
Zeichne einen Kreis um C mit irgendeinem Radius r und makiere den Schnittpunk des Kreises mit der Gerade.
Schritt 3
Zeichne einen Kreis mit gleich großem Radius um den gerade erhaltenen Schnittpunkt. Wiederhole dies so oft bis du insgesamt 4+2=6 Schnittpunkte hast.
Schritt 4
Verbinde den letzten Schnittpunkt mit dem Punkt D.
Schritt 5
Konstruiere eine Parallele zu der eben gezeichneten Strecke durch den 4. Schnittpunkt. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Strecke [CD] ist der Punkt T, der die Strecke im Verhältnis 4:2 teilt.
Die Länge der Teilstrecken $T C$ und $T D$ berechnet man mit der Formel: $T C = \frac{a}{a + b} \cdot C D$ und $T D = \frac{b}{a + b} \cdot C D$
a=4, b=2 und $C D = 12 c m$
$T C = \frac{4}{4 + 2} \cdot 12 c m = \frac{4}{6} \cdot 12 c m = 8 c m$
$T D = \frac{2}{4 + 2} \cdot 10 c m = \frac{2}{6} \cdot 12 c m = 4 c m$
2
Konstruiere einen $52,5 °$ - Winkel nur mit Zirkel und Lineal.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel konstruieren
In konstruierbare Teilwinkel aufteilen
Mathematisch lässt sich der $52,5 °$ - Winkel durch andere Winkel ausdrücken. Diese Umformungen führen auf $60 °$ und $90 °$ zurück.
$52,5 °$
$=$ $30 ° + 22,5 °$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot 60 ° + \frac{1}{2} \cdot 45 °$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot 60 ° + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 90 °$
Der $90 °$ - und der $60 °$ - Winkel und ihre Hälften sind konstruierbar. $52,5 °$ kann also aus einer Kombination dieser Winkel und einiger Winkelhalbierungen konstruiert werden.
Winkel konstruieren
Konstruiere einen $60 °$ - Winkel.
Konstruiere die Winkelhalbierende und erhalte somit einen $30 °$ Winkel.
Konstruiere auf dem oberen Schenkel des $30 °$ Winkels ein Lot, welches auch durch den Scheitelpunkt geht.
Konstruiere die Winkelhalbierende des $90 °$ Winkels (des Lots !), und erhalte somit einen $45 °$ Winkel.
Konstruiere die Winkelhalbierende des $45 °$ Winkels, und erhalte somit einen $22,5 °$ Winkel.
Der $52,5 °$ - Winkel hat nun die erste Gerade und die eben konstruierte Winkelhalbierende als Schenkel.
Winkel wie $90 °$ und $60 °$ sind konstruierbar. Außerdem können Winkel geometrisch halbiert werden. Überlege, wie sich aus $90 °$ , $60 °$ bzw. Hälften davon der Winkel $52,5 °$ bilden lässt.
3
Zeichne ein beliebiges Dreieck (wie im Bild rechts).
Konstruiere dann nacheinander folgende Linien:
Alle drei Mittelsenkrechten und den Umkreis.
Alle drei Winkelhalbierenden und den Inkreis
Alle drei Höhen.
Alle drei Seitenhalbierenden.

Teilaufgabe a
Schritt 1
Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke $[A, B]$ wie im Artikel erklärt.
Schritt 2
Konstruiere die Mittelsenkrechten der Strecken $[A, C]$ und $[B, C]$ wie in Schritt 1.
Schritt 3
Erhalte M als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Schritt 4
Erhalte den Umkreis als Kreis um den Mittelpunkt M mit Radius $[M, B]$ .
Teilaufgabe b
Schritt 1
Konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels bei A wie im Artikel beschrieben.
Schritt 2
Wiederhole Schritt 1 für die Punkte B,C. Erhalte V als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Schritt 3
Ziehe einen Kreis um V mit Radius $[VW]$ . Dies ist der Inkreis.
Teilaufgabe c
Schritt 1
Konstruiere das Lot durch C auf die Strecke [AB] wie im Artikel beschrieben.
Schritt 2
Konstruiere die anderen Höhen wie in Schritt 1.
Teilaufgabe d
Schritt 1
Konstruiere die Seitenhalbierende der Strecke [AB] wie im Artikel beschrieben.
Schritt 2
Konstruiere die Seitenhalbierenden der Strecken [BC] und [AC] wie in Schritt 1.
4
Das Quadrat $A B C D$ ist durch die Koordinaten von $A = (1 | 3)$ und $C = (6 | 6)$ eindeutig festgelegt.
Konstruiere die fehlenden Punkte $B$ und $D$ . Zeichne das Quadrat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion von n-Ecken
Konstruiere die Mittelsenkrechte durch die Strecke $[A, C]$ .
Konstruiere einen Kreis um $M$ mit Radius $[A, M]$ .

Erhalte $B$ und $D$ als Schnittpunkte des Kreises mit der Mittelsenkrechte.
Verbinde $A, B, C, D$ und erhalte das Quadrat $A B C D$ .

Berechne den Schnittpunkt der Diagonalen und gib ihn in das Eingabefeld ein.
Punkte kannst du wie "(3;-2,5)" in das Eingabefeld eingeben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion von n-Ecken
Wir bezeichnen $M$ als den Schnittpunkt der Diagonalen. Wir wissen: Die Diagonalen eines Quadrates schneiden sich gegenseitig in der Mitte. D.h. wir bekommen $M$ als den Mittelpunkt der Strecke [ $A, C$ ]. Wir können $M$ also berechnen, indem wir an den Punkt $A$ die Hälfte der Strecke $A C$ anhängen.
$M = A + \frac{1}{2} \cdot (C - A) = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot [(\begin{array}{c} 6 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array})] = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3,5 \\ 4,5 \end{array})$
5
Zeichne ein beliebiges Dreieck (wie im Bild rechts).
Konstruiere dann nacheinander folgende Linien:
Alle drei Mittelsenkrechten und den Umkreis.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mittelsenkrechte
Schritt 1
Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke $[A, B]$ wie im Artikel erklärt.
Schritt 2
Konstruiere die Mittelsenkrechten der Strecken $[A, C]$ und $[B, C]$ wie in Schritt 1.
Schritt 3
Erhalte $M$ als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Schritt 4
Erhalte den Umkreis als Kreis um den Mittelpunkt $M$ mit Radius $[M, B]$ .

Alle drei Winkelhalbierenden und den Inkreis.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkelhalbierende
Schritt 1
Konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels bei $A$ wie im Artikel beschrieben.
Schritt 2
Wiederhole Schritt 1 für die Punkte $B, C$ . Erhalte $V$ als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Schritt 3
Ziehe einen Kreis um $V$ mit Radius $[VW]$ . Dies ist der Inkreis.

Alle drei Höhen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lot
Schritt 1
Konstruiere das Lot durch $C$ auf die Strecke [ $A B$ ] wie im Artikel beschrieben.
Schritt 2
Konstruiere die anderen Höhen wie in Schritt 1.

Alle drei Seitenhalbierenden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Seitenhalbierende
Schritt 1
Konstruiere die Seitenhalbierende der Strecke [ $A B$ ] wie im Artikel beschrieben.
Schritt 2
Konstruiere die Seitenhalbierenden der Strecken [ $B C$ ] und [ $A C$ ] wie in Schritt 1.
6
Gegeben sind die Punkte $A (1 | - 2)$ , $C (7 | 5,5)$ und eine Schar von Drachenvierecken $A B_{n} C D_{n}$ mit der Symmetrieachse $[A C]$ .
Die Punkte $D_{n} (x | y)$ liegen alle auf der Geraden $g$ .
(Es sind unendlich viele solcher $D_{n}$ und irgendwie sollen sie unterschieden werden – daher der Index $n$ : $D_{n}$ ⁣)
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(Bewege den Regler und erhalte so verschiedene mögliche Punkte $D_{n}$ )
Konstruiere die Drachenvierecke $A B_{1} C D_{1}$ und $A B_{2} C D_{2}$ für die Werte $x = 3$ bzw. x = - 2. (Unter $x$ verstehen wir die x-Koordinate des Punktes $D_{n}$ .)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mittelsenkrechte
Für x=3
Schritt 1
Konstruiere eine Senkrechte zur $x$ -Achse durch den Punkt $(3 | 0)$ . In der Zeichnung wird als eine Möglichkeit die Mittelsenkrechte der Strecke $[(0 | 0) (6 | 0)]$ konstruiert.
(Wie konstruiere ich eine Mittelsenkrechte?). $D_{1}$ ist der Schnittpunkt der Geraden $g$ mit dem Lot.
Schritt 2
Spiegle den Punkt $D_{1}$ an der Strecke $[AC]$ (Wie spiegle ich einen Punkt an einer Strecke?) und erhalte so $B_{1}$ . Verbinde dann die Punkte.
Für x=-2
Wiederhole die Schritte 1 und 2.

Konstruiere die Drachenvierecke $A B_{3} C D_{3}$ und $A B_{4} C D_{4}$ deren Seite $[C D]$ das Maß $2,5 cm$ hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strecken/Geraden spiegeln
Schritt 1
Ziehe einen Kreis um $C$ mit Radius $r = 2,5$ . Erhalte $D_{3}$ und $D_{4}$ als Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden $g$ .
Schritt 2
Lege eine Gerade durch die Strecke $[AC]$ . Spiegle $D_{3}$ und $D_{4}$ an der Gerade (Wie spiegle ich einen Punkt an einer Gerade/Strecke?) und erhalte so die Punkte $B_{3}$ und $B_{4}$ .
Schritt 3
Zeichne die Drachenvierecke $A B_{3} C D_{3}$ und $A B_{4} C D_{4}$

Konstruiere die beiden Drachenvierecke $A B_{5} C D_{5}$ und $A B_{6} C D_{6}$ , bei denen das Maß des Winkels $A D C$ $90^{\circ}$ beträgt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion eines Thaleskreises
Schritt 1
Konstruiere den Thaleskreis der Strecke $[AC]$ .(Wie konstruiere ich den Thaleskreis einer Strecke?). Dort liegen alle Punkte, die mit $B$ und $C$ einen rechten Winkel aufspannen. Erhalte $D_{5}$ und $D_{6}$ als Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden.
Schritt 2
Spiegle die Punkte $D_{5}$ und $D_{6}$ an der Strecke $[AC]$ wie in Teilaufgabe a) und erhalte so die Punkte $B_{5}$ und $B_{6}$ .
Schritt 3
Verbinde die jeweiligen Punkte

Unter den Drachen existiert auch eine Raute $A B_{7} C D_{7}$ . Konstruiere sie.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
Bei einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und halbieren sich.
Konstruiere daher die Mittelsenkrechte der Strecke $[A C]$ .
Der Schnittpunkt mit $g$ ist der Punkt $D_{7}$ .
$B_{7}$ erhältst du durch Spiegeln von $D_{7}$ an der Geraden durch $A$ und $C$ .
7
Führe die folgenden Konstruktionen durch und achte dabei darauf, dass sämtliche Konstruktionslinien deutlichen erkennbar sind. Schreibe die einzelnen Konstruktionsschritte auf.
Zeichne einen Kreis $K$ mit dem Radius $4 cm$ und in diesen Kreis eine Sehne $s$ der Länge $7 cm$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion von geometrischen Objekten
Konstruktion der Sehne $s$ :
Konstruktion des Kreises K (schwarz) mit dem Radius $r = 4 c m$ und dem Mittelpunkt $M$ .
Zirkel entsprechend der Strecke $7 c m$ einstellen.
Beliebig in den Umfang des Kreises K einstechen (hier: Punkt $E$ ) und Strecke $7 c m$ mit dem Zirkel abtragen (hier: größtenteils eingezeichnet).
Einen der Schnittpunkte vom Kreis K und dem Zirkelradius $7 c m$ als weiteren Punkt wählen und mit dem Einstichpunkt verbinden (hier wurde der Schnittpunkt rechts vom Einstichpunkt $E$ gewählt).
$\Rightarrow$ Sehne s mit $7 c m$ (blau)

Konstruiere alle Sekanten durch $K$ , die mit $s$ einen Winkel von $70$ Grad einschließen und die Länge $5 c m$ besitzen.

Einzeichnen der Gerade $g$ , die mit $s$ einen Winkel $70^{\circ}$ einschließt.
An einem der beiden Punkte der vorher konstruierten Sehne, den Winkel $70^{\circ}$ abtragen.
Gerade $g$ (grün), die den Winkel $70^{\circ}$ einschließt, zeichnen.
Parallele der Gerade $g$ (ebenfalls grün), die durch den Kreismittelpunkt $M$ geht, einzeichnen.
Kreis $K_{2}$ (lila) mit dem Radius $5 c m$ um den Mittelpunkt $M$ des ersten Kreises K konstruieren.
Beliebig in einen Punkt (hier: $H$ ) auf dem Umfang des Kreises $K_{2}$ einstechen und einen Kreis $K_{3}$ mit $r = 4 c m$ (hier nur gestrichelt und in grau) konstruieren und $M H = 5 c m$ einzeichen.
Schnittpunkte des Kreis $K_{3}$ mit dem Kreis K benennen (Hier: $K, L$ ).
Die Strecken $H K b z w . H L$ einzeichnen.
Zu jeder dieser beiden Punkten jeweils eine Parallele zu der Strecke $H M$ konstruieren (Hier: jeweils grau).
Schnittpunkt dieser Parallelen mit dem Kreis K mit z.B. $G$ und $J$ benennen.
Diese Schnittpunkte mit jeweils $K$ bzw. $L$ verbinden.
$\Rightarrow$ $K G = 5 c m$ bzw. $L J = 5 c m$ sind somit die gesuchten Sekanten.
8
Zeichne die Punkte $S_{1} (1 | - 1), A (- 3 | - 1), U (- 3 | 1), T (- 1 | 1), O (0 | 2)$ und $S_{2} (1 | 2)$ in ein Koordinatensystem mit der Einheit $1 c m$ .
Füge im Koordinatensystem einen nach oben geöffneten Halbkreis mit Mittelpunkt $M (- 1 | - 1)$ und Radius $1 c m$ hinzu.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatensystem

Spiegle die Punkte $A U T O$ und den Halbkreis an der Gerade $S_{1} S_{2}$ . Zeichne das Auto ein!

Verschiebe das Auto im Koordinatensystem um 2 Einheiten nach links und 5 Einheiten nach oben. Gib die Koordinaten der neu entstandenen Punkte an.

$ S_{1, n e u} (- 1 | 4), S_{2, n e u} (- 1 | 7), A_{n e u} (- 5 | 4), A_{n e u} ′ (3 ∣ 4), U_{n e u} (- 5 | 6), U_{n e u}^{'} (3 | 6), T_{n e u} (- 3 | 6), T_{n e u}^{'} (1 | 6), O_{n e u} (- 2 | 7), O_{n e u}^{'} (0 | 7)$

Formuliere eine Regel, wie man die Koordinaten der verschobenen Punkte berechnen kann.

Verschiebung um n Einheiten nach links: n von x-Koordinate subtrahieren
Verschiebung um n Einheiten nach rechts: n zur x-Koordinate addieren
Verschiebung um n Einheiten nach unten: n von y-Koordinate subtrahieren
Verschiebung um n Einheiten nach oben: n zur y-Koordinate addieren

Welche Koordinaten haben die Punkte, wenn das Auto um 13 Einheiten nach rechts und um 7 Einheiten nach unten verschoben wird?

$S_{1, n e u_{2}} (14 | - 8), S_{2, n e u_{2}} (14 | - 5), A_{n e u_{2}} (10 | - 8), A_{n e u_{2}}^{'} (18 | - 8), U_{n e_{u} 2} (10 | - 6), U_{n e u_{2}}^{'} (18 | - 6), T_{n e u_{2}} (12 | - 6), T_{n e u_{2}}^{'} (16 | - 6), O_{n e u_{2}} (13 | - 5), O_{n e u_{2}}^{'} (15 | - 5)$
9
Gegeben ist eine Schar von (unendlich vielen) Vierecken $A_{n} B C D$ .
Alle Punkte $A_{n} (x | y)$ liegen auf der Geraden $g$ . Unter $x$ verstehen wir die $x$ -Koordinate eines Punktes $A_{n}$ . Unter $y$ seine $y$ -Koordinate.
Konstruiere das Viereck $A_{1} B C D$ , für $x = 2$ . Was ist die y-Koordinate des Punktes $A_{1}$ ?

Unter den Vierecken gibt es genau zwei Trapeze, die wir $A_{2} B C D$ und $A_{3} B C D$ nennen. Konstruiere sie und gib die Koordinaten der Punkte $A_{2}$ und $A_{3}$ an.

Unter den Vierecken gibt es auch ein Drachenviereck $A_{4} B C D$ . Konstruiere es und gib die Koordinaten des Punktes $A_{4}$ an.

Die Diagonalen des eben gezeichneten Drachenvierecks schneiden sich im Punkt $S$ . Berechne die Koordinaten vom Punkt $S$ .

Zeichne das Viereck $A_{5} B C D$ , das man für $x = - 3$ erhält. Was ist an diesem Viereck anders als gewohnt?

Gibt es Werte von $x$ , für die man kein Viereck erhält? Bestimme sie durch Konstruktion.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

	$52,5 °$
$=$	$30 ° + 22,5 °$
$=$	$\frac{1}{2} \cdot 60 ° + \frac{1}{2} \cdot 45 °$
$=$	$\frac{1}{2} \cdot 60 ° + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 90 °$

Aufgaben zur Konstruktion von geometrischen Objekten

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Schritt 4

Schritt 5

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Schritt 4

Schritt 5

In konstruierbare Teilwinkel aufteilen

Winkel konstruieren

Teilaufgabe a

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Schritt 4

Teilaufgabe b

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Teilaufgabe c

Schritt 1

Schritt 2

Teilaufgabe d

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Schritt 4

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 1

Schritt 2

Für x=3

Schritt 1

Schritt 2

Für x=-2

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Konstruktion der Sehne s:

Einzeichnen der Gerade g, die mit s einen Winkel 70∘ einschließt.

Konstruktion der Sehne $s$ :

Einzeichnen der Gerade $g$ , die mit $s$ einen Winkel $70^{\circ}$ einschließt.