Gemischte Aufgaben zu Bruchgleichungen

Defintionsmenge bestimmen

Als erstes musst du die Definitionsmenge bestimmen. Hierfür dürfen die Nenner der Bruchterme nicht 0 werden.

$$\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 2-x}}=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 2x-4}}$$

Damit ist die Definitionsmenge: $D=\mathbb{Q}\backslash \{2\}$

Bruchgleichung lösen

Hier bietet sich das Verfahren "Über Kreuz multiplizieren" an.

Da $2$ nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, ist sie auch nicht Bestandteil der Lösungsmenge: $𝕃=\{-10\}$.

Alternative Lösung

Suche den Hauptnenner und multipliziere beide Seiten der Gleichung damit.

$$\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 2-x}}=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 2x-4}}$$

$$\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 2-x}}=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle -2(2-x)}}$$

Da $-10$ in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:

$L=\{-10\}$

Tipp: Es könnte helfen die linke Seite auf einen Nenner zu schreiben.

Um die Definitionsmenge zu bestimmen musst du alle Nenner gleich $0$ setzen.

Über Kreuz Multiplikation ist eine Äquivalenzumformung, wenn man die richtige Definitionsmenge betrachtet.

Bruchgleichungen

Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen: Du sollst

• die Definitionsmenge bestimmen, und

• die Gleichung bruchtermfrei machen.

Definitionsmenge

Bestimme zunächst die Definitionsmenge der Bruchgleichung. Dazu schaust du dir die Nenner explizit an und schaust für welche Zahlen sie $0$ werden:

• $x=0$

• $x+1=0$

Für $x=0$ und $x=-1$ ist die Gleichung nicht definiert. Also musst du sie aus der Definitionsmenge rausnehmen.

Die Definitionsmenge $D$ ist also: $D=\mathbb{Q}\backslash \{-1;0\}$, falls die Grundmenge $\mathbb{Q}$ ist, und $D=ℝ\backslash \{-1;0\}$, falls die Grundmenge $ℝ$ ist.

Umformen in bruchtermfreie Gleichung

Jetzt sollst du die Gleichung bruchtermfrei machen.

$${\displaystyle 3+\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}}$$

Du musst hier also zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe $${\displaystyle 3+\frac{1}{x}}$$ auf einen Nenner.

Um eine Bruchgleichung bruchtermfrei zu machen kannst du zum Beispiel die Nenner über Kreuz multiplizieren.

$${\displaystyle 3+\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}}$$

Du kannst hier zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe $${\displaystyle 3+\frac{1}{x}}$$ auf einen Nenner.

$${\displaystyle \frac{3x}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}}$$

Addiere

$${\displaystyle \frac{3x+1}{x}=\frac{2}{x+1}}$$

Nun kannst du das Verfahren zum über Kreuz multiplizieren anwenden.

$(3x+1)\cdot (x+1)=2\cdot x$

Diese Gleichung enthält keine Brüche. Da wir $0$ und $-1$ aus der Definitionsmenge rausgenommen haben, haben wir insbesondere nicht mit der $0$ multipliziert.

Somit ist $(3x+1)\cdot (x+1)=2\cdot x$ äquivalent zu $${\displaystyle 3+\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}}$$.

Lösung der bruchtermfreien Gleichung

(in der Aufgabenstellung nicht gefordert)

$(3x+1)\cdot (x+1)=2\cdot x$

$3x^2+3x+x+1=2x$

Klammer ausmultiplizieren

$3x^2+4x+1=2x$

linke Seite zusammenfassen

$3x^2+2x+1=0$

Alles auf eine Seite und somit 0 setzen.

$D={\left(2\right)}^2-4\cdot 3\cdot 1$

$=4-12$

$=-8$$\Rightarrow -8<0$

Diskriminante berechnen.

$𝕃=\left\{\right\}$

Wegen D < 0 hat die quadratische Gleichung keine Lösungen und damit hat auch die Bruchgleichung keine Lösungen!

Für $x=\mathrm{1,5}$ nimmt $f(x)$ den Wert $-3$ an.

In der Definitionsmenge von $f(x)$ muss nur $2$ ausgenommen werden, bei $g(x)$ sind alle rationalen Zahlen erlaubt.

Daher ist die Lösungsmenge: $L=\{0;5\}$

$f_{}:x\mapsto {\displaystyle \frac{3}{x+2}}$

$f_1:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{2-x}}$

Tipp: Schaue dir jeden Bruch explizit an. Klammere aus und kürze, falls es möglich ist.

Achtung! Die Definitionsmenge bleibt gleich auch wenn die Nenner verschwinden.

$D=\mathbb{Q}\backslash \{-4,-3,-\mathrm{1,0}\}$

Hier empfiehlt es sich zunächst mal die Brüche näher zu analysieren, Faktoren auszuklammern und eventuelle Kürzungen vorzuziehen:

• $$\frac{{\displaystyle 4x+4}}{{\displaystyle (x+1{)}^2}}=\frac{{\displaystyle 4\cdot (x+1)}}{{\displaystyle (x+1{)}^2}}=\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle x+1}}$$

• $$\frac{{\displaystyle x^2+4x}}{{\displaystyle (x+4)(x+1)}}=\frac{{\displaystyle x\cdot (x+4)}}{{\displaystyle (x+4)(x+1)}}=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x+1}}$$

• $$\frac{{\displaystyle 5x+15}}{{\displaystyle (x+1)(x+3)}}=\frac{{\displaystyle 5(x+3)}}{{\displaystyle (x+1)(x+3)}}=\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle (x+1)}}$$

• $$\frac{{\displaystyle x^3+x^2}}{{\displaystyle x(x+1)}}=\frac{{\displaystyle x^2(x+1)}}{{\displaystyle x(x+1)}}=x$$

Dies ergibt dann:

$$x+1+\frac{{\displaystyle 4x+4}}{{\displaystyle (x+1{)}^2}}-\frac{{\displaystyle x^3+x^2}}{{\displaystyle x(x+1)}}=\frac{{\displaystyle x^2+4x}}{{\displaystyle (x+4)(x+1)}}+\frac{{\displaystyle 5x+15}}{{\displaystyle (x+1)(x+3)}}$$

$$\Rightarrow x+1+\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle x+1}}-x=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x+1}}+\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle x+1}}$$

$$\Rightarrow x+1+\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle x+1}}-x=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x+1}}+\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle x+1}}$$

$$|-\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle x+1}}$$

$$\Rightarrow x+1-x=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x+1}}+\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle x+1}}-\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle x+1}}$$

Gleicher Nenner

$$\Rightarrow x+1-x=\frac{{\displaystyle x+5-4}}{{\displaystyle x+1}}$$

Auf beiden Seiten Kürzen

$\Rightarrow 1=1$

Wir bekommen also unendlich viele Lösungen. Um genau zu sein, ist hier die Lösungsmenge $𝕃$, die Definitionsmenge, also $𝕃=D=\mathbb{Q}\backslash \{-4,-3,-\mathrm{1,0}\}$. Denn jedes $x\in D$ ist für die Gleichung wohldefiniert und löst die gekürzte Gleichung, die unabhängig von $x$ ist.

Tipp: 3.Binomische Formel $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Bruchgleichungen lösen

Um diese Aufgabe zu lösen, könnten dir die Artikel Binomische Formeln und Bruchgleichungen lösen helfen.

Du möchtest diese Bruchgleichung lösen:

$${\displaystyle \frac{5}{x+3}-\frac{-6}{x^2-9}=\frac{3}{x-3}}$$

Definitionsmenge bestimmen:

Um die Definitionsmenge bestimmen zu können, musst du sogenannte Definitionslücken der Bruchgleichung finden. Eine Lücke entsteht, sobald der Nenner eines Bruchs 0 wird. Man darf nämlich nicht durch 0 teilen.

Die Definitionsmenge ist also: $𝔻=\{-\mathrm{3,3}\}$

Der erste Nenner ist für x = -3, der zweite Nenner ist für x = -3 und x = 3 und der dritte Nenner ist für x = 3 nicht definiert. Daraus ergibt sich die Definitionsmenge.

Gleichung auflösen

$${\displaystyle \frac{5}{x+3}-\frac{-6}{x^2-9}=\frac{3}{x-3}}$$

$|\cdot (x+3)(x-3)$

$\frac{5(x+3)(x-3)}{x+3}-\frac{-6(x+3)(x-3)}{x^2-9}=\frac{3(x+3)(x-3)}{x-3}$

Kürze die Brüche.

$${\displaystyle 5\cdot (x-3)-\frac{-6(x^2-9)}{x^2-9}=3\cdot (x+3)}$$

Löse den Bruch auf.

$${\displaystyle 5x-15-(-6)=3x+9}$$

Löse die Klammer auf

$${\displaystyle 5x-15+6=3x+9}$$

und forme die Gleichung geeignet um!

$${\displaystyle 5x-3x=9+15-6}$$

$${\displaystyle 2x=18}$$

$|:2$

$${\displaystyle x=9}$$

Die Lösungsmenge ist somit $𝕃=\left\{9\right\}$

Nach der Bildweite auflösen

Um nach der Bildweite $b$ aufzulösen, isoliert man zuerst den Bruch mit der Bildweite $b$.