Gemischte Aufgaben zu Bruchgleichungen

Tipp: Es könnte helfen die linke Seite auf einen Nenner zu schreiben.

Um die Definitionsmenge zu bestimmen musst du alle Nenner gleich $0$ setzen.

Über Kreuz Multiplikation ist eine Äquivalenzumformung, wenn man die richtige Definitionsmenge betrachtet.

Bruchgleichungen

Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen: Du sollst

• die Definitionsmenge bestimmen, und

• die Gleichung bruchtermfrei machen.

Definitionsmenge

Bestimme zunächst die Definitionsmenge der Bruchgleichung. Dazu schaust du dir die Nenner explizit an und schaust für welche Zahlen sie $0$ werden:

• $x=0$

• $x+1=0$

Für $x=0$ und $x=-1$ ist die Gleichung nicht definiert. Also musst du sie aus der Definitionsmenge rausnehmen.

Die Definitionsmenge $D$ ist also: $D=\mathbb{Q}\backslash \{-1;0\}$, falls die Grundmenge $\mathbb{Q}$ ist, und $D=ℝ\backslash \{-1;0\}$, falls die Grundmenge $ℝ$ ist.

Umformen in bruchtermfreie Gleichung

Jetzt sollst du die Gleichung bruchtermfrei machen.

$${\displaystyle 3+\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}}$$

Du musst hier also zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe $${\displaystyle 3+\frac{1}{x}}$$ auf einen Nenner.

Um eine Bruchgleichung bruchtermfrei zu machen kannst du zum Beispiel die Nenner über Kreuz multiplizieren.

$${\displaystyle 3+\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}}$$

Du kannst hier zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe $${\displaystyle 3+\frac{1}{x}}$$ auf einen Nenner.

$${\displaystyle \frac{3x}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}}$$

Addiere

$${\displaystyle \frac{3x+1}{x}=\frac{2}{x+1}}$$

Nun kannst du das Verfahren zum über Kreuz multiplizieren anwenden.

$(3x+1)\cdot (x+1)=2\cdot x$

Diese Gleichung enthält keine Brüche. Da wir $0$ und $-1$ aus der Definitionsmenge rausgenommen haben, haben wir insbesondere nicht mit der $0$ multipliziert.

Somit ist $(3x+1)\cdot (x+1)=2\cdot x$ äquivalent zu $${\displaystyle 3+\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}}$$.

Lösung der bruchtermfreien Gleichung

(in der Aufgabenstellung nicht gefordert)

$(3x+1)\cdot (x+1)=2\cdot x$

$3x^2+3x+x+1=2x$

Klammer ausmultiplizieren

$3x^2+4x+1=2x$

linke Seite zusammenfassen

$3x^2+2x+1=0$

Alles auf eine Seite und somit 0 setzen.

$D={\left(2\right)}^2-4\cdot 3\cdot 1$

$=4-12$

$=-8$$\Rightarrow -8<0$

Diskriminante berechnen.

$𝕃=\left\{\right\}$

Wegen D < 0 hat die quadratische Gleichung keine Lösungen und damit hat auch die Bruchgleichung keine Lösungen!