Gemischte Aufgaben zu Bruchgleichungen

Tipp: Schaue dir jeden Bruch explizit an. Klammere aus und kürze, falls es möglich ist.

Achtung! Die Definitionsmenge bleibt gleich auch wenn die Nenner verschwinden.

$D=\mathbb{Q}\backslash \{-4,-3,-\mathrm{1,0}\}$

Hier empfiehlt es sich zunächst mal die Brüche näher zu analysieren, Faktoren auszuklammern und eventuelle Kürzungen vorzuziehen:

• $$\frac{{\displaystyle 4x+4}}{{\displaystyle (x+1{)}^2}}=\frac{{\displaystyle 4\cdot (x+1)}}{{\displaystyle (x+1{)}^2}}=\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle x+1}}$$

• $$\frac{{\displaystyle x^2+4x}}{{\displaystyle (x+4)(x+1)}}=\frac{{\displaystyle x\cdot (x+4)}}{{\displaystyle (x+4)(x+1)}}=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x+1}}$$

• $$\frac{{\displaystyle 5x+15}}{{\displaystyle (x+1)(x+3)}}=\frac{{\displaystyle 5(x+3)}}{{\displaystyle (x+1)(x+3)}}=\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle (x+1)}}$$

• $$\frac{{\displaystyle x^3+x^2}}{{\displaystyle x(x+1)}}=\frac{{\displaystyle x^2(x+1)}}{{\displaystyle x(x+1)}}=x$$

Dies ergibt dann:

$$x+1+\frac{{\displaystyle 4x+4}}{{\displaystyle (x+1{)}^2}}-\frac{{\displaystyle x^3+x^2}}{{\displaystyle x(x+1)}}=\frac{{\displaystyle x^2+4x}}{{\displaystyle (x+4)(x+1)}}+\frac{{\displaystyle 5x+15}}{{\displaystyle (x+1)(x+3)}}$$

$$\Rightarrow x+1+\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle x+1}}-x=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x+1}}+\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle x+1}}$$

$$\Rightarrow x+1+\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle x+1}}-x=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x+1}}+\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle x+1}}$$

$$|-\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle x+1}}$$

$$\Rightarrow x+1-x=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x+1}}+\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle x+1}}-\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle x+1}}$$

Gleicher Nenner

$$\Rightarrow x+1-x=\frac{{\displaystyle x+5-4}}{{\displaystyle x+1}}$$

Auf beiden Seiten Kürzen

$\Rightarrow 1=1$

Wir bekommen also unendlich viele Lösungen. Um genau zu sein, ist hier die Lösungsmenge $𝕃$, die Definitionsmenge, also $𝕃=D=\mathbb{Q}\backslash \{-4,-3,-\mathrm{1,0}\}$. Denn jedes $x\in D$ ist für die Gleichung wohldefiniert und löst die gekürzte Gleichung, die unabhängig von $x$ ist.