Gemischte Aufgaben zu Bruchgleichungen

Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von der folgenden Bruchgleichung:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\frac{5}{2 - x} = \frac{x}{2 x - 4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge

Als erstes musst du die Definitionsmenge bestimmen. Hierfür dürfen die Nenner der Bruchterme nicht 0 werden.

$\frac{5}{2 - x} = \frac{x}{2 x - 4}$

$2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 2$

$2 x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Damit ist die Definitionsmenge: $D = ℚ \ {2}$

Hier bietet sich das Verfahren "Über Kreuz multiplizieren" an.

$\frac{5}{2 - x}$	$=$	$\frac{x}{2 x - 4}$	$\cdot (2 - x) \| \cdot (2 x - 4)$
$5 \cdot (2 x - 4)$	$=$	$x \cdot (2 - x)$
	↓	Ausmultiplizieren
$10 x - 20$	$=$	$2 x - x^{2}$
	↓	Alles auf eine Seite bringen und somit 0 setzen.
$x^{2} + 8 x - 20$	$=$	$0$
	↓	Mit der Mitternachtsformel lösen
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 8 \pm 12}{2}$
	↓	Beide Werte für $x$ ausrechnen
$x_{1}$	$=$	$2$
$x_{2}$	$=$	$- 10$

Da $2$ nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, ist sie auch nicht Bestandteil der Lösungsmenge: $𝕃 = {- 10}$ .

Suche den Hauptnenner und multipliziere beide Seiten der Gleichung damit.

$\frac{5}{2 - x} = \frac{x}{2 x - 4}$

$\frac{5}{2 - x} = \frac{x}{- 2 (2 - x)}$

Der Hauptnenner ist damit $- 2 \cdot (2 - x)$ . Mit diesem werden beide Seiten multipliziert und die Brüche gekürzt.

Da $- 10$ in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:

$L = {- 10}$

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